Theorem rpred 10107

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 10075	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sselid 3246	1 |- ( ph -> A e. RR )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   RRcr 8178   RR+crp 10064

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-in 3226  df-ss 3233  df-rp 10065

This theorem is used by:  rpxrd  10108  rpcnd  10109  rpregt0d  10114  rprege0d  10115  rprene0d  10116  rprecred  10119  ltmulgt11d  10143  ltmulgt12d  10144  gt0divd  10145  ge0divd  10146  lediv12ad  10167  ltexp2a  11041  leexp2a  11042  expnlbnd2  11116  cvg1nlemcxze  11762  cvg1nlemcau  11764  cvg1nlemres  11765  cvg1n  11766  resqrexlemp1rp  11786  resqrexlemfp1  11789  resqrexlemover  11790  resqrexlemdec  11791  resqrexlemdecn  11792  resqrexlemlo  11793  resqrexlemcalc1  11794  resqrexlemcalc2  11795  resqrexlemcalc3  11796  resqrexlemnmsq  11797  resqrexlemnm  11798  resqrexlemcvg  11799  resqrexlemgt0  11800  resqrexlemoverl  11801  resqrexlemglsq  11802  resqrexlemga  11803  cau3lem  11895  bdtrilem  12021  bdtri  12022  addcn2  12092  mulcn2  12094  reccn2ap  12095  climrecvg1n  12130  climcvg1nlem  12131  isumrpcl  12277  expcnvap0  12285  absgtap  12293  cvgratnnlemsumlt  12311  cvgratnnlemfm  12312  cvgratnnlemrate  12313  mertenslemi1  12318  effsumlt  12475  eirraplem  12560  bitsmod  12739  4sqlem7  13183  ssblex  15581  metss2lem  15647  addcncntoplem  15711  mulcncflem  15757  ivthinclemlopn  15786  ivthinclemuopn  15788  limcimolemlt  15814  limcimo  15815  cnplimclemle  15818  limccnp2lem  15826  dveflem  15876  efltlemlt  15924  pilem3  15934  cxplt  16071  cxple  16072  rpcxple2  16073  rpcxplt2  16074  rpcxpsqrt  16077  rpabscxpbnd  16095  logbgt0b  16121  logbgcd1irr  16122  logbgcd1irraplemexp  16123  log2tlbndlog2  16139  bclbnd  16205  prmefexple  16206  bposlem1  16209  bposlem5  16213  qdencn  17170  cvgcmp2nlemabs  17179  iooref1o  17181  trilpolemclim  17183  trilpolemisumle  17185  trilpolemeq1  17187  nconstwlpolemgt0  17212  taupi  17221