Theorem rpregt0d 10121

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10114	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10117	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10072

This theorem is used by:  reclt1d  10128  recgt1d  10129  ltrecd  10133  lerecd  10134  ltrec1d  10135  lerec2d  10136  lediv2ad  10137  ltdiv2d  10138  lediv2d  10139  ledivdivd  10140  divge0d  10155  ltmul1d  10156  ltmul2d  10157  lemul1d  10158  lemul2d  10159  ltdiv1d  10160  lediv1d  10161  ltmuldivd  10162  ltmuldiv2d  10163  lemuldivd  10164  lemuldiv2d  10165  ltdivmuld  10166  ltdivmul2d  10167  ledivmuld  10168  ledivmul2d  10169  ltdiv23d  10175  lediv23d  10176  lt2mul2divd  10183  mertenslemi1  12327  isprm6  12951  birthdaylem3  16227  bcmono  16304