Theorem opexg 4246

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3791	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
2		elex 2763	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. _V )
3		snexg 4202	. . . . 5 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A } e. _V )
6		elex 2763	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
7		prexg 4229	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
9		prexg 4229	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
11	1, 10	eqeltrd 2266	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   {cpr 3608   <.cop 3610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616

This theorem is referenced by:  opex  4247  otexg  4248  opeliunxp  4699  opbrop  4723  relsnopg  4748  opswapg  5133  elxp4  5134  elxp5  5135  resfunexg  5758  fliftel  5815  fliftel1  5816  oprabid  5928  ovexg  5930  eloprabga  5983  op1st  6171  op2nd  6172  ot1stg  6177  ot2ndg  6178  ot3rdgg  6179  elxp6  6194  mpofvex  6228  algrflem  6254  algrflemg  6255  mpoxopoveq  6265  brtposg  6279  tfr0dm  6347  tfrlemisucaccv  6350  tfrlemibxssdm  6352  tfrlemibfn  6353  tfrlemi14d  6358  tfr1onlemsucaccv  6366  tfr1onlembxssdm  6368  tfr1onlembfn  6369  tfr1onlemres  6374  tfrcllemsucaccv  6379  tfrcllembxssdm  6381  tfrcllembfn  6382  tfrcllemres  6387  fnfi  6966  djulclb  7084  inl11  7094  1stinl  7103  2ndinl  7104  1stinr  7105  2ndinr  7106  mulpipq2  7400  enq0breq  7465  addvalex  7873  peano2nnnn  7882  axcnre  7910  frec2uzrdg  10440  frecuzrdg0  10444  frecuzrdgg  10447  frecuzrdg0t  10453  zfz1isolem1  10852  eucalgval2  12085  crth  12256  phimullem  12257  ennnfonelemp1  12457  setsvala  12543  setsex  12544  setsfun  12547  setsfun0  12548  setsresg  12550  setscom  12552  strslfv  12557  setsslid  12563  strle1g  12618  1strbas  12629  2strbasg  12631  2stropg  12632  2strbas1g  12634  2strop1g  12635  rngbaseg  12647  rngplusgg  12648  rngmulrg  12649  srngbased  12658  srngplusgd  12659  srngmulrd  12660  srnginvld  12661  lmodbased  12676  lmodplusgd  12677  lmodscad  12678  lmodvscad  12679  ipsbased  12688  ipsaddgd  12689  ipsmulrd  12690  ipsscad  12691  ipsvscad  12692  ipsipd  12693  topgrpbasd  12708  topgrpplusgd  12709  topgrptsetd  12710  prdsex  12774  imasex  12782  imasival  12783  imasbas  12784  imasplusg  12785  imasmulr  12786  imasaddfnlemg  12791  imasaddvallemg  12792  xpsfval  12824  xpsval  12828  intopsn  12843  mgm1  12846  sgrp1  12874  mnd1  12907  mnd1id  12908  grp1  13050  grp1inv  13051  ring1  13411  psrval  13944  fnpsr  13945  psrbasg  13951  psrplusgg  13954  txlm  14239