Theorem rpregt0d 9931

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9924	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 9927	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ℝcr 8024  0cc0 8025   < clt 8207  ℝ⁺crp 9881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-rp 9882

This theorem is referenced by:  reclt1d  9938  recgt1d  9939  ltrecd  9943  lerecd  9944  ltrec1d  9945  lerec2d  9946  lediv2ad  9947  ltdiv2d  9948  lediv2d  9949  ledivdivd  9950  divge0d  9965  ltmul1d  9966  ltmul2d  9967  lemul1d  9968  lemul2d  9969  ltdiv1d  9970  lediv1d  9971  ltmuldivd  9972  ltmuldiv2d  9973  lemuldivd  9974  lemuldiv2d  9975  ltdivmuld  9976  ltdivmul2d  9977  ledivmuld  9978  ledivmul2d  9979  ltdiv23d  9985  lediv23d  9986  lt2mul2divd  9993  mertenslemi1  12089  isprm6  12712