Theorem rpregt0d 10054

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10047	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10050	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   RRcr 8142   0cc0 8143   < clt 8324   RR+crp 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-rp 10005

This theorem is referenced by:  reclt1d  10061  recgt1d  10062  ltrecd  10066  lerecd  10067  ltrec1d  10068  lerec2d  10069  lediv2ad  10070  ltdiv2d  10071  lediv2d  10072  ledivdivd  10073  divge0d  10088  ltmul1d  10089  ltmul2d  10090  lemul1d  10091  lemul2d  10092  ltdiv1d  10093  lediv1d  10094  ltmuldivd  10095  ltmuldiv2d  10096  lemuldivd  10097  lemuldiv2d  10098  ltdivmuld  10099  ltdivmul2d  10100  ledivmuld  10101  ledivmul2d  10102  ltdiv23d  10108  lediv23d  10109  lt2mul2divd  10116  mertenslemi1  12246  isprm6  12869