Proof of Theorem mertenslemi1
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mertens.i12 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![m m](_m.gif) ![(
(](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![2 2](2.gif) ![s
s](_s.gif) ![( (](lp.gif)
![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
2 | 1 | simpld 111 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![ps ps](_psi.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | | mertens.11 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![s s](_s.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1
1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![2 2](2.gif) ![( (](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | 2, 3 | sylib 121 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A.
A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![s s](_s.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![2 2](2.gif) ![( (](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif)
![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | 4 | simpld 111 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![NN NN](bbn.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | 5 | nnnn0d 9054 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | 1 | simprd 113 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A.
A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![m m](_m.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![2 2](2.gif) ![s s](_s.gif) ![(
(](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
8 | 7 | simpld 111 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
9 | 6, 8 | nn0addcld 9058 |
. 2
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | | 0zd 9090 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | | eluzelz 9359 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
12 | 11 | adantl 275 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | 10, 12 | fzfigd 10235 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![Fin
Fin](_fin.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | | simpl 108 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![ph ph](_varphi.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | | elfznn0 9925 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
16 | | mertens.3 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![NN0 NN0](_bbn0.gif)
![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
17 | 14, 15, 16 | syl2an 287 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | | eqid 2140 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | | fznn0sub 9868 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | 19 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | | peano2nn0 9041 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![NN0
NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 22 | nn0zd 9195 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | | simplll 523 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![ph ph](_varphi.gif) ![) )](rp.gif) |
25 | | eluznn0 9420 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
26 | 22, 25 | sylan 281 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![) )](rp.gif) |
27 | | mertens.4 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![NN0 NN0](_bbn0.gif)
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
28 | 24, 26, 27 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | | mertens.5 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![NN0 NN0](_bbn0.gif)
![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
30 | 24, 26, 29 | syl2anc 409 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>=
ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
31 | | mertens.8 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![seq seq](_seq.gif) ![0 0](0.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
32 | 31 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![seq seq](_seq.gif) ![0 0](0.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
33 | | nn0uz 9384 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![0 0](0.gif) ![) )](rp.gif) |
34 | | simpll 519 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![ph ph](_varphi.gif) ![) )](rp.gif) |
35 | 27, 29 | eqeltrd 2217 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![NN0 NN0](_bbn0.gif)
![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 34, 35 | sylan 281 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![) )](rp.gif) ![NN0 NN0](_bbn0.gif) ![( (](lp.gif) ![G G](_cg.gif) ![` `](backtick.gif) ![k k](_k.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 33, 22, 36 | iserex 11140 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![seq seq](_seq.gif) ![0 0](0.gif) ![G G](_cg.gif) ![seq seq](_seq.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 32, 37 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![seq seq](_seq.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![G G](_cg.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | 18, 23, 28, 30, 38 | isumcl 11226 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
40 | 17, 39 | mulcld 7810 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif)
![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![B B](_cb.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
41 | 13, 40 | fsumcl 11201 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![)
)](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![B B](_cb.gif) ![CC CC](bbc.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | 41 | abscld 10985 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![sum_
sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![m m](_m.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif)
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43 | 40 | abscld 10985 |
. . . . 5
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. . . 4
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. . . . . 6
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. . . . 5
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. . . 4
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. . . 4
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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64 | | eqid 2140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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67 | | elfzuzb 9831 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . 13
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71 | | elfzelz 9837 |
. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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. . . . . 6
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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. . . . . 6
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. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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. . . . . 6
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . . . 11
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105 | | eqidd 2141 |
. . . . . . . . . . 11
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106 | | mertens.2 |
. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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![NN0 NN0](_bbn0.gif)
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif)
![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
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. . . . . . . 8
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. . . . . . 7
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. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![2
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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119 | 101, 118 | remulcld 7820 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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(](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
121 | | simplll 523 |
. . . . . . . . . . . . 13
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122 | 78, 22 | syldan 280 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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123 | 122, 25 | sylan 281 |
. . . . . . . . . . . . 13
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124 | 121, 123,
27 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
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125 | 121, 123,
29 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
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126 | 78, 38 | syldan 280 |
. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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128 | 127 | abscld 10985 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . . 11
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130 | 14, 100, 129 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . 10
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131 | 124 | sumeq2dv 11169 |
. . . . . . . . . . . . 13
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132 | 131 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . 12
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133 | | fvoveq1 5805 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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135 | 134 | fveq2d 5433 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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136 | 135 | breq1d 3947 |
. . . . . . . . . . . . 13
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137 | 4 | simprd 113 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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138 | 137 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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143 | 142 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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146 | | elfzle2 9839 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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148 | 141, 143,
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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152 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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155 | 128, 118,
154 | ltled 7905 |
. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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130, 155, 156 | syl31anc 1220 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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172 | 171, 116 | eqeltrid 2227 |
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173 | 172 | rpcnd 9515 |
. . . . . . . . . . . 12
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2](2.gif) ![( (](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![`
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174 | 173 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
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175 | 79 | recnd 7818 |
. . . . . . . . . . . 12
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![NN0 NN0](_bbn0.gif)
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176 | 14, 100, 175 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . . 11
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177 | 52, 174, 176 | fsummulc1 11250 |
. . . . . . . . . 10
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178 | 171 | oveq2i 5793 |
. . . . . . . . . 10
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179 | 171 | oveq2i 5793 |
. . . . . . . . . . . 12
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(](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![n n](_n.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![2 2](2.gif) ![(
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180 | 179 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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181 | 180 | sumeq2i 11165 |
. . . . . . . . . 10
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182 | 177, 178,
181 | 3eqtr3g 2196 |
. . . . . . . . 9
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(](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![(
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183 | 167, 182 | eqtrd 2173 |
. . . . . . . 8
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184 | 158, 183 | breqtrrd 3964 |
. . . . . . 7
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(](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![0 0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![( (](lp.gif) ![2 2](2.gif) ![) )](rp.gif) ![( (](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![K K](_ck.gif) ![` `](backtick.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
185 | 109 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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186 | 163 | adantr 274 |
. . . . . . . . . 10
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![( (](lp.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif)
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187 | | fz0ssnn0 9927 |
. . . . . . . . . . . . 13
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188 | 187 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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189 | 106 | adantlr 469 |
. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif)
![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
191 | 190 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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NN0](_bbn0.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
192 | | 0zd 9090 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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NN0](_bbn0.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
193 | 51 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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NN0](_bbn0.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
194 | | fzdcel 9851 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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195 | 191, 192,
193, 194 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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NN0](_bbn0.gif)
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0](0.gif) ![... ...](ldots.gif) ![( (](lp.gif) ![s s](_s.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
196 | 195 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
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197 | 79 | adantlr 469 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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NN0](_bbn0.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
198 | 110 | adantlr 469 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![NN0
NN0](_bbn0.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![A A](_ca.gif) ![)
)](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
199 | 108 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
`](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![t t](_t.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif)
![seq seq](_seq.gif) ![0 0](0.gif) ![K K](_ck.gif) ![) )](rp.gif) |
200 | 33, 10, 52, 188, 189, 196, 197, 198, 199 | isumlessdc 11297 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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. . . . . . . . 9
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230 | | simpll 519 |
. . . . . . . . . . . 12
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231 | 94, 15 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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232 | 230, 231,
79 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . 11
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233 | 227 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
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234 | 230, 231,
106 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . . . 14
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238 | 237 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
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239 | | elfzuz 9833 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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240 | | eluzle 9362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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243 | 242 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
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245 | 56, 244, 55 | leaddsub2d 8333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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247 | | eluz 9363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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. . . . . . . . . . . . . . . 16
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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251 | 249, 250 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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252 | | uztrn 9366 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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253 | 239, 251,
252 | syl2anr 288 |
. . . . . . . . . . . . 13
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254 | 236, 238,
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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257 | | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . 11
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258 | | mertens.pub |
. . . . . . . . . . . 12
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259 | 258 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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)](rp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![P P](_cp.gif) ![) )](rp.gif) |
260 | 55 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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261 | | peano2zm 9116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
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. . . . . . . . . . . . . . . . 17
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![ZZ ZZ](bbz.gif) ![) )](rp.gif) |
263 | 262 | zred 9197 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![1 1](1.gif) ![RR RR](bbr.gif) ![) )](rp.gif) |
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. . . . . . . . . . . . . . 15
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. . . . . . . . . . . 12
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290 | 94, 39 | syldan 280 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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291 | 290 | abscld 10985 |
. . . . . . . . . . . . 13
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292 | | eqeq1 2147 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![` `](backtick.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![j j](_j.gif) ![1 1](1.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif)
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(](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif)
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293 | 292 | rexbidv 2439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif)
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294 | | mertens.10 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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295 | 293, 294 | elab2g 2835 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![abs abs](_abs.gif) ![` `](backtick.gif) ![sum_ sum_](csigma.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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296 | 291, 295 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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297 | 289, 296 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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297 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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299 | 230, 231,
129 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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300 | 94, 81 | syldan 280 |
. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![ZZ>= ZZ>=](_bbzge.gif) ![`
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304 | 218 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
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305 | | lemul12a 8644 |
. . . . . . . . . . 11
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. . . . . . . . . 10
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . . 14
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. . . . . . . . . . . . 13
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . . 12
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. . . . . . . . . . 11
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. . . . 5
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