Theorem ralunb 3303

Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralunb	|- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Proof of Theorem ralunb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3263	. . . . . 6 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
2	1	imbi1i 237	. . . . 5 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) )
3		jaob 700	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
4	2, 3	bitri 183	. . . 4 |- ( ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
5	4	albii 1458	. . 3 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) )
6		19.26 1469	. . 3 |- ( A. x ( ( x e. A -> ph ) /\ ( x e. B -> ph ) ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
7	5, 6	bitri 183	. 2 |- ( A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
8		df-ral 2449	. 2 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> A. x ( x e. ( A u. B ) -> ph ) )
9		df-ral 2449	. . 3 |- ( A. x e. A ph <-> A. x ( x e. A -> ph ) )
10		df-ral 2449	. . 3 |- ( A. x e. B ph <-> A. x ( x e. B -> ph ) )
11	9, 10	anbi12i 456	. 2 |- ( ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) <-> ( A. x ( x e. A -> ph ) /\ A. x ( x e. B -> ph ) ) )
12	7, 8, 11	3bitr4i 211	1 |- ( A. x e. ( A u. B ) ph <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. B ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1341   e. wcel 2136   A.wral 2444   u. cun 3114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-un 3120

This theorem is referenced by:  ralun  3304  ralprg  3627  raltpg  3629  ralunsn  3777  dcfi  6946  rexfiuz  10931  modfsummodlemstep  11398  modfsummod  11399  zsupcllemstep  11878  prmind2  12052  2sqlem10  13601  nninfsellemdc  13890  nninfsellemsuc  13892