Theorem rpregt0d 10120

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10113	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10116	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   RR+crp 10070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10071

This theorem is used by:  reclt1d  10127  recgt1d  10128  ltrecd  10132  lerecd  10133  ltrec1d  10134  lerec2d  10135  lediv2ad  10136  ltdiv2d  10137  lediv2d  10138  ledivdivd  10139  divge0d  10154  ltmul1d  10155  ltmul2d  10156  lemul1d  10157  lemul2d  10158  ltdiv1d  10159  lediv1d  10160  ltmuldivd  10161  ltmuldiv2d  10162  lemuldivd  10163  lemuldiv2d  10164  ltdivmuld  10165  ltdivmul2d  10166  ledivmuld  10167  ledivmul2d  10168  ltdiv23d  10174  lediv23d  10175  lt2mul2divd  10182  mertenslemi1  12326  isprm6  12950  birthdaylem3  16244  bcmono  16321