Theorem rpregt0d 10106

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 10099	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 10102	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  0cc0 8179   < clt 8360  ℝ⁺crp 10056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10057

This theorem is used by:  reclt1d  10113  recgt1d  10114  ltrecd  10118  lerecd  10119  ltrec1d  10120  lerec2d  10121  lediv2ad  10122  ltdiv2d  10123  lediv2d  10124  ledivdivd  10125  divge0d  10140  ltmul1d  10141  ltmul2d  10142  lemul1d  10143  lemul2d  10144  ltdiv1d  10145  lediv1d  10146  ltmuldivd  10147  ltmuldiv2d  10148  lemuldivd  10149  lemuldiv2d  10150  ltdivmuld  10151  ltdivmul2d  10152  ledivmuld  10153  ledivmul2d  10154  ltdiv23d  10160  lediv23d  10161  lt2mul2divd  10168  mertenslemi1  12304  isprm6  12927  birthdaylem3  16095  bcmono  16124