Theorem rpred 9921

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9889	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sselid 3223	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   RRcr 8021   RR+crp 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rab 2517  df-in 3204  df-ss 3211  df-rp 9879

This theorem is referenced by:  rpxrd  9922  rpcnd  9923  rpregt0d  9928  rprege0d  9929  rprene0d  9930  rprecred  9933  ltmulgt11d  9957  ltmulgt12d  9958  gt0divd  9959  ge0divd  9960  lediv12ad  9981  ltexp2a  10843  leexp2a  10844  expnlbnd2  10917  cvg1nlemcxze  11533  cvg1nlemcau  11535  cvg1nlemres  11536  cvg1n  11537  resqrexlemp1rp  11557  resqrexlemfp1  11560  resqrexlemover  11561  resqrexlemdec  11562  resqrexlemdecn  11563  resqrexlemlo  11564  resqrexlemcalc1  11565  resqrexlemcalc2  11566  resqrexlemcalc3  11567  resqrexlemnmsq  11568  resqrexlemnm  11569  resqrexlemcvg  11570  resqrexlemgt0  11571  resqrexlemoverl  11572  resqrexlemglsq  11573  resqrexlemga  11574  cau3lem  11665  bdtrilem  11790  bdtri  11791  addcn2  11861  mulcn2  11863  reccn2ap  11864  climrecvg1n  11899  climcvg1nlem  11900  isumrpcl  12045  expcnvap0  12053  absgtap  12061  cvgratnnlemsumlt  12079  cvgratnnlemfm  12080  cvgratnnlemrate  12081  mertenslemi1  12086  effsumlt  12243  eirraplem  12328  bitsmod  12507  4sqlem7  12947  ssblex  15145  metss2lem  15211  addcncntoplem  15275  mulcncflem  15321  ivthinclemlopn  15350  ivthinclemuopn  15352  limcimolemlt  15378  limcimo  15379  cnplimclemle  15382  limccnp2lem  15390  dveflem  15440  efltlemlt  15488  pilem3  15497  cxplt  15630  cxple  15631  rpcxple2  15632  rpcxplt2  15633  rpcxpsqrt  15636  rpabscxpbnd  15654  logbgt0b  15680  logbgcd1irr  15681  logbgcd1irraplemexp  15682  qdencn  16567  cvgcmp2nlemabs  16572  iooref1o  16574  trilpolemclim  16576  trilpolemisumle  16578  trilpolemeq1  16580  nconstwlpolemgt0  16604  taupi  16613