Theorem sumpr 12037

Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpr.1	|- ( k = A -> C = D )
sumpr.2	|- ( k = B -> C = E )
sumpr.3	|- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
sumpr.4	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
sumpr.5	|- ( ph -> A =/= B )

Assertion

Ref	Expression
sumpr	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   ph, k   k, V   k, W

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumpr.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
2		disjsn2 3736	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4		df-pr 3680	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B } = ( { A } u. { B } ) )
6		sumpr.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
8	6	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
9		prfidisj 7162	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
10	7, 8, 1, 9	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
11		sumpr.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
12		sumpr.1	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> C = D )
13	12	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( C e. CC <-> D e. CC ) )
14		sumpr.2	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = E )
15	14	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( C e. CC <-> E e. CC ) )
16	13, 15	ralprg 3724	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
17	6, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B } C e. CC )
19	18	r19.21bi 2621	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B } ) -> C e. CC )
20	3, 5, 10, 19	fsumsplit 12031	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) )
21	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> D e. CC )
22	12	sumsn 12035	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { A } C = D )
23	7, 21, 22	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A } C = D )
24	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
25	14	sumsn 12035	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ E e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = E )
26	8, 24, 25	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = E )
27	23, 26	oveq12d 6046	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) = ( D + E ) )
28	20, 27	eqtrd 2264	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   A.wral 2511   u. cun 3199   i^i cin 3200   (/)c0 3496   {csn 3673   {cpr 3674  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   CCcc 8073   + caddc 8078   sum_csu 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977

This theorem is referenced by:  sumtp  12038