Theorem opexg 4272

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3817	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
2		elex 2783	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. _V )
3		snexg 4228	. . . . 5 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A } e. _V )
6		elex 2783	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
7		prexg 4255	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
9		prexg 4255	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
11	1, 10	eqeltrd 2282	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642

This theorem is referenced by:  opex  4273  otexg  4274  opeliunxp  4730  opbrop  4754  relsnopg  4779  opswapg  5169  elxp4  5170  elxp5  5171  resfunexg  5805  fliftel  5862  fliftel1  5863  oprabid  5976  ovexg  5978  ovssunirng  5979  eloprabga  6032  op1st  6232  op2nd  6233  ot1stg  6238  ot2ndg  6239  ot3rdgg  6240  elxp6  6255  mpofvex  6291  algrflem  6315  algrflemg  6316  mpoxopoveq  6326  brtposg  6340  tfr0dm  6408  tfrlemisucaccv  6411  tfrlemibxssdm  6413  tfrlemibfn  6414  tfrlemi14d  6419  tfr1onlemsucaccv  6427  tfr1onlembxssdm  6429  tfr1onlembfn  6430  tfr1onlemres  6435  tfrcllemsucaccv  6440  tfrcllembxssdm  6442  tfrcllembfn  6443  tfrcllemres  6448  en2prd  6909  fnfi  7038  djulclb  7157  inl11  7167  1stinl  7176  2ndinl  7177  1stinr  7178  2ndinr  7179  mulpipq2  7484  enq0breq  7549  addvalex  7957  peano2nnnn  7966  axcnre  7994  frec2uzrdg  10554  frecuzrdg0  10558  frecuzrdgg  10561  frecuzrdg0t  10567  zfz1isolem1  10985  s1leng  11078  s111  11085  eucalgval2  12375  crth  12546  phimullem  12547  ennnfonelemp1  12777  setsvala  12863  setsex  12864  setsfun  12867  setsfun0  12868  setsresg  12870  setscom  12872  strslfv  12877  strslfv3  12878  setsslid  12883  strle1g  12938  1strbas  12949  2strbasg  12952  2stropg  12953  2strbas1g  12955  2strop1g  12956  rngbaseg  12968  rngplusgg  12969  rngmulrg  12970  srngbased  12979  srngplusgd  12980  srngmulrd  12981  srnginvld  12982  lmodbased  12997  lmodplusgd  12998  lmodscad  12999  lmodvscad  13000  ipsbased  13009  ipsaddgd  13010  ipsmulrd  13011  ipsscad  13012  ipsvscad  13013  ipsipd  13014  topgrpbasd  13029  topgrpplusgd  13030  topgrptsetd  13031  prdsex  13101  prdsval  13105  imasex  13137  imasival  13138  imasbas  13139  imasplusg  13140  imasmulr  13141  imasaddfnlemg  13146  imasaddvallemg  13147  xpsfval  13180  xpsval  13184  intopsn  13199  mgm1  13202  sgrp1  13243  mnd1  13287  mnd1id  13288  grp1  13438  grp1inv  13439  ring1  13821  psrval  14428  fnpsr  14429  psrbasg  14436  psrplusgg  14440  txlm  14751  struct2slots2dom  15635  structvtxval  15636  structiedg0val  15637  structgrssvtx  15639  structgrssiedg  15640  gropd  15644  edgopval  15654  edgstruct  15656