Theorem rpregt0d 10083

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10076	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10079	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   0cc0 8169   < clt 8350   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  reclt1d  10090  recgt1d  10091  ltrecd  10095  lerecd  10096  ltrec1d  10097  lerec2d  10098  lediv2ad  10099  ltdiv2d  10100  lediv2d  10101  ledivdivd  10102  divge0d  10117  ltmul1d  10118  ltmul2d  10119  lemul1d  10120  lemul2d  10121  ltdiv1d  10122  lediv1d  10123  ltmuldivd  10124  ltmuldiv2d  10125  lemuldivd  10126  lemuldiv2d  10127  ltdivmuld  10128  ltdivmul2d  10129  ledivmuld  10130  ledivmul2d  10131  ltdiv23d  10137  lediv23d  10138  lt2mul2divd  10145  mertenslemi1  12280  isprm6  12903