Theorem ralunb 3344

Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralunb	|- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Proof of Theorem ralunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3304	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	imbi1i 238	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) )
3		jaob 711	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
4	2, 3	bitri 184	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
5	4	albii 1484	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
6		19.26 1495	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 184	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
8		df-ral 2480	. 2 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) )
9		df-ral 2480	. . 3 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
10		df-ral 2480	. . 3 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
11	9, 10	anbi12i 460	. 2 |- ( ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
12	7, 8, 11	3bitr4i 212	1 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   A.wal 1362   e. wcel 2167   A.wral 2475   u. cun 3155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-un 3161

This theorem is referenced by:  ralun  3345  ralprg  3673  raltpg  3675  ralunsn  3827  dcfi  7047  zsupcllemstep  10319  rexfiuz  11154  modfsummodlemstep  11622  modfsummod  11623  prmind2  12288  2sqlem10  15366  nninfsellemdc  15654  nninfsellemsuc  15656