Theorem ralunb 3362

Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralunb	|- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Proof of Theorem ralunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3322	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) )
3		jaob 712	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
5	4	albii 1494	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
6		19.26 1505	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
8		df-ral 2491	. 2 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) )
9		df-ral 2491	. . 3 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
10		df-ral 2491	. . 3 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
11	9, 10	anbi12i 460	. 2 |- ( ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
12	7, 8, 11	3bitr4i 212	1 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   A.wal 1371   e. wcel 2178   A.wral 2486   u. cun 3172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2778  df-un 3178

This theorem is referenced by:  ralun  3363  ralprg  3694  raltpg  3696  ralunsn  3852  dcfi  7109  zsupcllemstep  10409  pfxsuffeqwrdeq  11189  rexfiuz  11415  modfsummodlemstep  11883  modfsummod  11884  prmind2  12557  2sqlem10  15717  nninfsellemdc  16149  nninfsellemsuc  16151