Theorem rpred 9476

Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpred	|- ( ph -> A e. RR )

Proof of Theorem rpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 9445	. 2 |- RR+ C_ RR
2		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
3	1, 2	sseldi 3090	1 |- ( ph -> A e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   RRcr 7612   RR+crp 9434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rab 2423  df-in 3072  df-ss 3079  df-rp 9435

This theorem is referenced by:  rpxrd  9477  rpcnd  9478  rpregt0d  9483  rprege0d  9484  rprene0d  9485  rprecred  9488  ltmulgt11d  9512  ltmulgt12d  9513  gt0divd  9514  ge0divd  9515  lediv12ad  9536  ltexp2a  10338  leexp2a  10339  expnlbnd2  10410  cvg1nlemcxze  10747  cvg1nlemcau  10749  cvg1nlemres  10750  cvg1n  10751  resqrexlemp1rp  10771  resqrexlemfp1  10774  resqrexlemover  10775  resqrexlemdec  10776  resqrexlemdecn  10777  resqrexlemlo  10778  resqrexlemcalc1  10779  resqrexlemcalc2  10780  resqrexlemcalc3  10781  resqrexlemnmsq  10782  resqrexlemnm  10783  resqrexlemcvg  10784  resqrexlemgt0  10785  resqrexlemoverl  10786  resqrexlemglsq  10787  resqrexlemga  10788  cau3lem  10879  bdtrilem  11003  bdtri  11004  addcn2  11072  mulcn2  11074  reccn2ap  11075  climrecvg1n  11110  climcvg1nlem  11111  isumrpcl  11256  expcnvap0  11264  absgtap  11272  cvgratnnlemsumlt  11290  cvgratnnlemfm  11291  cvgratnnlemrate  11292  mertenslemi1  11297  effsumlt  11387  eirraplem  11472  ssblex  12589  metss2lem  12655  addcncntoplem  12709  mulcncflem  12748  ivthinclemlopn  12772  ivthinclemuopn  12774  limcimolemlt  12791  limcimo  12792  cnplimclemle  12795  limccnp2lem  12803  dveflem  12844  pilem3  12853  qdencn  13211  cvgcmp2nlemabs  13216  trilpolemclim  13218  trilpolemisumle  13220  trilpolemeq1  13222  taupi  13228