Theorem rpregt0d 10115

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 10108	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpgt0d 10111	. 2 |- ( ph -> 0 < A )
4	2, 3	jca 306	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8179   0cc0 8180   < clt 8361   RR+crp 10065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10066

This theorem is used by:  reclt1d  10122  recgt1d  10123  ltrecd  10127  lerecd  10128  ltrec1d  10129  lerec2d  10130  lediv2ad  10131  ltdiv2d  10132  lediv2d  10133  ledivdivd  10134  divge0d  10149  ltmul1d  10150  ltmul2d  10151  lemul1d  10152  lemul2d  10153  ltdiv1d  10154  lediv1d  10155  ltmuldivd  10156  ltmuldiv2d  10157  lemuldivd  10158  lemuldiv2d  10159  ltdivmuld  10160  ltdivmul2d  10161  ledivmuld  10162  ledivmul2d  10163  ltdiv23d  10169  lediv23d  10170  lt2mul2divd  10177  mertenslemi1  12321  isprm6  12945  birthdaylem3  16188  bcmono  16265