Theorem rpregt0d 9938

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9931	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 9934	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ℝcr 8031  0cc0 8032   < clt 8214  ℝ⁺crp 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-rp 9889

This theorem is referenced by:  reclt1d  9945  recgt1d  9946  ltrecd  9950  lerecd  9951  ltrec1d  9952  lerec2d  9953  lediv2ad  9954  ltdiv2d  9955  lediv2d  9956  ledivdivd  9957  divge0d  9972  ltmul1d  9973  ltmul2d  9974  lemul1d  9975  lemul2d  9976  ltdiv1d  9977  lediv1d  9978  ltmuldivd  9979  ltmuldiv2d  9980  lemuldivd  9981  lemuldiv2d  9982  ltdivmuld  9983  ltdivmul2d  9984  ledivmuld  9985  ledivmul2d  9986  ltdiv23d  9992  lediv23d  9993  lt2mul2divd  10000  mertenslemi1  12098  isprm6  12721