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Theorem imasaddfnlemg 12957
Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f |- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasaddf.e |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasaddflem.a |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
imasaddfnlemg.v |- ( ph -> V e. W )
imasaddfnlemg.x |- ( ph -> .x. e. C )
Assertion
Ref Expression
imasaddfnlemg |- ( ph -> .xb Fn ( B X. B ) )
Distinct variable groups:   q, p, B   a, b, p, q, V   .x. , p, q   F, a, b, p, q   ph, a, b, p, q   .xb , a, b, p, q
Allowed substitution hints:   B( a, b)   C( q, p, a, b)   .x. ( a, b)   W( q, p, a, b)
Proof of Theorem imasaddfnlemg
Dummy variables w y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasaddf.f . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
2 fof 5480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : V --> B )
4 imasaddfnlemg.v . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> V e. W )
53, 4fexd 5792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. _V )
6 vex 2766 . . . . . . . . . . 11 |- p e. _V
7 fvexg 5577 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. _V /\ p e. _V ) -> ( F ` p ) e. _V )
85, 6, 7sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` p ) e. _V )
9 vex 2766 . . . . . . . . . . 11 |- q e. _V
10 fvexg 5577 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. _V /\ q e. _V ) -> ( F ` q ) e. _V )
115, 9, 10sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` q ) e. _V )
12 opexg 4261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` p ) e. _V /\ ( F ` q ) e. _V ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V )
138, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V )
14 imasaddfnlemg.x . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> .x. e. C )
159a1i 9 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> q e. _V )
16 ovexg 5956 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. _V /\ .x. e. C /\ q e. _V ) -> ( p .x. q ) e. _V )
176, 14, 15, 16mp3an2i 1353 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( p .x. q ) e. _V )
18 fvexg 5577 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. _V /\ ( p .x. q ) e. _V ) -> ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V )
195, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V )
20 relsnopg 4767 . . . . . . . . 9 |- ( ( <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V /\ ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V ) -> Rel { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
2113, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Rel { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
2221ralrimivw 2571 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. q e. V Rel { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
23 reliun 4784 . . . . . . 7 |- ( Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> A. q e. V Rel { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
2422, 23sylibr 134 . . . . . 6 |- ( ph -> Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
2524ralrimivw 2571 . . . . 5 |- ( ph -> A. p e. V Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
26 reliun 4784 . . . . 5 |- ( Rel U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> A. p e. V Rel U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
2725, 26sylibr 134 . . . 4 |- ( ph -> Rel U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
28 imasaddflem.a . . . . 5 |- ( ph -> .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
2928releqd 4747 . . . 4 |- ( ph -> ( Rel .xb <-> Rel U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
3027, 29mpbird 167 . . 3 |- ( ph -> Rel .xb )
31 ffvelcdm 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : V --> B /\ p e. V ) -> ( F ` p ) e. B )
32 ffvelcdm 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : V --> B /\ q e. V ) -> ( F ` q ) e. B )
3331, 32anim12dan 600 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : V --> B /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` p ) e. B /\ ( F ` q ) e. B ) )
343, 33sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( F ` p ) e. B /\ ( F ` q ) e. B ) )
35 opelxpi 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` p ) e. B /\ ( F ` q ) e. B ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( B X. B ) )
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. ( B X. B ) )
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V )
3836, 37opelxpd 4696 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. ( ( B X. B ) X. _V ) )
3938snssd 3767 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
4039anassrs 400 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ p e. V ) /\ q e. V ) -> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
4140iunssd 3962 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. V ) -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
4241iunssd 3962 . . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
4328, 42eqsstrd 3219 . . . . . . 7 |- ( ph -> .xb C_ ( ( B X. B ) X. _V ) )
44 dmss 4865 . . . . . . 7 |- ( .xb C_ ( ( B X. B ) X. _V ) -> dom .xb C_ dom ( ( B X. B ) X. _V ) )
4543, 44syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> dom .xb C_ dom ( ( B X. B ) X. _V ) )
46 vn0m 3462 . . . . . . 7 |- E. w w e. _V
47 dmxpm 4886 . . . . . . 7 |- ( E. w w e. _V -> dom ( ( B X. B ) X. _V ) = ( B X. B ) )
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 |- dom ( ( B X. B ) X. _V ) = ( B X. B )
4945, 48sseqtrdi 3231 . . . . 5 |- ( ph -> dom .xb C_ ( B X. B ) )
50 forn 5483 . . . . . . 7 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
511, 50syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> ran F = B )
5251sqxpeqd 4689 . . . . 5 |- ( ph -> ( ran F X. ran F ) = ( B X. B ) )
5349, 52sseqtrrd 3222 . . . 4 |- ( ph -> dom .xb C_ ( ran F X. ran F ) )
5428eleq2d 2266 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. .xb <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
5554adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. .xb <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
56 df-br 4034 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. .xb )
57 eliun 3920 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> E. p e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
58 eliun 3920 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
5958rexbii 2504 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. p e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
6057, 59bitr2i 185 . . . . . . . . . . . 12 |- ( E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } )
6155, 56, 603bitr4g 223 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w <-> E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } ) )
62 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- a e. _V
63 fvexg 5577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F e. _V /\ a e. _V ) -> ( F ` a ) e. _V )
645, 62, 63sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F ` a ) e. _V )
65 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- b e. _V
66 fvexg 5577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F e. _V /\ b e. _V ) -> ( F ` b ) e. _V )
675, 65, 66sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F ` b ) e. _V )
68 opexg 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` a ) e. _V /\ ( F ` b ) e. _V ) -> <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. e. _V )
6964, 67, 68syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. e. _V )
70 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
71 opexg 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. e. _V /\ w e. _V ) -> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. _V )
7269, 70, 71sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. _V )
73 elsng 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. _V -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. ) )
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. ) )
75743ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } <-> <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. ) )
76 opthg 4271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. e. _V /\ w e. _V ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. <-> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. /\ w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) )
7769, 70, 76sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. <-> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. /\ w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) )
78773ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. <-> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. /\ w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) ) )
79 opthg 4271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F ` a ) e. _V /\ ( F ` b ) e. _V ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. <-> ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) ) )
8064, 67, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. <-> ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) ) )
81803ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. <-> ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) ) )
82 imasaddf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
8381, 82sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
84 eqeq2 2206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) -> ( w = ( F ` ( a .x. b ) ) <-> w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
8584biimprd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) -> ( w = ( F ` ( p .x. q ) ) -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
8683, 85syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. -> ( w = ( F ` ( p .x. q ) ) -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) ) )
8786impd 254 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. /\ w = ( F ` ( p .x. q ) ) ) -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
8878, 87sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. = <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
8975, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
90893expa 1205 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
9190rexlimdvva 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( E. p e. V E. q e. V <. <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. , w >. e. { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
9261, 91sylbid 150 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
9392alrimiv 1888 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> A. w ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) )
94 mo2icl 2943 . . . . . . . . 9 |- ( A. w ( <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w -> w = ( F ` ( a .x. b ) ) ) -> E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w )
9593, 94syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w )
9695ralrimivva 2579 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. V A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w )
97 fofn 5482 . . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
981, 97syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> F Fn V )
99 opeq2 3809 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` b ) -> <. ( F ` a ) , z >. = <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. )
10099breq1d 4043 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` b ) -> ( <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
101100mobidv 2081 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( F ` b ) -> ( E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
102101ralrn 5700 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
10398, 102syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
104103ralbidv 2497 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w <-> A. a e. V A. b e. V E* w <. ( F ` a ) , ( F ` b ) >. .xb w ) )
10596, 104mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ph -> A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w )
106 opeq1 3808 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` a ) -> <. y , z >. = <. ( F ` a ) , z >. )
107106breq1d 4043 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` a ) -> ( <. y , z >. .xb w <-> <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
108107mobidv 2081 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` a ) -> ( E* w <. y , z >. .xb w <-> E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
109108ralbidv 2497 . . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` a ) -> ( A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w <-> A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
110109ralrn 5700 . . . . . . 7 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w <-> A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
11198, 110syl 14 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w <-> A. a e. V A. z e. ran F E* w <. ( F ` a ) , z >. .xb w ) )
112105, 111mpbird 167 . . . . 5 |- ( ph -> A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w )
113 breq1 4036 . . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( x .xb w <-> <. y , z >. .xb w ) )
114113mobidv 2081 . . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> ( E* w x .xb w <-> E* w <. y , z >. .xb w ) )
115114ralxp 4809 . . . . 5 |- ( A. x e. ( ran F X. ran F ) E* w x .xb w <-> A. y e. ran F A. z e. ran F E* w <. y , z >. .xb w )
116112, 115sylibr 134 . . . 4 |- ( ph -> A. x e. ( ran F X. ran F ) E* w x .xb w )
117 ssralv 3247 . . . 4 |- ( dom .xb C_ ( ran F X. ran F ) -> ( A. x e. ( ran F X. ran F ) E* w x .xb w -> A. x e. dom .xb E* w x .xb w ) )
11853, 116, 117sylc 62 . . 3 |- ( ph -> A. x e. dom .xb E* w x .xb w )
119 dffun7 5285 . . 3 |- ( Fun .xb <-> ( Rel .xb /\ A. x e. dom .xb E* w x .xb w ) )
12030, 118, 119sylanbrc 417 . 2 |- ( ph -> Fun .xb )
121 eqimss2 3238 . . . . . . . . . . 11 |- ( .xb = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
12228, 121syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
123 iunss 3957 . . . . . . . . . 10 |- ( U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb <-> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
124122, 123sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
125 iunss 3957 . . . . . . . . . . 11 |- ( U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb <-> A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb )
126 opexg 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V /\ ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V ) -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. _V )
12713, 19, 126syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. _V )
128 snssg 3756 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. _V -> ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. .xb <-> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb ) )
129127, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. .xb <-> { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb ) )
130 opeldmg 4871 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. _V /\ ( F ` ( p .x. q ) ) e. _V ) -> ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. .xb -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
13113, 19, 130syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. e. .xb -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
132129, 131sylbird 170 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
133132ralimdv 2565 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
134125, 133biimtrid 152 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
135134ralimdv 2565 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .x. q ) ) >. } C_ .xb -> A. p e. V A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
136124, 135mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. V A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb )
137 opeq2 3809 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` q ) -> <. ( F ` p ) , z >. = <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. )
138137eleq1d 2265 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( F ` q ) -> ( <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
139138ralrn 5700 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn V -> ( A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
14098, 139syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
141140ralbidv 2497 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb <-> A. p e. V A. q e. V <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. e. dom .xb ) )
142136, 141mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ph -> A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb )
143 opeq1 3808 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` p ) -> <. y , z >. = <. ( F ` p ) , z >. )
144143eleq1d 2265 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` p ) -> ( <. y , z >. e. dom .xb <-> <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
145144ralbidv 2497 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` p ) -> ( A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb <-> A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
146145ralrn 5700 . . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb <-> A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
14798, 146syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb <-> A. p e. V A. z e. ran F <. ( F ` p ) , z >. e. dom .xb ) )
148142, 147mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb )
149 eleq1 2259 . . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( x e. dom .xb <-> <. y , z >. e. dom .xb ) )
150149ralxp 4809 . . . . . 6 |- ( A. x e. ( ran F X. ran F ) x e. dom .xb <-> A. y e. ran F A. z e. ran F <. y , z >. e. dom .xb )
151148, 150sylibr 134 . . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ran F X. ran F ) x e. dom .xb )
152 dfss3 3173 . . . . 5 |- ( ( ran F X. ran F ) C_ dom .xb <-> A. x e. ( ran F X. ran F ) x e. dom .xb )
153151, 152sylibr 134 . . . 4 |- ( ph -> ( ran F X. ran F ) C_ dom .xb )
15452, 153eqsstrrd 3220 . . 3 |- ( ph -> ( B X. B ) C_ dom .xb )
15549, 154eqssd 3200 . 2 |- ( ph -> dom .xb = ( B X. B ) )
156 df-fn 5261 . 2 |- ( .xb Fn ( B X. B ) <-> ( Fun .xb /\ dom .xb = ( B X. B ) ) )
157120, 155, 156sylanbrc 417 1 |- ( ph -> .xb Fn ( B X. B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   E*wmo 2046   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   {csn 3622   <.cop 3625   U_ciun 3916   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   dom cdm 4663   ran crn 4664   Rel wrel 4668   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925
This theorem is referenced by:  imasaddvallemg  12958  imasaddflemg  12959  imasaddfn  12960  imasmulfn  12963
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