Theorem rexeqbidv 2766

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
raleqbidv.2	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexeqbidv	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem rexeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	rexeqdv 2756	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3		raleqbidv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	3	rexbidv 2551	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wrex 2529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534

This theorem is used by:  supeq123d  7331  gzsumfzval  13711  gzsumval2  13714  ismnddef  13731  mndpropd  13753  mnd1  13762  isgrp  13811  isgrpd2e  13825  grp1  13911  issrgid  14285  isringid  14330  dvdsrvald  14400  rspsn  14871  mplvalcoe  15081  1loopgrvd0fi  16547