Theorem sumpr 11182

Description: A sum over a pair is the sum of the elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpr.1	|- ( k = A -> C = D )
sumpr.2	|- ( k = B -> C = E )
sumpr.3	|- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
sumpr.4	|- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
sumpr.5	|- ( ph -> A =/= B )

Assertion

Ref	Expression
sumpr	|- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   ph, k   k, V   k, W

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumpr.5	. . . 4 |- ( ph -> A =/= B )
2		disjsn2 3586	. . . 4 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
4		df-pr 3534	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> { A , B } = ( { A } u. { B } ) )
6		sumpr.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. V /\ B e. W ) )
7	6	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
8	6	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> B e. W )
9		prfidisj 6815	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )
10	7, 8, 1, 9	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> { A , B } e. Fin )
11		sumpr.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. CC /\ E e. CC ) )
12		sumpr.1	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> C = D )
13	12	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( C e. CC <-> D e. CC ) )
14		sumpr.2	. . . . . . . 8 |- ( k = B -> C = E )
15	14	eleq1d 2208	. . . . . . 7 |- ( k = B -> ( C e. CC <-> E e. CC ) )
16	13, 15	ralprg 3574	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
17	6, 16	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. { A , B } C e. CC <-> ( D e. CC /\ E e. CC ) ) )
18	11, 17	mpbird 166	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. { A , B } C e. CC )
19	18	r19.21bi 2520	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { A , B } ) -> C e. CC )
20	3, 5, 10, 19	fsumsplit 11176	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) )
21	11	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> D e. CC )
22	12	sumsn 11180	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { A } C = D )
23	7, 21, 22	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { A } C = D )
24	11	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> E e. CC )
25	14	sumsn 11180	. . . 4 |- ( ( B e. W /\ E e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = E )
26	8, 24, 25	syl2anc 408	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = E )
27	23, 26	oveq12d 5792	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. { A } C + sum_ k e. { B } C ) = ( D + E ) )
28	20, 27	eqtrd 2172	1 |- ( ph -> sum_ k e. { A , B } C = ( D + E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   u. cun 3069   i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528  (class class class)co 5774   Fincfn 6634   CCcc 7618   + caddc 7623   sum_csu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  sumtp  11183