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Theorem mndpropd 12846
Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
mndpropd.2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mndpropd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mndpropd |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y
Proof of Theorem mndpropd
Dummy variables u s v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. Mnd )
2 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
3 mndpropd.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
43ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
52, 4eleqtrd 2256 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
6 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
76, 4eleqtrd 2256 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
8 eqid 2177 . . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9 eqid 2177 . . . . . . 7 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
108, 9mndcl 12829 . . . . . 6 |- ( ( K e. Mnd /\ x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1238 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
1211, 4eleqtrrd 2257 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1312ralrimivva 2559 . . 3 |- ( ( ph /\ K e. Mnd ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1413ex 115 . 2 |- ( ph -> ( K e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
15 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. Mnd )
16 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
17 mndpropd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
1817ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
1916, 18eleqtrd 2256 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` L ) )
20 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
2120, 18eleqtrd 2256 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` L ) )
22 eqid 2177 . . . . . . 7 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
23 eqid 2177 . . . . . . 7 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
2422, 23mndcl 12829 . . . . . 6 |- ( ( L e. Mnd /\ x e. ( Base ` L ) /\ y e. ( Base ` L ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
2515, 19, 21, 24syl3anc 1238 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
26 mndpropd.3 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2726adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2825, 27, 183eltr4d 2261 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
2928ralrimivva 2559 . . 3 |- ( ( ph /\ L e. Mnd ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
3029ex 115 . 2 |- ( ph -> ( L e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
3126oveqrspc2v 5904 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3231adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3332eleq1d 2246 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. B ) )
34 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ph )
35 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> u e. B )
36 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> v e. B )
37 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
38 ovrspc2v 5903 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
3935, 36, 37, 38syl21anc 1237 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
40 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> w e. B )
4126oveqrspc2v 5904 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4234, 39, 40, 41syl12anc 1236 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4334, 35, 36, 31syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
4443oveq1d 5892 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4542, 44eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
46 ovrspc2v 5903 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v e. B /\ w e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
4736, 40, 37, 46syl21anc 1237 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
4826oveqrspc2v 5904 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
4934, 35, 47, 48syl12anc 1236 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
5026oveqrspc2v 5904 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5134, 36, 40, 50syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5251oveq2d 5893 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5349, 52eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5445, 53eqeq12d 2192 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
5554ralbidva 2473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
5633, 55anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
57562ralbidva 2499 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
583adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` K ) )
5958eleq2d 2247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) ) )
6058raleqdv 2679 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) )
6159, 60anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6258, 61raleqbidv 2685 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6358, 62raleqbidv 2685 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6417adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` L ) )
6564eleq2d 2247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) ) )
6664raleqdv 2679 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
6765, 66anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
6864, 67raleqbidv 2685 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
6964, 68raleqbidv 2685 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7057, 63, 693bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
71 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ph )
72 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> s e. B )
73 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> u e. B )
7426oveqrspc2v 5904 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ u e. B ) ) -> ( s ( +g ` K ) u ) = ( s ( +g ` L ) u ) )
7571, 72, 73, 74syl12anc 1236 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( s ( +g ` K ) u ) = ( s ( +g ` L ) u ) )
7675eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( s ( +g ` K ) u ) = u <-> ( s ( +g ` L ) u ) = u ) )
7726oveqrspc2v 5904 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ s e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) s ) = ( u ( +g ` L ) s ) )
7871, 73, 72, 77syl12anc 1236 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( u ( +g ` K ) s ) = ( u ( +g ` L ) s ) )
7978eqeq1d 2186 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) s ) = u <-> ( u ( +g ` L ) s ) = u ) )
8076, 79anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8180ralbidva 2473 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8281rexbidva 2474 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8358raleqdv 2679 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
8458, 83rexeqbidv 2686 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
8564raleqdv 2679 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) <-> A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8664, 85rexeqbidv 2686 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8782, 84, 863bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8870, 87anbi12d 473 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) <-> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) ) )
898, 9ismnd 12825 . . . 4 |- ( K e. Mnd <-> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
9022, 23ismnd 12825 . . . 4 |- ( L e. Mnd <-> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
9188, 89, 903bitr4g 223 . . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
9291ex 115 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) ) )
9314, 30, 92pm5.21ndd 705 1 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   Mndcmnd 12822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823
This theorem is referenced by:  mndprop  12847  mhmpropd  12862  grppropd  12898  cmnpropd  13103  ringpropd  13222  ring1  13241
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