Theorem rexeqdv 2756

Description: Equality deduction for restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 14-Jan-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	|- ( ph -> A = B )

Assertion

Ref	Expression
rexeqdv	|- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x)

Proof of Theorem rexeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 |- ( ph -> A = B )
2		rexeq 2750	. 2 |- ( A = B -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ps ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( E. x e. A ps <-> E. x e. B ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534

This theorem is used by:  rexeqtrdv  2758  rexeqtrrdv  2760  rexeqbidv  2766  rexeqbidva  2768  fnunirn  5973  cbvexfo  5992  fival  7304  nninfwlpoimlemg  7515  nninfwlpoimlemginf  7516  nninfwlpoim  7519  nninfinfwlpo  7520  genipv  7876  exfzdc  10659  infssuzex  10666  nninfdcex  10672  zproddc  12346  ennnfonelemrnh  13307  grppropd  13822  dvdsrpropdg  14454  znunit  14994  cnpfval  15296  plyval  15833  uhgrvtxedgiedgb  16384  wlkvtxedg  16604