Theorem relsnopg 4755

Description: A singleton of an ordered pair is a relation. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Revised by BJ, 12-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relsnopg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Rel { <. A , B >. } )

Proof of Theorem relsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4700	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) )
2		opexg 4253	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3		relsng 4754	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( Rel { <. A , B >. } <-> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( Rel { <. A , B >. } <-> <. A , B >. e. ( _V X. _V ) ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> Rel { <. A , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   _Vcvv 2756   {csn 3614   <.cop 3617   X. cxp 4649   Rel wrel 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2758  df-un 3152  df-in 3154  df-ss 3161  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-opab 4087  df-xp 4657  df-rel 4658

This theorem is referenced by:  imasaddfnlemg  12808