Theorem rexeqbidv 2748

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
raleqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexeqbidv	|- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rexeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	rexeqdv 2738	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ps ) )
3		raleqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
4	3	rexbidv 2534	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. x e. B ch ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wrex 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517

This theorem is referenced by:  supeq123d  7250  gsumfzval  13554  gsumval2  13560  ismnddef  13581  mndpropd  13603  mnd1  13618  isgrp  13669  isgrpd2e  13683  grp1  13769  issrgid  14075  isringid  14119  dvdsrvald  14188  rspsn  14630  mplvalcoe  14791  1loopgrvd0fi  16247