Theorem rpregt0d 10114

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10107	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10110	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8178   0cc0 8179   < clt 8360   RR+crp 10064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10065

This theorem is used by:  reclt1d  10121  recgt1d  10122  ltrecd  10126  lerecd  10127  ltrec1d  10128  lerec2d  10129  lediv2ad  10130  ltdiv2d  10131  lediv2d  10132  ledivdivd  10133  divge0d  10148  ltmul1d  10149  ltmul2d  10150  lemul1d  10151  lemul2d  10152  ltdiv1d  10153  lediv1d  10154  ltmuldivd  10155  ltmuldiv2d  10156  lemuldivd  10157  lemuldiv2d  10158  ltdivmuld  10159  ltdivmul2d  10160  ledivmuld  10161  ledivmul2d  10162  ltdiv23d  10168  lediv23d  10169  lt2mul2divd  10176  mertenslemi1  12318  isprm6  12942  birthdaylem3  16146  bcmono  16202