Theorem rpred 9762

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9730	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sselid 3177	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   RRcr 7871   RR+crp 9719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rab 2481  df-in 3159  df-ss 3166  df-rp 9720

This theorem is referenced by:  rpxrd  9763  rpcnd  9764  rpregt0d  9769  rprege0d  9770  rprene0d  9771  rprecred  9774  ltmulgt11d  9798  ltmulgt12d  9799  gt0divd  9800  ge0divd  9801  lediv12ad  9822  ltexp2a  10662  leexp2a  10663  expnlbnd2  10736  cvg1nlemcxze  11126  cvg1nlemcau  11128  cvg1nlemres  11129  cvg1n  11130  resqrexlemp1rp  11150  resqrexlemfp1  11153  resqrexlemover  11154  resqrexlemdec  11155  resqrexlemdecn  11156  resqrexlemlo  11157  resqrexlemcalc1  11158  resqrexlemcalc2  11159  resqrexlemcalc3  11160  resqrexlemnmsq  11161  resqrexlemnm  11162  resqrexlemcvg  11163  resqrexlemgt0  11164  resqrexlemoverl  11165  resqrexlemglsq  11166  resqrexlemga  11167  cau3lem  11258  bdtrilem  11382  bdtri  11383  addcn2  11453  mulcn2  11455  reccn2ap  11456  climrecvg1n  11491  climcvg1nlem  11492  isumrpcl  11637  expcnvap0  11645  absgtap  11653  cvgratnnlemsumlt  11671  cvgratnnlemfm  11672  cvgratnnlemrate  11673  mertenslemi1  11678  effsumlt  11835  eirraplem  11920  4sqlem7  12522  ssblex  14599  metss2lem  14665  addcncntoplem  14719  mulcncflem  14761  ivthinclemlopn  14790  ivthinclemuopn  14792  limcimolemlt  14818  limcimo  14819  cnplimclemle  14822  limccnp2lem  14830  dveflem  14872  efltlemlt  14909  pilem3  14918  cxplt  15050  cxple  15051  rpcxple2  15052  rpcxplt2  15053  rpcxpsqrt  15056  rpabscxpbnd  15073  logbgt0b  15098  logbgcd1irr  15099  logbgcd1irraplemexp  15100  qdencn  15517  cvgcmp2nlemabs  15522  iooref1o  15524  trilpolemclim  15526  trilpolemisumle  15528  trilpolemeq1  15530  nconstwlpolemgt0  15554  taupi  15563