Theorem relsnopg 4823

Description: A singleton of an ordered pair is a relation. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Revised by BJ, 12-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relsnopg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Rel { <. A , B >. } )

Proof of Theorem relsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4768	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) )
2		opexg 4314	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3		relsng 4822	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( Rel { <. A , B >. } <-> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( Rel { <. A , B >. } <-> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Rel { <. A , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   <.cop 3669   X. cxp 4717   Rel wrel 4724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726

This theorem is referenced by:  imasaddfnlemg  13347