Theorem rpap0d 10120

Description: A positive real is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem rpap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpap0 10088	. 2 |- ( A e. RR+ -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   0cc0 8185   # cap 8917   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-rp 10072

This theorem is used by:  fldiv4lem1div2uz2  10762  bcm1n  11229  cvg1nlemcxze  11770  resqrexlemover  11798  resqrexlemlo  11801  resqrexlemcalc1  11802  resqrexlemcalc2  11803  resqrexlemcalc3  11804  resqrexlemnm  11806  sqrtdiv  11830  abs00ap  11850  absdivap  11858  expcnvap0  12294  cvgratnnlembern  12315  cvgratz  12324  mertenslemi1  12327  limcimolemlt  15890  reeff1oleme  15998  tanrpcl  16064  logdivlti  16111  rpdivcxp  16144  rpabscxpbnd  16175  logbgcd1irr  16203  bposlem9  16319  2lgslem3b  16418  2lgslem3c  16419  2lgslem3d  16420  cvgcmp2nlemabs  17287  iooref1o  17289  trilpolemisumle  17294