Theorem rpregt0d 9916

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 9909	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 9912	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8014  0cc0 8015   < clt 8197  ℝ⁺crp 9866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-rp 9867

This theorem is referenced by:  reclt1d  9923  recgt1d  9924  ltrecd  9928  lerecd  9929  ltrec1d  9930  lerec2d  9931  lediv2ad  9932  ltdiv2d  9933  lediv2d  9934  ledivdivd  9935  divge0d  9950  ltmul1d  9951  ltmul2d  9952  lemul1d  9953  lemul2d  9954  ltdiv1d  9955  lediv1d  9956  ltmuldivd  9957  ltmuldiv2d  9958  lemuldivd  9959  lemuldiv2d  9960  ltdivmuld  9961  ltdivmul2d  9962  ledivmuld  9963  ledivmul2d  9964  ltdiv23d  9970  lediv23d  9971  lt2mul2divd  9978  mertenslemi1  12067  isprm6  12690