Theorem sumpr 12158

Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpr.1	|- ( k = A -> C = D )
sumpr.2	|- ( k = B -> C = E )
sumpr.3	|- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
sumpr.4	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
sumpr.5	|- ( ph -> A =/= B )

Assertion

Ref	Expression
sumpr	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   ph, k   k, V   k, W

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumpr.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
2		disjsn2 3768	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4		df-pr 3712	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B } = ( { A } u. { B } ) )
6		sumpr.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
7	6	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
8	6	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
9		prfidisj 7224	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
10	7, 8, 1, 9	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
11		sumpr.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
12		sumpr.1	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> C = D )
13	12	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( C e. CC <-> D e. CC ) )
14		sumpr.2	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = E )
15	14	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( C e. CC <-> E e. CC ) )
16	13, 15	ralprg 3756	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
17	6, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
18	11, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B } C e. CC )
19	18	r19.21bi 2638	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B } ) -> C e. CC )
20	3, 5, 10, 19	fsumsplit 12152	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) )
21	11	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> D e. CC )
22	12	sumsn 12156	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { A } C = D )
23	7, 21, 22	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A } C = D )
24	11	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
25	14	sumsn 12156	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ E e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = E )
26	8, 24, 25	syl2anc 415	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = E )
27	23, 26	oveq12d 6093	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) = ( D + E ) )
28	20, 27	eqtrd 2271	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3705   {cpr 3706  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   + caddc 8172   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  sumtp  12159