Theorem rpregt0d 9862

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9855	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 9858	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4060  ℝcr 7961  0cc0 7962   < clt 8144  ℝ⁺crp 9812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-rab 2495  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-br 4061  df-rp 9813

This theorem is referenced by:  reclt1d  9869  recgt1d  9870  ltrecd  9874  lerecd  9875  ltrec1d  9876  lerec2d  9877  lediv2ad  9878  ltdiv2d  9879  lediv2d  9880  ledivdivd  9881  divge0d  9896  ltmul1d  9897  ltmul2d  9898  lemul1d  9899  lemul2d  9900  ltdiv1d  9901  lediv1d  9902  ltmuldivd  9903  ltmuldiv2d  9904  lemuldivd  9905  lemuldiv2d  9906  ltdivmuld  9907  ltdivmul2d  9908  ledivmuld  9909  ledivmul2d  9910  ltdiv23d  9916  lediv23d  9917  lt2mul2divd  9924  mertenslemi1  12007  isprm6  12630