Theorem ralprg 3760

Description: Convert a quantification over a pair to a conjunction. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralprg.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
ralprg.2	|- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
ralprg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x e. { A , B } ph <-> ( ps /\ ch ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x   ch, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ralprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3716	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2	1	raleqi 2753	. . 3 |- ( A. x e. { A , B } ph <-> A. x e. ( { A } u. { B } ) ph )
3		ralunb 3410	. . 3 |- ( A. x e. ( { A } u. { B } ) ph <-> ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) )
4	2, 3	bitri 184	. 2 |- ( A. x e. { A , B } ph <-> ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) )
5		ralprg.1	. . . 4 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
6	5	ralsng 3749	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. x e. { A } ph <-> ps ) )
7		ralprg.2	. . . 4 |- ( x = B -> ( ph <-> ch ) )
8	7	ralsng 3749	. . 3 |- ( B e. W -> ( A. x e. { B } ph <-> ch ) )
9	6, 8	bi2anan9 614	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( ( A. x e. { A } ph /\ A. x e. { B } ph ) <-> ( ps /\ ch ) ) )
10	4, 9	bitrid 192	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x e. { A , B } ph <-> ( ps /\ ch ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   u. cun 3218   {csn 3709   {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  raltpg  3762  ralpr  3764  iinxprg  4087  fvinim0ffz  10660  sumpr  12180  clwwlknonex2lem2  16679