Theorem rpred 10029

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9997	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sselid 3236	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   RRcr 8126   RR+crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-in 3217  df-ss 3224  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  rpxrd  10030  rpcnd  10031  rpregt0d  10036  rprege0d  10037  rprene0d  10038  rprecred  10041  ltmulgt11d  10065  ltmulgt12d  10066  gt0divd  10067  ge0divd  10068  lediv12ad  10089  ltexp2a  10953  leexp2a  10954  expnlbnd2  11027  cvg1nlemcxze  11667  cvg1nlemcau  11669  cvg1nlemres  11670  cvg1n  11671  resqrexlemp1rp  11691  resqrexlemfp1  11694  resqrexlemover  11695  resqrexlemdec  11696  resqrexlemdecn  11697  resqrexlemlo  11698  resqrexlemcalc1  11699  resqrexlemcalc2  11700  resqrexlemcalc3  11701  resqrexlemnmsq  11702  resqrexlemnm  11703  resqrexlemcvg  11704  resqrexlemgt0  11705  resqrexlemoverl  11706  resqrexlemglsq  11707  resqrexlemga  11708  cau3lem  11799  bdtrilem  11924  bdtri  11925  addcn2  11995  mulcn2  11997  reccn2ap  11998  climrecvg1n  12033  climcvg1nlem  12034  isumrpcl  12180  expcnvap0  12188  absgtap  12196  cvgratnnlemsumlt  12214  cvgratnnlemfm  12215  cvgratnnlemrate  12216  mertenslemi1  12221  effsumlt  12378  eirraplem  12463  bitsmod  12642  4sqlem7  13082  ssblex  15296  metss2lem  15362  addcncntoplem  15426  mulcncflem  15472  ivthinclemlopn  15501  ivthinclemuopn  15503  limcimolemlt  15529  limcimo  15530  cnplimclemle  15533  limccnp2lem  15541  dveflem  15591  efltlemlt  15639  pilem3  15648  cxplt  15781  cxple  15782  rpcxple2  15783  rpcxplt2  15784  rpcxpsqrt  15787  rpabscxpbnd  15805  logbgt0b  15831  logbgcd1irr  15832  logbgcd1irraplemexp  15833  qdencn  16807  cvgcmp2nlemabs  16816  iooref1o  16818  trilpolemclim  16820  trilpolemisumle  16822  trilpolemeq1  16824  nconstwlpolemgt0  16850  taupi  16859