Theorem rpred 9513

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9481	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sseldi 3100	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   RRcr 7643   RR+crp 9470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rab 2426  df-in 3082  df-ss 3089  df-rp 9471

This theorem is referenced by:  rpxrd  9514  rpcnd  9515  rpregt0d  9520  rprege0d  9521  rprene0d  9522  rprecred  9525  ltmulgt11d  9549  ltmulgt12d  9550  gt0divd  9551  ge0divd  9552  lediv12ad  9573  ltexp2a  10376  leexp2a  10377  expnlbnd2  10448  cvg1nlemcxze  10786  cvg1nlemcau  10788  cvg1nlemres  10789  cvg1n  10790  resqrexlemp1rp  10810  resqrexlemfp1  10813  resqrexlemover  10814  resqrexlemdec  10815  resqrexlemdecn  10816  resqrexlemlo  10817  resqrexlemcalc1  10818  resqrexlemcalc2  10819  resqrexlemcalc3  10820  resqrexlemnmsq  10821  resqrexlemnm  10822  resqrexlemcvg  10823  resqrexlemgt0  10824  resqrexlemoverl  10825  resqrexlemglsq  10826  resqrexlemga  10827  cau3lem  10918  bdtrilem  11042  bdtri  11043  addcn2  11111  mulcn2  11113  reccn2ap  11114  climrecvg1n  11149  climcvg1nlem  11150  isumrpcl  11295  expcnvap0  11303  absgtap  11311  cvgratnnlemsumlt  11329  cvgratnnlemfm  11330  cvgratnnlemrate  11331  mertenslemi1  11336  effsumlt  11435  eirraplem  11519  ssblex  12639  metss2lem  12705  addcncntoplem  12759  mulcncflem  12798  ivthinclemlopn  12822  ivthinclemuopn  12824  limcimolemlt  12841  limcimo  12842  cnplimclemle  12845  limccnp2lem  12853  dveflem  12895  efltlemlt  12903  pilem3  12912  cxplt  13044  cxple  13045  rpcxple2  13046  rpcxplt2  13047  rpcxpsqrt  13050  rpabscxpbnd  13067  logbgt0b  13091  logbgcd1irr  13092  logbgcd1irraplemexp  13093  qdencn  13397  cvgcmp2nlemabs  13402  trilpolemclim  13404  trilpolemisumle  13406  trilpolemeq1  13408  iooref1o  13426  taupi  13430