Theorem lerec2d 9840

Description: Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
lerec2d.2	|- ( ph -> A <_ ( 1 / B ) )

Assertion

Ref	Expression
lerec2d	|- ( ph -> B <_ ( 1 / A ) )

Proof of Theorem lerec2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerec2d.2	. 2 |- ( ph -> A <_ ( 1 / B ) )
2		rpred.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	2	rpregt0d 9825	. . 3 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
4		rpaddcld.1	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR+ )
5	4	rpregt0d 9825	. . 3 |- ( ph -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
6		lerec2 8962	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A <_ ( 1 / B ) <-> B <_ ( 1 / A ) ) )
8	1, 7	mpbid 147	1 |- ( ph -> B <_ ( 1 / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   < clt 8107   <_ cle 8108   / cdiv 8745   RR+crp 9775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-rp 9776

This theorem is referenced by:  expcnvap0  11813  logbgcd1irraplemexp  15440