Theorem opexg 4228

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3776	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. = { { A } , { A , B } } )
2		elex 2748	. . . . 5 |- ( A e. V -> A e. _V )
3		snexg 4184	. . . . 5 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A e. V -> { A } e. _V )
5	4	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A } e. _V )
6		elex 2748	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
7		prexg 4211	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { A , B } e. _V )
9		prexg 4211	. . 3 |- ( ( { A } e. _V /\ { A , B } e. _V ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { { A } , { A , B } } e. _V )
11	1, 10	eqeltrd 2254	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3592   {cpr 3593   <.cop 3595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601

This theorem is referenced by:  opex  4229  otexg  4230  opeliunxp  4681  opbrop  4705  relsnopg  4730  opswapg  5115  elxp4  5116  elxp5  5117  resfunexg  5737  fliftel  5793  fliftel1  5794  oprabid  5906  ovexg  5908  eloprabga  5961  op1st  6146  op2nd  6147  ot1stg  6152  ot2ndg  6153  ot3rdgg  6154  elxp6  6169  mpofvex  6203  algrflem  6229  algrflemg  6230  mpoxopoveq  6240  brtposg  6254  tfr0dm  6322  tfrlemisucaccv  6325  tfrlemibxssdm  6327  tfrlemibfn  6328  tfrlemi14d  6333  tfr1onlemsucaccv  6341  tfr1onlembxssdm  6343  tfr1onlembfn  6344  tfr1onlemres  6349  tfrcllemsucaccv  6354  tfrcllembxssdm  6356  tfrcllembfn  6357  tfrcllemres  6362  fnfi  6935  djulclb  7053  inl11  7063  1stinl  7072  2ndinl  7073  1stinr  7074  2ndinr  7075  mulpipq2  7369  enq0breq  7434  addvalex  7842  peano2nnnn  7851  axcnre  7879  frec2uzrdg  10408  frecuzrdg0  10412  frecuzrdgg  10415  frecuzrdg0t  10421  zfz1isolem1  10819  eucalgval2  12052  crth  12223  phimullem  12224  ennnfonelemp1  12406  setsvala  12492  setsex  12493  setsfun  12496  setsfun0  12497  setsresg  12499  setscom  12501  strslfv  12506  setsslid  12512  strle1g  12564  1strbas  12575  2strbasg  12577  2stropg  12578  2strbas1g  12580  2strop1g  12581  rngbaseg  12593  rngplusgg  12594  rngmulrg  12595  srngbased  12604  srngplusgd  12605  srngmulrd  12606  srnginvld  12607  lmodbased  12622  lmodplusgd  12623  lmodscad  12624  lmodvscad  12625  ipsbased  12634  ipsaddgd  12635  ipsmulrd  12636  ipsscad  12637  ipsvscad  12638  ipsipd  12639  topgrpbasd  12651  topgrpplusgd  12652  topgrptsetd  12653  prdsex  12717  imasex  12725  imasival  12726  imasbas  12727  imasplusg  12728  imasmulr  12729  imasaddfnlemg  12734  imasaddvallemg  12735  xpsfval  12766  xpsval  12770  intopsn  12785  mgm1  12788  sgrp1  12815  mnd1  12846  mnd1id  12847  grp1  12975  grp1inv  12976  ring1  13234  txlm  13749