Theorem ralprg 3611

Description: Convert a quantification over a pair to a conjunction. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralprg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ralprg.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ralprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ralprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3567	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	raleqi 2656	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝜑)
3		ralunb 3288	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐵}𝜑))
4	2, 3	bitri 183	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐵}𝜑))
5		ralprg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	5	ralsng 3600	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓))
7		ralprg.2	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
8	7	ralsng 3600	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (∀𝑥 ∈ {𝐵}𝜑 ↔ 𝜒))
9	6, 8	bi2anan9 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐵}𝜑) ↔ (𝜓 ∧ 𝜒)))
10	4, 9	syl5bb 191	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ∪ cun 3100  {csn 3560  {cpr 3561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-sn 3566  df-pr 3567

This theorem is referenced by:  raltpg  3613  ralpr  3615  iinxprg  3924  fvinim0ffz  10144  sumpr  11314