Theorem rpap0d 10086

Description: A positive real is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem rpap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpap0 10054	. 2 |- ( A e. RR+ -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4128   0cc0 8173   # cap 8903   RR+crp 10037

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-rp 10038

This theorem is used by:  fldiv4lem1div2uz2  10724  bcm1n  11190  cvg1nlemcxze  11731  resqrexlemover  11759  resqrexlemlo  11762  resqrexlemcalc1  11763  resqrexlemcalc2  11764  resqrexlemcalc3  11765  resqrexlemnm  11767  sqrtdiv  11791  abs00ap  11811  absdivap  11819  expcnvap0  12252  cvgratnnlembern  12273  cvgratz  12282  mertenslemi1  12285  limcimolemlt  15748  reeff1oleme  15856  tanrpcl  15921  logdivlti  15965  rpdivcxp  15996  rpabscxpbnd  16025  logbgcd1irr  16052  2lgslem3b  16196  2lgslem3c  16197  2lgslem3d  16198  cvgcmp2nlemabs  17056  iooref1o  17058  trilpolemisumle  17062