Theorem rpregt0d 9520

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9513	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 9516	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 304	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ℝcr 7643  0cc0 7644   < clt 7824  ℝ⁺crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  reclt1d  9527  recgt1d  9528  ltrecd  9532  lerecd  9533  ltrec1d  9534  lerec2d  9535  lediv2ad  9536  ltdiv2d  9537  lediv2d  9538  ledivdivd  9539  divge0d  9554  ltmul1d  9555  ltmul2d  9556  lemul1d  9557  lemul2d  9558  ltdiv1d  9559  lediv1d  9560  ltmuldivd  9561  ltmuldiv2d  9562  lemuldivd  9563  lemuldiv2d  9564  ltdivmuld  9565  ltdivmul2d  9566  ledivmuld  9567  ledivmul2d  9568  ltdiv23d  9574  lediv23d  9575  lt2mul2divd  9582  mertenslemi1  11336  isprm6  11861