Theorem rexeqbidv 2722

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	|- ( ph -> A = B )
raleqbidv.2	|- ( ph -> ( ps <-> ch ) )

Assertion

Ref	Expression
rexeqbidv	|- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ch ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ph, x

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x)

Proof of Theorem rexeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	rexeqdv 2712	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ps ) )
3		raleqbidv.2	. . 3 |- ( ph -> ( ps <-> ch ) )
4	3	rexbidv 2509	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. B ps <-> E. x e. B ch ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ch ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wrex 2487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rex 2492

This theorem is referenced by:  supeq123d  7119  gsumfzval  13338  gsumval2  13344  ismnddef  13365  mndpropd  13387  mnd1  13402  isgrp  13453  isgrpd2e  13467  grp1  13553  issrgid  13858  isringid  13902  reldvdsrsrg  13969  dvdsrvald  13970  rspsn  14411  mplvalcoe  14567