Theorem rpap0d 9794

Description: A positive real is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpap0d	|- ( ph -> A # 0 )

Proof of Theorem rpap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpap0 9762	. 2 |- ( A e. RR+ -> A # 0 )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   0cc0 7896   # cap 8625   RR+crp 9745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-rp 9746

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  10413  cvg1nlemcxze  11164  resqrexlemover  11192  resqrexlemlo  11195  resqrexlemcalc1  11196  resqrexlemcalc2  11197  resqrexlemcalc3  11198  resqrexlemnm  11200  sqrtdiv  11224  abs00ap  11244  absdivap  11252  expcnvap0  11684  cvgratnnlembern  11705  cvgratz  11714  mertenslemi1  11717  limcimolemlt  14984  reeff1oleme  15092  tanrpcl  15157  logdivlti  15201  rpdivcxp  15231  rpabscxpbnd  15260  logbgcd1irr  15287  2lgslem3b  15419  2lgslem3c  15420  2lgslem3d  15421  cvgcmp2nlemabs  15763  iooref1o  15765  trilpolemisumle  15769