Theorem rpregt0d 10036

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10029	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10032	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   RRcr 8126   0cc0 8127   < clt 8308   RR+crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  reclt1d  10043  recgt1d  10044  ltrecd  10048  lerecd  10049  ltrec1d  10050  lerec2d  10051  lediv2ad  10052  ltdiv2d  10053  lediv2d  10054  ledivdivd  10055  divge0d  10070  ltmul1d  10071  ltmul2d  10072  lemul1d  10073  lemul2d  10074  ltdiv1d  10075  lediv1d  10076  ltmuldivd  10077  ltmuldiv2d  10078  lemuldivd  10079  lemuldiv2d  10080  ltdivmuld  10081  ltdivmul2d  10082  ledivmuld  10083  ledivmul2d  10084  ltdiv23d  10090  lediv23d  10091  lt2mul2divd  10098  mertenslemi1  12221  isprm6  12844