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Theorem mndpropd 13272
Description: If two structures have the same base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a monoid iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mndpropd.1 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
mndpropd.2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mndpropd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
Assertion
Ref Expression
mndpropd |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   ph, x, y   x, L, y
Proof of Theorem mndpropd
Dummy variables u s v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> K e. Mnd )
2 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
3 mndpropd.1 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
43ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` K ) )
52, 4eleqtrd 2284 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` K ) )
6 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
76, 4eleqtrd 2284 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` K ) )
8 eqid 2205 . . . . . . 7 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
9 eqid 2205 . . . . . . 7 |- ( +g ` K ) = ( +g ` K )
108, 9mndcl 13255 . . . . . 6 |- ( ( K e. Mnd /\ x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
111, 5, 7, 10syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) )
1211, 4eleqtrrd 2285 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ K e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1312ralrimivva 2588 . . 3 |- ( ( ph /\ K e. Mnd ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
1413ex 115 . 2 |- ( ph -> ( K e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
15 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> L e. Mnd )
16 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. B )
17 mndpropd.2 . . . . . . . 8 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
1817ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> B = ( Base ` L ) )
1916, 18eleqtrd 2284 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` L ) )
20 simprr 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. B )
2120, 18eleqtrd 2284 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> y e. ( Base ` L ) )
22 eqid 2205 . . . . . . 7 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
23 eqid 2205 . . . . . . 7 |- ( +g ` L ) = ( +g ` L )
2422, 23mndcl 13255 . . . . . 6 |- ( ( L e. Mnd /\ x e. ( Base ` L ) /\ y e. ( Base ` L ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
2515, 19, 21, 24syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) )
26 mndpropd.3 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2726adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
2825, 27, 183eltr4d 2289 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ L e. Mnd ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
2928ralrimivva 2588 . . 3 |- ( ( ph /\ L e. Mnd ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
3029ex 115 . 2 |- ( ph -> ( L e. Mnd -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) )
3126oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3231adantlr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
3332eleq1d 2274 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. B ) )
34 simplll 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ph )
35 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> u e. B )
36 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> v e. B )
37 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B )
38 ovrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u e. B /\ v e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
3935, 36, 37, 38syl21anc 1249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) e. B )
40 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> w e. B )
4126oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4234, 39, 40, 41syl12anc 1248 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4334, 35, 36, 31syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) v ) = ( u ( +g ` L ) v ) )
4443oveq1d 5959 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
4542, 44eqtrd 2238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) )
46 ovrspc2v 5970 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( v e. B /\ w e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
4736, 40, 37, 46syl21anc 1249 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) e. B )
4826oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ ( v ( +g ` K ) w ) e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
4934, 35, 47, 48syl12anc 1248 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) )
5026oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( v e. B /\ w e. B ) ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5134, 36, 40, 50syl12anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( v ( +g ` K ) w ) = ( v ( +g ` L ) w ) )
5251oveq2d 5960 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5349, 52eqtrd 2238 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) )
5445, 53eqeq12d 2220 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) /\ w e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
5554ralbidva 2502 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
5633, 55anbi12d 473 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
57562ralbidva 2528 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
583adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` K ) )
5958eleq2d 2275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) ) )
6058raleqdv 2708 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) )
6159, 60anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6258, 61raleqbidv 2718 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6358, 62raleqbidv 2718 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) ) )
6417adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> B = ( Base ` L ) )
6564eleq2d 2275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B <-> ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) ) )
6664raleqdv 2708 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) <-> A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) )
6765, 66anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
6864, 67raleqbidv 2718 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
6964, 68raleqbidv 2718 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) e. B /\ A. w e. B ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
7057, 63, 693bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) <-> A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) ) )
71 simplll 533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ph )
72 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> s e. B )
73 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> u e. B )
7426oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ u e. B ) ) -> ( s ( +g ` K ) u ) = ( s ( +g ` L ) u ) )
7571, 72, 73, 74syl12anc 1248 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( s ( +g ` K ) u ) = ( s ( +g ` L ) u ) )
7675eqeq1d 2214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( s ( +g ` K ) u ) = u <-> ( s ( +g ` L ) u ) = u ) )
7726oveqrspc2v 5971 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ s e. B ) ) -> ( u ( +g ` K ) s ) = ( u ( +g ` L ) s ) )
7871, 73, 72, 77syl12anc 1248 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( u ( +g ` K ) s ) = ( u ( +g ` L ) s ) )
7978eqeq1d 2214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( u ( +g ` K ) s ) = u <-> ( u ( +g ` L ) s ) = u ) )
8076, 79anbi12d 473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) /\ u e. B ) -> ( ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8180ralbidva 2502 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) /\ s e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8281rexbidva 2503 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8358raleqdv 2708 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
8458, 83rexeqbidv 2719 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
8564raleqdv 2708 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) <-> A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8664, 85rexeqbidv 2719 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. B A. u e. B ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8782, 84, 863bitr3d 218 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) <-> E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
8870, 87anbi12d 473 . . . 4 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) <-> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) ) )
898, 9ismnd 13251 . . . 4 |- ( K e. Mnd <-> ( A. u e. ( Base ` K ) A. v e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) e. ( Base ` K ) /\ A. w e. ( Base ` K ) ( ( u ( +g ` K ) v ) ( +g ` K ) w ) = ( u ( +g ` K ) ( v ( +g ` K ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` K ) A. u e. ( Base ` K ) ( ( s ( +g ` K ) u ) = u /\ ( u ( +g ` K ) s ) = u ) ) )
9022, 23ismnd 13251 . . . 4 |- ( L e. Mnd <-> ( A. u e. ( Base ` L ) A. v e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) e. ( Base ` L ) /\ A. w e. ( Base ` L ) ( ( u ( +g ` L ) v ) ( +g ` L ) w ) = ( u ( +g ` L ) ( v ( +g ` L ) w ) ) ) /\ E. s e. ( Base ` L ) A. u e. ( Base ` L ) ( ( s ( +g ` L ) u ) = u /\ ( u ( +g ` L ) s ) = u ) ) )
9188, 89, 903bitr4g 223 . . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B ) -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
9291ex 115 . 2 |- ( ph -> ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` K ) y ) e. B -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) ) )
9314, 30, 92pm5.21ndd 707 1 |- ( ph -> ( K e. Mnd <-> L e. Mnd ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Mndcmnd 13248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249
This theorem is referenced by:  mndprop  13273  mhmpropd  13298  grppropd  13349  cmnpropd  13631  ringpropd  13800  ring1  13821
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