Theorem mertenslemi1 11498

Description: Lemma for mertensabs 11500. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
mertens.10	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertens.11	|- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
mertens.p	|- ( ph -> P e. RR )
mertens.i12	|- ( ph -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) ) )
mertens.pge0	|- ( ph -> 0 <_ P )
mertens.pub	|- ( ph -> A. w e. T w <_ P )

Assertion

Ref	Expression
mertenslemi1	|- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Distinct variable groups:   j, m, n, s, t, y, z, B   j, k, G, m, n, s, y, z   ph, j, k, m, y, z   t, k, A, m, n, s, y   j, E, k, m, n, s, t, y, z   j, K, k, m, n, s, t, y, z   j, F, m, n, y   ps, j, k, m, n, t, y, z   w, j, T, k, m, n, t, y, z   k, H, m, y   w, B   P, j, m, w

Allowed substitution hints:   ph( w, t, n, s)   ps( w, s)   A( z, w, j)   B( k)   P( y, z, t, k, n, s)   T( s)   E( w)   F( z, w, t, k, s)   G( w, t)   H( z, w, t, j, n, s)   K( w)

Proof of Theorem mertenslemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mertens.i12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) ) )
2	1	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ph -> ps )
3		mertens.11	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
5	4	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> s e. NN )
6	5	nnnn0d 9188	. . 3 |- ( ph -> s e. NN0 )
7	1	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
8	7	simpld 111	. . 3 |- ( ph -> t e. NN0 )
9	6, 8	nn0addcld 9192	. 2 |- ( ph -> ( s + t ) e. NN0 )
10		0zd 9224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 0 e. ZZ )
11		eluzelz 9496	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) -> m e. ZZ )
12	11	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ZZ )
13	10, 12	fzfigd 10387	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
14		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ph )
15		elfznn0 10070	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> j e. NN0 )
16		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
17	14, 15, 16	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> A e. CC )
18		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) )
19		fznn0sub 10013	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> ( m - j ) e. NN0 )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
21		peano2nn0 9175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m - j ) e. NN0 -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9332	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
24		simplll 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
25		eluznn0 9558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
26	22, 25	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
27		mertens.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
28	24, 26, 27	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
29		mertens.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
30	24, 26, 29	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
31		mertens.8	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
32	31	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
33		nn0uz 9521	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
34		simpll 524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ph )
35	27, 29	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
36	34, 35	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
37	33, 22, 36	iserex 11302	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
38	32, 37	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
39	18, 23, 28, 30, 38	isumcl 11388	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
40	17, 39	mulcld 7940	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. CC )
41	13, 40	fsumcl 11363	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. CC )
42	41	abscld 11145	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
43	40	abscld 11145	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
44	13, 43	fsumrecl 11364	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
45		mertens.9	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
46	45	rpred 9653	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
47	46	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> E e. RR )
48	13, 40	fsumabs 11428	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
49	5	nnzd 9333	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> s e. ZZ )
50	49	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ZZ )
51	12, 50	zsubcld 9339	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ZZ )
52	10, 51	fzfigd 10387	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) e. Fin )
53	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. NN0 )
54	53	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 0 <_ s )
55	12	zred 9334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. RR )
56	53	nn0red 9189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. RR )
57	55, 56	subge02d 8456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 <_ s <-> ( m - s ) <_ m ) )
58	54, 57	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) <_ m )
59	53, 33	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ( ZZ>= ` 0 ) )
60		uzid 9501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ZZ -> s e. ( ZZ>= ` s ) )
61	49, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> s e. ( ZZ>= ` s ) )
62		uzaddcl 9545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. ( ZZ>= ` s ) /\ t e. NN0 ) -> ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) )
63	61, 8, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) )
64		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` s ) = ( ZZ>= ` s )
65	64	uztrn2 9504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` s ) )
66	63, 65	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` s ) )
67		elfzuzb 9975	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( 0 ... m ) <-> ( s e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) )
68	59, 66, 67	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ( 0 ... m ) )
69		fznn0sub2 10084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. ( 0 ... m ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ( 0 ... m ) )
71		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. ZZ )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ZZ )
73		eluz 9500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m - s ) e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) <-> ( m - s ) <_ m ) )
74	72, 12, 73	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) <-> ( m - s ) <_ m ) )
75	58, 74	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) )
76		fzss2 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ ( 0 ... m ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ ( 0 ... m ) )
78	77	sselda 3147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. ( 0 ... m ) )
79	16	abscld 11145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
80	14, 15, 79	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
81	39	abscld 11145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
82	80, 81	remulcld 7950	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
83	78, 82	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
84	52, 83	fsumrecl 11364	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
85	51	peano2zd 9337	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ZZ )
86	85, 12	fzfigd 10387	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin )
87		elfznn0 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. NN0 )
88	70, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. NN0 )
89		peano2nn0 9175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m - s ) e. NN0 -> ( ( m - s ) + 1 ) e. NN0 )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. NN0 )
91	90, 33	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
92		fzss1 10019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
94	93	sselda 3147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. ( 0 ... m ) )
95	94, 82	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
96	86, 95	fsumrecl 11364	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
97	45	rphalfcld 9666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
98	97	rpred 9653	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
99	98	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( E / 2 ) e. RR )
100		elfznn0 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j e. NN0 )
101	14, 100, 79	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
102	52, 101	fsumrecl 11364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. RR )
103	102, 99	remulcld 7950	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) e. RR )
104		0zd 9224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
105		eqidd 2171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( K ` j ) )
106		mertens.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
107	106, 79	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) e. RR )
108		mertens.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
109	33, 104, 105, 107, 108	isumrecl 11392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
110	16	absge0d 11148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
111	110, 106	breqtrrd 4017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
112	33, 104, 105, 107, 108, 111	isumge0 11393	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
113	109, 112	ge0p1rpd 9684	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
114	113	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
115	103, 114	rerpdivcld 9685	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
116	97, 113	rpdivcld 9671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR+ )
117	116	rpred 9653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
118	117	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
119	101, 118	remulcld 7950	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) e. RR )
120	78, 23	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
121		simplll 528	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
122	78, 22	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
123	122, 25	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
124	121, 123, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
125	121, 123, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
126	78, 38	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
127	18, 120, 124, 125, 126	isumcl 11388	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
128	127	abscld 11145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
129	79, 110	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
130	14, 100, 129	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
131	124	sumeq2dv 11331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
132	131	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
133		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( m - j ) -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) )
134	133	sumeq1d 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( m - j ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) )
135	134	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - j ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
136	135	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - j ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
137	4	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
138	137	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
139		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j e. ZZ )
140	139	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. ZZ )
141	140	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. RR )
142	11	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> m e. ZZ )
143	142	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> m e. RR )
144	49	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s e. ZZ )
145	144	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s e. RR )
146		elfzle2 9984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j <_ ( m - s ) )
147	146	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j <_ ( m - s ) )
148	141, 143, 145, 147	lesubd 8468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s <_ ( m - j ) )
149	142, 140	zsubcld 9339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( m - j ) e. ZZ )
150		eluz 9500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ZZ /\ ( m - j ) e. ZZ ) -> ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) <-> s <_ ( m - j ) ) )
151	144, 149, 150	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) <-> s <_ ( m - j ) ) )
152	148, 151	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) )
153	136, 138, 152	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
154	132, 153	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
155	128, 118, 154	ltled 8038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
156		lemul2a 8775	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
157	128, 118, 130, 155, 156	syl31anc 1236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
158	52, 83, 119, 157	fsumle 11426	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
159	102	recnd 7948	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. CC )
160	97	rpcnd 9655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. CC )
161	160	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( E / 2 ) e. CC )
162		peano2re 8055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
163	109, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
164	163	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. CC )
165	164	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. CC )
166	114	rpap0d 9659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) # 0 )
167	159, 161, 165, 166	divassapd 8743	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
168		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( K ` n ) = ( K ` j ) )
169	168	cbvsumv 11324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ n e. NN0 ( K ` n ) = sum_ j e. NN0 ( K ` j )
170	169	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) = ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 )
171	170	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) = ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
172	171, 116	eqeltrid 2257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. RR+ )
173	172	rpcnd 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. CC )
174	173	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. CC )
175	79	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
176	14, 100, 175	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
177	52, 174, 176	fsummulc1 11412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) )
178	171	oveq2i 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
179	171	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
180	179	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
181	180	sumeq2i 11327	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
182	177, 178, 181	3eqtr3g 2226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
183	167, 182	eqtrd 2203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
184	158, 183	breqtrrd 4017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
185	109	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
186	163	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
187		fz0ssnn0 10072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... ( m - s ) ) C_ NN0
188	187	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ NN0 )
189	106	adantlr 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
190		nn0z 9232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
191	190	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
192		0zd 9224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
193	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( m - s ) e. ZZ )
194		fzdcel 9996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
196	195	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> A. j e. NN0 DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
197	79	adantlr 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
198	110	adantlr 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
199	108	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
200	33, 10, 52, 188, 189, 196, 197, 198, 199	isumlessdc 11459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) <_ sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
201	106	sumeq2dv 11331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) = sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
202	201	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) = sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
203	200, 202	breqtrrd 4017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
204	109	ltp1d 8846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
205	204	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
206	102, 185, 186, 203, 205	lelttrd 8044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
207	97	rpregt0d 9660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) )
208	207	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) )
209		ltmul1 8511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. RR /\ ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
210	102, 186, 208, 209	syl3anc 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
211	206, 210	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) )
212	113	rpregt0d 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
213	212	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
214		ltdivmul 8792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) e. RR /\ ( E / 2 ) e. RR /\ ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
215	103, 99, 213, 214	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
216	211, 215	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
217	84, 115, 99, 184, 216	lelttrd 8044	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < ( E / 2 ) )
218		mertens.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. RR )
219	98, 218	remulcld 7950	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) x. P ) e. RR )
220		mertens.pge0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ P )
221	218, 220	ge0p1rpd 9684	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. RR+ )
222	219, 221	rerpdivcld 9685	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
223	222	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
224	5	nnrpd 9651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> s e. RR+ )
225	97, 224	rpdivcld 9671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / s ) e. RR+ )
226	225, 221	rpdivcld 9671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR+ )
227	226	rpred 9653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
228	227, 218	remulcld 7950	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. RR )
229	228	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. RR )
230		simpll 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ph )
231	94, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. NN0 )
232	230, 231, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
233	227	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
234	230, 231, 106	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
235		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( K ` m ) = ( K ` j ) )
236	235	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) <-> ( K ` j ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
237	7	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
238	237	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
239		elfzuz 9977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) -> j e. ( ZZ>= ` ( ( m - s ) + 1 ) ) )
240		eluzle 9499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) -> ( s + t ) <_ m )
241	240	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s + t ) <_ m )
242	8	nn0zd 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> t e. ZZ )
243	242	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t e. ZZ )
244	243	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t e. RR )
245	56, 244, 55	leaddsub2d 8466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( s + t ) <_ m <-> t <_ ( m - s ) ) )
246	241, 245	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t <_ ( m - s ) )
247		eluz 9500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ ( m - s ) ) )
248	243, 72, 247	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ ( m - s ) ) )
249	246, 248	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) )
250		peano2uz 9542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) )
251	249, 250	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) )
252		uztrn 9503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` ( ( m - s ) + 1 ) ) /\ ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) ) -> j e. ( ZZ>= ` t ) )
253	239, 251, 252	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. ( ZZ>= ` t ) )
254	236, 238, 253	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( K ` j ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
255	234, 254	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
256	232, 233, 255	ltled 8038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
257		breq1 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( w <_ P <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) )
258		mertens.pub	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. w e. T w <_ P )
259	258	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> A. w e. T w <_ P )
260	55	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> m e. RR )
261		peano2zm 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ZZ -> ( s - 1 ) e. ZZ )
262	49, 261	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( s - 1 ) e. ZZ )
263	262	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( s - 1 ) e. RR )
264	263	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( s - 1 ) e. RR )
265	231	nn0red 9189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. RR )
266	12	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. CC )
267	56	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. CC )
268		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 1 e. CC )
269	266, 267, 268	subsubd 8258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
270	269	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
271		elfzle1 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) -> ( ( m - s ) + 1 ) <_ j )
272	271	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) <_ j )
273	270, 272	eqbrtrd 4011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) <_ j )
274	260, 264, 265, 273	subled 8467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) )
275	94, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
276	275, 33	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
277	262	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( s - 1 ) e. ZZ )
278		elfz5 9973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( s - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) <-> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) ) )
279	276, 277, 278	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) <-> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) ) )
280	274, 279	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
281		simplll 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
282	94, 22	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
283	282, 25	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
284	281, 283, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
285	284	sumeq2dv 11331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
286	285	eqcomd 2176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) )
287	286	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
288	135	rspceeqv 2852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
289	280, 287, 288	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
290	94, 39	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
291	290	abscld 11145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
292		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
293	292	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
294		mertens.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
295	293, 294	elab2g 2877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
296	291, 295	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
297	289, 296	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T )
298	257, 259, 297	rspcdva 2839	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P )
299	230, 231, 129	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
300	94, 81	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
301	39	absge0d 11148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
302	94, 301	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
303	300, 302	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
304	218	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> P e. RR )
305		lemul12a 8778	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR ) /\ ( ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) /\ P e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
306	299, 233, 303, 304, 305	syl22anc 1234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
307	256, 298, 306	mp2and 431	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
308	86, 95, 229, 307	fsumle 11426	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
309	228	recnd 7948	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC )
310	309	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC )
311		fsumconst 11417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin /\ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
312	86, 310, 311	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
313		1zzd 9239	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 1 e. ZZ )
314		fzen 9999	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) )
315	313, 50, 72, 314	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) )
316		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
317	72	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. CC )
318		addcom 8056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( m - s ) e. CC ) -> ( 1 + ( m - s ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
319	316, 317, 318	sylancr 412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 + ( m - s ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
320	267, 266	pncan3d 8233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s + ( m - s ) ) = m )
321	319, 320	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) = ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) )
322	315, 321	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) )
323	313, 50	fzfigd 10387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) e. Fin )
324		hashen 10718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... s ) e. Fin /\ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) <-> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
325	323, 86, 324	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) <-> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
326	322, 325	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
327		hashfz1 10717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = s )
328	53, 327	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = s )
329	326, 328	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = s )
330	329	oveq1d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
331	218	recnd 7948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
332	221	rpcnd 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. CC )
333	221	rpap0d 9659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P + 1 ) # 0 )
334	160, 331, 332, 333	div23apd 8745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) = ( ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
335	49	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> s e. CC )
336	225	rpcnd 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / s ) e. CC )
337	335, 336, 332, 333	divassapd 8743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) / ( P + 1 ) ) = ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
338	5	nnap0d 8924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> s # 0 )
339	160, 335, 338	divcanap2d 8709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) = ( E / 2 ) )
340	339	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) / ( P + 1 ) ) = ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) )
341	337, 340	eqtr3d 2205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) = ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) )
342	341	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) x. P ) = ( ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
343	226	rpcnd 9655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. CC )
344	335, 343, 331	mulassd 7943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) x. P ) = ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
345	334, 342, 344	3eqtr2rd 2210	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
346	345	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
347	312, 330, 346	3eqtrd 2207	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
348	308, 347	breqtrd 4015	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
349		peano2re 8055	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. RR -> ( P + 1 ) e. RR )
350	218, 349	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. RR )
351	218	ltp1d 8846	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P < ( P + 1 ) )
352	218, 350, 97, 351	ltmul2dd 9710	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) x. P ) < ( ( E / 2 ) x. ( P + 1 ) ) )
353	219, 98, 221	ltdivmul2d 9706	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( ( E / 2 ) x. P ) < ( ( E / 2 ) x. ( P + 1 ) ) ) )
354	352, 353	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
355	354	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
356	96, 223, 99, 348, 355	lelttrd 8044	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < ( E / 2 ) )
357	84, 96, 99, 99, 217, 356	lt2addd 8486	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) < ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) )
358	17, 39	absmuld 11158	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
359	358	sumeq2dv 11331	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
360	72	zred 9334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. RR )
361	360	ltp1d 8846	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) < ( ( m - s ) + 1 ) )
362		fzdisj 10008	. . . . . . . 8 |- ( ( m - s ) < ( ( m - s ) + 1 ) -> ( ( 0 ... ( m - s ) ) i^i ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = (/) )
363	361, 362	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( 0 ... ( m - s ) ) i^i ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = (/) )
364		fzsplit 10007	. . . . . . . 8 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( 0 ... m ) = ( ( 0 ... ( m - s ) ) u. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
365	70, 364	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... m ) = ( ( 0 ... ( m - s ) ) u. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
366	82	recnd 7948	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. CC )
367	363, 365, 13, 366	fsumsplit 11370	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) )
368	359, 367	eqtr2d 2204	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
369	45	rpcnd 9655	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. CC )
370	369	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> E e. CC )
371	370	2halvesd 9123	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) = E )
372	357, 368, 371	3brtr3d 4020	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
373	42, 44, 47, 48, 372	lelttrd 8044	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
374	373	ralrimiva 2543	. 2 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
375		fveq2 5496	. . . 4 |- ( y = ( s + t ) -> ( ZZ>= ` y ) = ( ZZ>= ` ( s + t ) ) )
376	375	raleqdv 2671	. . 3 |- ( y = ( s + t ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E <-> A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
377	376	rspcev 2834	. 2 |- ( ( ( s + t ) e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
378	9, 374, 377	syl2anc 409	1 |- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ~~ cen 6716   Fincfn 6718   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   / cdiv 8589   NNcn 8878   2c2 8929   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   RR+crp 9610   ...cfz 9965   seqcseq 10401  ♯chash 10709   abscabs 10961   ~~> cli 11241   sum_csu 11316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11499