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Theorem mndpropd 13730
Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
mndpropd.2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mndpropd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mndpropd |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y
Proof of Theorem mndpropd
Dummy variables u s v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. Mnd )
2 simprl 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
3 mndpropd.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
43ad2antrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
52, 4eleqtrd 2317 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
6 simprr 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
76, 4eleqtrd 2317 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
8 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
108, 9mndcl 13713 . . . . . 6 |- ( ( K e. Mnd /\ x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
1211, 4eleqtrrd 2318 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1312ralrimivva 2632 . . 3 |- ( ( ph /\ K e. Mnd ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1413ex 115 . 2 |- ( ph -> ( K e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
15 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. Mnd )
16 simprl 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
17 mndpropd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
1817ad2antrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
1916, 18eleqtrd 2317 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` L ) )
20 simprr 537 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
2120, 18eleqtrd 2317 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` L ) )
22 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
23 eqid 2238 . . . . . . 7 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
2422, 23mndcl 13713 . . . . . 6 |- ( ( L e. Mnd /\ x e. ( Base ` L ) /\ y e. ( Base ` L ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
2515, 19, 21, 24syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
26 mndpropd.3 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2726adantlr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2825, 27, 183eltr4d 2322 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
2928ralrimivva 2632 . . 3 |- ( ( ph /\ L e. Mnd ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
3029ex 115 . 2 |- ( ph -> ( L e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
3126oveqrspc2v 6102 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3231adantlr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3332eleq1d 2307 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. B ) )
34 simplll 539 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ph )
35 simplrl 541 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> u e. B )
36 simplrr 542 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> v e. B )
37 simpllr 540 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
38 ovrspc2v 6101 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
3935, 36, 37, 38syl21anc 1277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
40 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> w e. B )
4126oveqrspc2v 6102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4234, 39, 40, 41syl12anc 1276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4334, 35, 36, 31syl12anc 1276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
4443oveq1d 6090 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4542, 44eqtrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
46 ovrspc2v 6101 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v e. B /\ w e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
4736, 40, 37, 46syl21anc 1277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
4826oveqrspc2v 6102 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
4934, 35, 47, 48syl12anc 1276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
5026oveqrspc2v 6102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5134, 36, 40, 50syl12anc 1276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5251oveq2d 6091 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5349, 52eqtrd 2271 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5445, 53eqeq12d 2253 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
5554ralbidva 2546 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
5633, 55anbi12d 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
57562ralbidva 2572 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
583adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` K ) )
5958eleq2d 2308 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) ) )
6058raleqdv 2755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) )
6159, 60anbi12d 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6258, 61raleqbidv 2765 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6358, 62raleqbidv 2765 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6417adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` L ) )
6564eleq2d 2308 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) ) )
6664raleqdv 2755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
6765, 66anbi12d 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
6864, 67raleqbidv 2765 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
6964, 68raleqbidv 2765 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7057, 63, 693bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
71 simplll 539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ph )
72 simplr 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> s e. B )
73 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> u e. B )
7426oveqrspc2v 6102 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ u e. B ) ) -> ( s ( +g ` K ) u ) = ( s ( +g ` L ) u ) )
7571, 72, 73, 74syl12anc 1276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( s ( +g ` K ) u ) = ( s ( +g ` L ) u ) )
7675eqeq1d 2247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( s ( +g ` K ) u ) = u <-> ( s ( +g ` L ) u ) = u ) )
7726oveqrspc2v 6102 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ s e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) s ) = ( u ( +g ` L ) s ) )
7871, 73, 72, 77syl12anc 1276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( u ( +g ` K ) s ) = ( u ( +g ` L ) s ) )
7978eqeq1d 2247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) s ) = u <-> ( u ( +g ` L ) s ) = u ) )
8076, 79anbi12d 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8180ralbidva 2546 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8281rexbidva 2547 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8358raleqdv 2755 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
8458, 83rexeqbidv 2766 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
8564raleqdv 2755 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) <-> A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8664, 85rexeqbidv 2766 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8782, 84, 863bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8870, 87anbi12d 477 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) <-> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) ) )
898, 9ismnd 13709 . . . 4 |- ( K e. Mnd <-> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
9022, 23ismnd 13709 . . . 4 |- ( L e. Mnd <-> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
9188, 89, 903bitr4g 223 . . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
9291ex 115 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) ) )
9314, 30, 92pm5.21ndd 717 1 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   Mndcmnd 13706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707
This theorem is referenced by:  mndprop  13731  mhmpropd  13750  grppropd  13799  cmnpropd  14075  ringpropd  14316  ring1  14337
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