Theorem sumpr 11423

Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpr.1	|- ( k = A -> C = D )
sumpr.2	|- ( k = B -> C = E )
sumpr.3	|- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
sumpr.4	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
sumpr.5	|- ( ph -> A =/= B )

Assertion

Ref	Expression
sumpr	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   ph, k   k, V   k, W

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumpr.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
2		disjsn2 3657	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4		df-pr 3601	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B } = ( { A } u. { B } ) )
6		sumpr.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
8	6	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
9		prfidisj 6928	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
10	7, 8, 1, 9	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
11		sumpr.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
12		sumpr.1	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> C = D )
13	12	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( C e. CC <-> D e. CC ) )
14		sumpr.2	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = E )
15	14	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( C e. CC <-> E e. CC ) )
16	13, 15	ralprg 3645	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
17	6, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B } C e. CC )
19	18	r19.21bi 2565	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B } ) -> C e. CC )
20	3, 5, 10, 19	fsumsplit 11417	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) )
21	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> D e. CC )
22	12	sumsn 11421	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { A } C = D )
23	7, 21, 22	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A } C = D )
24	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
25	14	sumsn 11421	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ E e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = E )
26	8, 24, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = E )
27	23, 26	oveq12d 5895	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) = ( D + E ) )
28	20, 27	eqtrd 2210	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   u. cun 3129   i^i cin 3130   (/)c0 3424   {csn 3594   {cpr 3595  (class class class)co 5877   Fincfn 6742   CCcc 7811   + caddc 7816   sum_csu 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364

This theorem is referenced by:  sumtp  11424