Theorem rpregt0d 10057

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10050	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 10053	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ℝcr 8142  0cc0 8143   < clt 8324  ℝ⁺crp 10007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-rp 10008

This theorem is referenced by:  reclt1d  10064  recgt1d  10065  ltrecd  10069  lerecd  10070  ltrec1d  10071  lerec2d  10072  lediv2ad  10073  ltdiv2d  10074  lediv2d  10075  ledivdivd  10076  divge0d  10091  ltmul1d  10092  ltmul2d  10093  lemul1d  10094  lemul2d  10095  ltdiv1d  10096  lediv1d  10097  ltmuldivd  10098  ltmuldiv2d  10099  lemuldivd  10100  lemuldiv2d  10101  ltdivmuld  10102  ltdivmul2d  10103  ledivmuld  10104  ledivmul2d  10105  ltdiv23d  10111  lediv23d  10112  lt2mul2divd  10119  mertenslemi1  12249  isprm6  12872