Theorem opexg 4262

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3807	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
2		elex 2774	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. _V )
3		snexg 4218	. . . . 5 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A } e. _V )
6		elex 2774	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
7		prexg 4245	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
9		prexg 4245	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
11	1, 10	eqeltrd 2273	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3623   {cpr 3624   <.cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  opex  4263  otexg  4264  opeliunxp  4719  opbrop  4743  relsnopg  4768  opswapg  5157  elxp4  5158  elxp5  5159  resfunexg  5786  fliftel  5843  fliftel1  5844  oprabid  5957  ovexg  5959  ovssunirng  5960  eloprabga  6013  op1st  6213  op2nd  6214  ot1stg  6219  ot2ndg  6220  ot3rdgg  6221  elxp6  6236  mpofvex  6272  algrflem  6296  algrflemg  6297  mpoxopoveq  6307  brtposg  6321  tfr0dm  6389  tfrlemisucaccv  6392  tfrlemibxssdm  6394  tfrlemibfn  6395  tfrlemi14d  6400  tfr1onlemsucaccv  6408  tfr1onlembxssdm  6410  tfr1onlembfn  6411  tfr1onlemres  6416  tfrcllemsucaccv  6421  tfrcllembxssdm  6423  tfrcllembfn  6424  tfrcllemres  6429  fnfi  7011  djulclb  7130  inl11  7140  1stinl  7149  2ndinl  7150  1stinr  7151  2ndinr  7152  mulpipq2  7457  enq0breq  7522  addvalex  7930  peano2nnnn  7939  axcnre  7967  frec2uzrdg  10520  frecuzrdg0  10524  frecuzrdgg  10527  frecuzrdg0t  10533  zfz1isolem1  10951  eucalgval2  12248  crth  12419  phimullem  12420  ennnfonelemp1  12650  setsvala  12736  setsex  12737  setsfun  12740  setsfun0  12741  setsresg  12743  setscom  12745  strslfv  12750  strslfv3  12751  setsslid  12756  strle1g  12811  1strbas  12822  2strbasg  12824  2stropg  12825  2strbas1g  12827  2strop1g  12828  rngbaseg  12840  rngplusgg  12841  rngmulrg  12842  srngbased  12851  srngplusgd  12852  srngmulrd  12853  srnginvld  12854  lmodbased  12869  lmodplusgd  12870  lmodscad  12871  lmodvscad  12872  ipsbased  12881  ipsaddgd  12882  ipsmulrd  12883  ipsscad  12884  ipsvscad  12885  ipsipd  12886  topgrpbasd  12901  topgrpplusgd  12902  topgrptsetd  12903  prdsex  12973  prdsval  12977  imasex  13009  imasival  13010  imasbas  13011  imasplusg  13012  imasmulr  13013  imasaddfnlemg  13018  imasaddvallemg  13019  xpsfval  13052  xpsval  13056  intopsn  13071  mgm1  13074  sgrp1  13115  mnd1  13159  mnd1id  13160  grp1  13310  grp1inv  13311  ring1  13693  psrval  14300  fnpsr  14301  psrbasg  14308  psrplusgg  14312  txlm  14623