Theorem rpred 9818

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9786	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sselid 3191	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   RRcr 7924   RR+crp 9775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-rab 2493  df-in 3172  df-ss 3179  df-rp 9776

This theorem is referenced by:  rpxrd  9819  rpcnd  9820  rpregt0d  9825  rprege0d  9826  rprene0d  9827  rprecred  9830  ltmulgt11d  9854  ltmulgt12d  9855  gt0divd  9856  ge0divd  9857  lediv12ad  9878  ltexp2a  10736  leexp2a  10737  expnlbnd2  10810  cvg1nlemcxze  11293  cvg1nlemcau  11295  cvg1nlemres  11296  cvg1n  11297  resqrexlemp1rp  11317  resqrexlemfp1  11320  resqrexlemover  11321  resqrexlemdec  11322  resqrexlemdecn  11323  resqrexlemlo  11324  resqrexlemcalc1  11325  resqrexlemcalc2  11326  resqrexlemcalc3  11327  resqrexlemnmsq  11328  resqrexlemnm  11329  resqrexlemcvg  11330  resqrexlemgt0  11331  resqrexlemoverl  11332  resqrexlemglsq  11333  resqrexlemga  11334  cau3lem  11425  bdtrilem  11550  bdtri  11551  addcn2  11621  mulcn2  11623  reccn2ap  11624  climrecvg1n  11659  climcvg1nlem  11660  isumrpcl  11805  expcnvap0  11813  absgtap  11821  cvgratnnlemsumlt  11839  cvgratnnlemfm  11840  cvgratnnlemrate  11841  mertenslemi1  11846  effsumlt  12003  eirraplem  12088  bitsmod  12267  4sqlem7  12707  ssblex  14903  metss2lem  14969  addcncntoplem  15033  mulcncflem  15079  ivthinclemlopn  15108  ivthinclemuopn  15110  limcimolemlt  15136  limcimo  15137  cnplimclemle  15140  limccnp2lem  15148  dveflem  15198  efltlemlt  15246  pilem3  15255  cxplt  15388  cxple  15389  rpcxple2  15390  rpcxplt2  15391  rpcxpsqrt  15394  rpabscxpbnd  15412  logbgt0b  15438  logbgcd1irr  15439  logbgcd1irraplemexp  15440  qdencn  15966  cvgcmp2nlemabs  15971  iooref1o  15973  trilpolemclim  15975  trilpolemisumle  15977  trilpolemeq1  15979  nconstwlpolemgt0  16003  taupi  16012