Theorem rpregt0d 10122

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10115	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 10118	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8185  0cc0 8186   < clt 8367  ℝ⁺crp 10072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10073

This theorem is used by:  reclt1d  10129  recgt1d  10130  ltrecd  10134  lerecd  10135  ltrec1d  10136  lerec2d  10137  lediv2ad  10138  ltdiv2d  10139  lediv2d  10140  ledivdivd  10141  divge0d  10156  ltmul1d  10157  ltmul2d  10158  lemul1d  10159  lemul2d  10160  ltdiv1d  10161  lediv1d  10162  ltmuldivd  10163  ltmuldiv2d  10164  lemuldivd  10165  lemuldiv2d  10166  ltdivmuld  10167  ltdivmul2d  10168  ledivmuld  10169  ledivmul2d  10170  ltdiv23d  10176  lediv23d  10177  lt2mul2divd  10184  mertenslemi1  12328  isprm6  12952  birthdaylem3  16239  bcmono  16316