Theorem lediv2ad 9715

Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )
lediv2ad.3	|- ( ph -> C e. RR )
lediv2ad.4	|- ( ph -> 0 <_ C )
lediv2ad.5	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
lediv2ad	|- ( ph -> ( C / B ) <_ ( C / A ) )

Proof of Theorem lediv2ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpregt0d 9699	. 2 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
3		rpaddcld.1	. . 3 |- ( ph -> B e. RR+ )
4	3	rpregt0d 9699	. 2 |- ( ph -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
5		lediv2ad.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		lediv2ad.4	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ C )
7	5, 6	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
8		lediv2ad.5	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
9		lediv2a 8848	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( C e. RR /\ 0 <_ C ) ) /\ A <_ B ) -> ( C / B ) <_ ( C / A ) )
10	2, 4, 7, 8, 9	syl31anc 1241	1 |- ( ph -> ( C / B ) <_ ( C / A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   RRcr 7807   0cc0 7808   < clt 7988   <_ cle 7989   / cdiv 8625   RR+crp 9649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-rp 9650

This theorem is referenced by: (None)