Theorem sumpr 11578

Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpr.1	|- ( k = A -> C = D )
sumpr.2	|- ( k = B -> C = E )
sumpr.3	|- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
sumpr.4	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
sumpr.5	|- ( ph -> A =/= B )

Assertion

Ref	Expression
sumpr	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   ph, k   k, V   k, W

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumpr.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
2		disjsn2 3685	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4		df-pr 3629	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B } = ( { A } u. { B } ) )
6		sumpr.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
8	6	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
9		prfidisj 6988	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
10	7, 8, 1, 9	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
11		sumpr.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
12		sumpr.1	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> C = D )
13	12	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( C e. CC <-> D e. CC ) )
14		sumpr.2	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = E )
15	14	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( C e. CC <-> E e. CC ) )
16	13, 15	ralprg 3673	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
17	6, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B } C e. CC )
19	18	r19.21bi 2585	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B } ) -> C e. CC )
20	3, 5, 10, 19	fsumsplit 11572	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) )
21	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> D e. CC )
22	12	sumsn 11576	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { A } C = D )
23	7, 21, 22	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A } C = D )
24	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
25	14	sumsn 11576	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ E e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = E )
26	8, 24, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = E )
27	23, 26	oveq12d 5940	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) = ( D + E ) )
28	20, 27	eqtrd 2229	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   {csn 3622   {cpr 3623  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   + caddc 7882   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  sumtp  11579