Theorem rpregt0d 10104

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10097	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10100	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   RR+crp 10054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10055

This theorem is used by:  reclt1d  10111  recgt1d  10112  ltrecd  10116  lerecd  10117  ltrec1d  10118  lerec2d  10119  lediv2ad  10120  ltdiv2d  10121  lediv2d  10122  ledivdivd  10123  divge0d  10138  ltmul1d  10139  ltmul2d  10140  lemul1d  10141  lemul2d  10142  ltdiv1d  10143  lediv1d  10144  ltmuldivd  10145  ltmuldiv2d  10146  lemuldivd  10147  lemuldiv2d  10148  ltdivmuld  10149  ltdivmul2d  10150  ledivmuld  10151  ledivmul2d  10152  ltdiv23d  10158  lediv23d  10159  lt2mul2divd  10166  mertenslemi1  12302  isprm6  12925  birthdaylem3  16089