ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumpr Unicode version

Theorem sumpr 11175
Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpr.1  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
sumpr.2  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
sumpr.3  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
sumpr.4  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
sumpr.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
Assertion
Ref Expression
sumpr  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    D, k    k, E    ph, k    k, V    k, W
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem sumpr
StepHypRef Expression
1 sumpr.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 disjsn2 3581 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
4 df-pr 3529 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } ) )
6 sumpr.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W
) )
76simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
86simprd 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
9 prfidisj 6808 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
107, 8, 1, 9syl3anc 1216 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
11 sumpr.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC ) )
12 sumpr.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  A  ->  C  =  D )
1312eleq1d 2206 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  ( C  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
14 sumpr.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  B  ->  C  =  E )
1514eleq1d 2206 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  ( C  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
1613, 15ralprg 3569 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
176, 16syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
{ A ,  B } C  e.  CC  <->  ( D  e.  CC  /\  E  e.  CC )
) )
1811, 17mpbird 166 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  { A ,  B } C  e.  CC )
1918r19.21bi 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B }
)  ->  C  e.  CC )
203, 5, 10, 19fsumsplit 11169 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C
) )
2111simpld 111 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
2212sumsn 11173 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  D  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
237, 21, 22syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
2411simprd 113 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
2514sumsn 11173 . . . 4  |-  ( ( B  e.  W  /\  E  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
268, 24, 25syl2anc 408 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2723, 26oveq12d 5785 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C )  =  ( D  +  E ) )
2820, 27eqtrd 2170 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2306   A.wral 2414    u. cun 3064    i^i cin 3065   (/)c0 3358   {csn 3522   {cpr 3523  (class class class)co 5767   Fincfn 6627   CCcc 7611    + caddc 7616   sum_csu 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116
This theorem is referenced by:  sumtp  11176
  Copyright terms: Public domain W3C validator