Theorem ralunb 3308

Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralunb	|- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Proof of Theorem ralunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3268	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	imbi1i 237	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) )
3		jaob 705	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
5	4	albii 1463	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
6		19.26 1474	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 183	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
8		df-ral 2453	. 2 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) )
9		df-ral 2453	. . 3 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
10		df-ral 2453	. . 3 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
11	9, 10	anbi12i 457	. 2 |- ( ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
12	7, 8, 11	3bitr4i 211	1 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   e. wcel 2141   A.wral 2448   u. cun 3119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-un 3125

This theorem is referenced by:  ralun  3309  ralprg  3634  raltpg  3636  ralunsn  3784  dcfi  6958  rexfiuz  10953  modfsummodlemstep  11420  modfsummod  11421  zsupcllemstep  11900  prmind2  12074  2sqlem10  13755  nninfsellemdc  14043  nninfsellemsuc  14045