Theorem relsnopg 4643

Description: A singleton of an ordered pair is a relation. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Revised by BJ, 12-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relsnopg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Rel { <. A , B >. } )

Proof of Theorem relsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4588	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) )
2		opexg 4150	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3		relsng 4642	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( Rel { <. A , B >. } <-> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( Rel { <. A , B >. } <-> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) ) )
5	1, 4	mpbird 166	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Rel { <. A , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {csn 3527   <.cop 3530   X. cxp 4537   Rel wrel 4544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546

This theorem is referenced by: (None)