Theorem rpregt0d 10042

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10035	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 10038	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ℝcr 8131  0cc0 8132   < clt 8313  ℝ⁺crp 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-br 4112  df-rp 9993

This theorem is referenced by:  reclt1d  10049  recgt1d  10050  ltrecd  10054  lerecd  10055  ltrec1d  10056  lerec2d  10057  lediv2ad  10058  ltdiv2d  10059  lediv2d  10060  ledivdivd  10061  divge0d  10076  ltmul1d  10077  ltmul2d  10078  lemul1d  10079  lemul2d  10080  ltdiv1d  10081  lediv1d  10082  ltmuldivd  10083  ltmuldiv2d  10084  lemuldivd  10085  lemuldiv2d  10086  ltdivmuld  10087  ltdivmul2d  10088  ledivmuld  10089  ledivmul2d  10090  ltdiv23d  10096  lediv23d  10097  lt2mul2divd  10104  mertenslemi1  12229  isprm6  12852