ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opexg Unicode version

Theorem opexg 4046
Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
opexg  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )

Proof of Theorem opexg
StepHypRef Expression
1 dfopg 3615 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  =  { { A } ,  { A ,  B } } )
2 elex 2630 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
3 snexg 4010 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  _V )
54adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { A }  e.  _V )
6 elex 2630 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
7 prexg 4029 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
82, 6, 7syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { A ,  B }  e.  _V )
9 prexg 4029 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  { { A } ,  { A ,  B } }  e.  _V )
105, 8, 9syl2anc 403 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  { { A } ,  { A ,  B } }  e.  _V )
111, 10eqeltrd 2164 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   {csn 3441   {cpr 3442   <.cop 3444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450
This theorem is referenced by:  opex  4047  otexg  4048  opeliunxp  4481  opbrop  4505  relsnopg  4530  opswapg  4904  elxp4  4905  elxp5  4906  resfunexg  5500  fliftel  5554  fliftel1  5555  oprabid  5663  ovexg  5665  eloprabga  5717  op1st  5899  op2nd  5900  ot1stg  5905  ot2ndg  5906  ot3rdgg  5907  elxp6  5922  mpt2fvex  5955  algrflem  5976  algrflemg  5977  mpt2xopoveq  5987  brtposg  6001  tfr0dm  6069  tfrlemisucaccv  6072  tfrlemibxssdm  6074  tfrlemibfn  6075  tfrlemi14d  6080  tfr1onlemsucaccv  6088  tfr1onlembxssdm  6090  tfr1onlembfn  6091  tfr1onlemres  6096  tfrcllemsucaccv  6101  tfrcllembxssdm  6103  tfrcllembfn  6104  tfrcllemres  6109  fnfi  6625  djulclb  6726  djur  6736  1stinl  6744  2ndinl  6745  1stinr  6746  2ndinr  6747  mulpipq2  6909  enq0breq  6974  addvalex  7360  peano2nnnn  7369  axcnre  7395  frec2uzrdg  9781  frecuzrdg0  9785  frecuzrdgg  9788  frecuzrdg0t  9794  zfz1isolem1  10210  eucalgval2  11117  crth  11282  phimullem  11283
  Copyright terms: Public domain W3C validator