Theorem relsnopg 4764

Description: A singleton of an ordered pair is a relation. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Revised by BJ, 12-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relsnopg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem relsnopg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelvvg 4709	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (V × V))
2		opexg 4258	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
3		relsng 4763	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → (Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (V × V)))
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (V × V)))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3619  ⟨cop 3622   × cxp 4658  Rel wrel 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667

This theorem is referenced by:  imasaddfnlemg  12900