Theorem rpregt0d 10087

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10080	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 10083	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ℝcr 8172  0cc0 8173   < clt 8354  ℝ⁺crp 10037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-br 4129  df-rp 10038

This theorem is referenced by:  reclt1d  10094  recgt1d  10095  ltrecd  10099  lerecd  10100  ltrec1d  10101  lerec2d  10102  lediv2ad  10103  ltdiv2d  10104  lediv2d  10105  ledivdivd  10106  divge0d  10121  ltmul1d  10122  ltmul2d  10123  lemul1d  10124  lemul2d  10125  ltdiv1d  10126  lediv1d  10127  ltmuldivd  10128  ltmuldiv2d  10129  lemuldivd  10130  lemuldiv2d  10131  ltdivmuld  10132  ltdivmul2d  10133  ledivmuld  10134  ledivmul2d  10135  ltdiv23d  10141  lediv23d  10142  lt2mul2divd  10149  mertenslemi1  12285  isprm6  12908  birthdaylem3  16072