Theorem mertenslemi1 11476

Description: Lemma for mertensabs 11478. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
mertens.10	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertens.11	|- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
mertens.p	|- ( ph -> P e. RR )
mertens.i12	|- ( ph -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) ) )
mertens.pge0	|- ( ph -> 0 <_ P )
mertens.pub	|- ( ph -> A. w e. T w <_ P )

Assertion

Ref	Expression
mertenslemi1	|- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Distinct variable groups:   j, m, n, s, t, y, z, B   j, k, G, m, n, s, y, z   ph, j, k, m, y, z   t, k, A, m, n, s, y   j, E, k, m, n, s, t, y, z   j, K, k, m, n, s, t, y, z   j, F, m, n, y   ps, j, k, m, n, t, y, z   w, j, T, k, m, n, t, y, z   k, H, m, y   w, B   P, j, m, w

Allowed substitution hints:   ph( w, t, n, s)   ps( w, s)   A( z, w, j)   B( k)   P( y, z, t, k, n, s)   T( s)   E( w)   F( z, w, t, k, s)   G( w, t)   H( z, w, t, j, n, s)   K( w)

Proof of Theorem mertenslemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mertens.i12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) ) )
2	1	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ph -> ps )
3		mertens.11	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
5	4	simpld 111	. . . 4 |- ( ph -> s e. NN )
6	5	nnnn0d 9167	. . 3 |- ( ph -> s e. NN0 )
7	1	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
8	7	simpld 111	. . 3 |- ( ph -> t e. NN0 )
9	6, 8	nn0addcld 9171	. 2 |- ( ph -> ( s + t ) e. NN0 )
10		0zd 9203	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 0 e. ZZ )
11		eluzelz 9475	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) -> m e. ZZ )
12	11	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ZZ )
13	10, 12	fzfigd 10366	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
14		simpl 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ph )
15		elfznn0 10049	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> j e. NN0 )
16		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
17	14, 15, 16	syl2an 287	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> A e. CC )
18		eqid 2165	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) )
19		fznn0sub 9992	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> ( m - j ) e. NN0 )
20	19	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
21		peano2nn0 9154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m - j ) e. NN0 -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
24		simplll 523	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
25		eluznn0 9537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
26	22, 25	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
27		mertens.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
28	24, 26, 27	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
29		mertens.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
30	24, 26, 29	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
31		mertens.8	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
32	31	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
33		nn0uz 9500	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
34		simpll 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ph )
35	27, 29	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
36	34, 35	sylan 281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
37	33, 22, 36	iserex 11280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
38	32, 37	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
39	18, 23, 28, 30, 38	isumcl 11366	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
40	17, 39	mulcld 7919	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. CC )
41	13, 40	fsumcl 11341	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. CC )
42	41	abscld 11123	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
43	40	abscld 11123	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
44	13, 43	fsumrecl 11342	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
45		mertens.9	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
46	45	rpred 9632	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
47	46	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> E e. RR )
48	13, 40	fsumabs 11406	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
49	5	nnzd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> s e. ZZ )
50	49	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ZZ )
51	12, 50	zsubcld 9318	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ZZ )
52	10, 51	fzfigd 10366	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) e. Fin )
53	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. NN0 )
54	53	nn0ge0d 9170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 0 <_ s )
55	12	zred 9313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. RR )
56	53	nn0red 9168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. RR )
57	55, 56	subge02d 8435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 <_ s <-> ( m - s ) <_ m ) )
58	54, 57	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) <_ m )
59	53, 33	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ( ZZ>= ` 0 ) )
60		uzid 9480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ZZ -> s e. ( ZZ>= ` s ) )
61	49, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> s e. ( ZZ>= ` s ) )
62		uzaddcl 9524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. ( ZZ>= ` s ) /\ t e. NN0 ) -> ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) )
63	61, 8, 62	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) )
64		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` s ) = ( ZZ>= ` s )
65	64	uztrn2 9483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` s ) )
66	63, 65	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` s ) )
67		elfzuzb 9954	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( 0 ... m ) <-> ( s e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) )
68	59, 66, 67	sylanbrc 414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ( 0 ... m ) )
69		fznn0sub2 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. ( 0 ... m ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ( 0 ... m ) )
71		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. ZZ )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ZZ )
73		eluz 9479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m - s ) e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) <-> ( m - s ) <_ m ) )
74	72, 12, 73	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) <-> ( m - s ) <_ m ) )
75	58, 74	mpbird 166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) )
76		fzss2 9999	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ ( 0 ... m ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ ( 0 ... m ) )
78	77	sselda 3142	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. ( 0 ... m ) )
79	16	abscld 11123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
80	14, 15, 79	syl2an 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
81	39	abscld 11123	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
82	80, 81	remulcld 7929	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
83	78, 82	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
84	52, 83	fsumrecl 11342	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
85	51	peano2zd 9316	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ZZ )
86	85, 12	fzfigd 10366	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin )
87		elfznn0 10049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. NN0 )
88	70, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. NN0 )
89		peano2nn0 9154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m - s ) e. NN0 -> ( ( m - s ) + 1 ) e. NN0 )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. NN0 )
91	90, 33	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
92		fzss1 9998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
94	93	sselda 3142	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. ( 0 ... m ) )
95	94, 82	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
96	86, 95	fsumrecl 11342	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
97	45	rphalfcld 9645	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
98	97	rpred 9632	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
99	98	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( E / 2 ) e. RR )
100		elfznn0 10049	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j e. NN0 )
101	14, 100, 79	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
102	52, 101	fsumrecl 11342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. RR )
103	102, 99	remulcld 7929	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) e. RR )
104		0zd 9203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
105		eqidd 2166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( K ` j ) )
106		mertens.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
107	106, 79	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) e. RR )
108		mertens.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
109	33, 104, 105, 107, 108	isumrecl 11370	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
110	16	absge0d 11126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
111	110, 106	breqtrrd 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
112	33, 104, 105, 107, 108, 111	isumge0 11371	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
113	109, 112	ge0p1rpd 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
114	113	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
115	103, 114	rerpdivcld 9664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
116	97, 113	rpdivcld 9650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR+ )
117	116	rpred 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
118	117	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
119	101, 118	remulcld 7929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) e. RR )
120	78, 23	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
121		simplll 523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
122	78, 22	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
123	122, 25	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
124	121, 123, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
125	121, 123, 29	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
126	78, 38	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
127	18, 120, 124, 125, 126	isumcl 11366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
128	127	abscld 11123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
129	79, 110	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
130	14, 100, 129	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
131	124	sumeq2dv 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
132	131	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
133		fvoveq1 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( m - j ) -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) )
134	133	sumeq1d 11307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( m - j ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) )
135	134	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - j ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
136	135	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - j ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
137	4	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
138	137	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
139		elfzelz 9960	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j e. ZZ )
140	139	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. ZZ )
141	140	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. RR )
142	11	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> m e. ZZ )
143	142	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> m e. RR )
144	49	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s e. ZZ )
145	144	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s e. RR )
146		elfzle2 9963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j <_ ( m - s ) )
147	146	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j <_ ( m - s ) )
148	141, 143, 145, 147	lesubd 8447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s <_ ( m - j ) )
149	142, 140	zsubcld 9318	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( m - j ) e. ZZ )
150		eluz 9479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ZZ /\ ( m - j ) e. ZZ ) -> ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) <-> s <_ ( m - j ) ) )
151	144, 149, 150	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) <-> s <_ ( m - j ) ) )
152	148, 151	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) )
153	136, 138, 152	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
154	132, 153	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
155	128, 118, 154	ltled 8017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
156		lemul2a 8754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
157	128, 118, 130, 155, 156	syl31anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
158	52, 83, 119, 157	fsumle 11404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
159	102	recnd 7927	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. CC )
160	97	rpcnd 9634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. CC )
161	160	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( E / 2 ) e. CC )
162		peano2re 8034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
163	109, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
164	163	recnd 7927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. CC )
165	164	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. CC )
166	114	rpap0d 9638	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) # 0 )
167	159, 161, 165, 166	divassapd 8722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
168		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( K ` n ) = ( K ` j ) )
169	168	cbvsumv 11302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ n e. NN0 ( K ` n ) = sum_ j e. NN0 ( K ` j )
170	169	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) = ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 )
171	170	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) = ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
172	171, 116	eqeltrid 2253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. RR+ )
173	172	rpcnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. CC )
174	173	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. CC )
175	79	recnd 7927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
176	14, 100, 175	syl2an 287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
177	52, 174, 176	fsummulc1 11390	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) )
178	171	oveq2i 5853	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
179	171	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
180	179	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
181	180	sumeq2i 11305	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
182	177, 178, 181	3eqtr3g 2222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
183	167, 182	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
184	158, 183	breqtrrd 4010	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
185	109	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
186	163	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
187		fz0ssnn0 10051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... ( m - s ) ) C_ NN0
188	187	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ NN0 )
189	106	adantlr 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
190		nn0z 9211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
191	190	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
192		0zd 9203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
193	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( m - s ) e. ZZ )
194		fzdcel 9975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
196	195	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> A. j e. NN0 DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
197	79	adantlr 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
198	110	adantlr 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
199	108	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
200	33, 10, 52, 188, 189, 196, 197, 198, 199	isumlessdc 11437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) <_ sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
201	106	sumeq2dv 11309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) = sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
202	201	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) = sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
203	200, 202	breqtrrd 4010	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
204	109	ltp1d 8825	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
205	204	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
206	102, 185, 186, 203, 205	lelttrd 8023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
207	97	rpregt0d 9639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) )
208	207	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) )
209		ltmul1 8490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. RR /\ ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
210	102, 186, 208, 209	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
211	206, 210	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) )
212	113	rpregt0d 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
213	212	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
214		ltdivmul 8771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) e. RR /\ ( E / 2 ) e. RR /\ ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
215	103, 99, 213, 214	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
216	211, 215	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
217	84, 115, 99, 184, 216	lelttrd 8023	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < ( E / 2 ) )
218		mertens.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. RR )
219	98, 218	remulcld 7929	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) x. P ) e. RR )
220		mertens.pge0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ P )
221	218, 220	ge0p1rpd 9663	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. RR+ )
222	219, 221	rerpdivcld 9664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
223	222	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
224	5	nnrpd 9630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> s e. RR+ )
225	97, 224	rpdivcld 9650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / s ) e. RR+ )
226	225, 221	rpdivcld 9650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR+ )
227	226	rpred 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
228	227, 218	remulcld 7929	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. RR )
229	228	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. RR )
230		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ph )
231	94, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. NN0 )
232	230, 231, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
233	227	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
234	230, 231, 106	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
235		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( K ` m ) = ( K ` j ) )
236	235	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) <-> ( K ` j ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
237	7	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
238	237	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
239		elfzuz 9956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) -> j e. ( ZZ>= ` ( ( m - s ) + 1 ) ) )
240		eluzle 9478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) -> ( s + t ) <_ m )
241	240	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s + t ) <_ m )
242	8	nn0zd 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> t e. ZZ )
243	242	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t e. ZZ )
244	243	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t e. RR )
245	56, 244, 55	leaddsub2d 8445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( s + t ) <_ m <-> t <_ ( m - s ) ) )
246	241, 245	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t <_ ( m - s ) )
247		eluz 9479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ ( m - s ) ) )
248	243, 72, 247	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ ( m - s ) ) )
249	246, 248	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) )
250		peano2uz 9521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) )
251	249, 250	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) )
252		uztrn 9482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` ( ( m - s ) + 1 ) ) /\ ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) ) -> j e. ( ZZ>= ` t ) )
253	239, 251, 252	syl2anr 288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. ( ZZ>= ` t ) )
254	236, 238, 253	rspcdva 2835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( K ` j ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
255	234, 254	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
256	232, 233, 255	ltled 8017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
257		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( w <_ P <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) )
258		mertens.pub	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. w e. T w <_ P )
259	258	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> A. w e. T w <_ P )
260	55	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> m e. RR )
261		peano2zm 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ZZ -> ( s - 1 ) e. ZZ )
262	49, 261	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( s - 1 ) e. ZZ )
263	262	zred 9313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( s - 1 ) e. RR )
264	263	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( s - 1 ) e. RR )
265	231	nn0red 9168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. RR )
266	12	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. CC )
267	56	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. CC )
268		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 1 e. CC )
269	266, 267, 268	subsubd 8237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
270	269	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
271		elfzle1 9962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) -> ( ( m - s ) + 1 ) <_ j )
272	271	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) <_ j )
273	270, 272	eqbrtrd 4004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) <_ j )
274	260, 264, 265, 273	subled 8446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) )
275	94, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
276	275, 33	eleqtrdi 2259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
277	262	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( s - 1 ) e. ZZ )
278		elfz5 9952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( s - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) <-> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) ) )
279	276, 277, 278	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) <-> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) ) )
280	274, 279	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
281		simplll 523	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
282	94, 22	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
283	282, 25	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
284	281, 283, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
285	284	sumeq2dv 11309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
286	285	eqcomd 2171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) )
287	286	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
288	135	rspceeqv 2848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
289	280, 287, 288	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
290	94, 39	syldan 280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
291	290	abscld 11123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
292		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
293	292	rexbidv 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
294		mertens.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
295	293, 294	elab2g 2873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
296	291, 295	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
297	289, 296	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T )
298	257, 259, 297	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P )
299	230, 231, 129	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
300	94, 81	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
301	39	absge0d 11126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
302	94, 301	syldan 280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
303	300, 302	jca 304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
304	218	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> P e. RR )
305		lemul12a 8757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR ) /\ ( ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) /\ P e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
306	299, 233, 303, 304, 305	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
307	256, 298, 306	mp2and 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
308	86, 95, 229, 307	fsumle 11404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
309	228	recnd 7927	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC )
310	309	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC )
311		fsumconst 11395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin /\ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
312	86, 310, 311	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
313		1zzd 9218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 1 e. ZZ )
314		fzen 9978	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) )
315	313, 50, 72, 314	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) )
316		ax-1cn 7846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
317	72	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. CC )
318		addcom 8035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( m - s ) e. CC ) -> ( 1 + ( m - s ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
319	316, 317, 318	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 + ( m - s ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
320	267, 266	pncan3d 8212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s + ( m - s ) ) = m )
321	319, 320	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) = ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) )
322	315, 321	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) )
323	313, 50	fzfigd 10366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) e. Fin )
324		hashen 10697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... s ) e. Fin /\ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) <-> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
325	323, 86, 324	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) <-> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
326	322, 325	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
327		hashfz1 10696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = s )
328	53, 327	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = s )
329	326, 328	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = s )
330	329	oveq1d 5857	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
331	218	recnd 7927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
332	221	rpcnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. CC )
333	221	rpap0d 9638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P + 1 ) # 0 )
334	160, 331, 332, 333	div23apd 8724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) = ( ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
335	49	zcnd 9314	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> s e. CC )
336	225	rpcnd 9634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / s ) e. CC )
337	335, 336, 332, 333	divassapd 8722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) / ( P + 1 ) ) = ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
338	5	nnap0d 8903	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> s # 0 )
339	160, 335, 338	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) = ( E / 2 ) )
340	339	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) / ( P + 1 ) ) = ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) )
341	337, 340	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) = ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) )
342	341	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) x. P ) = ( ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
343	226	rpcnd 9634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. CC )
344	335, 343, 331	mulassd 7922	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) x. P ) = ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
345	334, 342, 344	3eqtr2rd 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
346	345	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
347	312, 330, 346	3eqtrd 2202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
348	308, 347	breqtrd 4008	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
349		peano2re 8034	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. RR -> ( P + 1 ) e. RR )
350	218, 349	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. RR )
351	218	ltp1d 8825	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P < ( P + 1 ) )
352	218, 350, 97, 351	ltmul2dd 9689	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) x. P ) < ( ( E / 2 ) x. ( P + 1 ) ) )
353	219, 98, 221	ltdivmul2d 9685	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( ( E / 2 ) x. P ) < ( ( E / 2 ) x. ( P + 1 ) ) ) )
354	352, 353	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
355	354	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
356	96, 223, 99, 348, 355	lelttrd 8023	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < ( E / 2 ) )
357	84, 96, 99, 99, 217, 356	lt2addd 8465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) < ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) )
358	17, 39	absmuld 11136	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
359	358	sumeq2dv 11309	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
360	72	zred 9313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. RR )
361	360	ltp1d 8825	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) < ( ( m - s ) + 1 ) )
362		fzdisj 9987	. . . . . . . 8 |- ( ( m - s ) < ( ( m - s ) + 1 ) -> ( ( 0 ... ( m - s ) ) i^i ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = (/) )
363	361, 362	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( 0 ... ( m - s ) ) i^i ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = (/) )
364		fzsplit 9986	. . . . . . . 8 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( 0 ... m ) = ( ( 0 ... ( m - s ) ) u. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
365	70, 364	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... m ) = ( ( 0 ... ( m - s ) ) u. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
366	82	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. CC )
367	363, 365, 13, 366	fsumsplit 11348	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) )
368	359, 367	eqtr2d 2199	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
369	45	rpcnd 9634	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. CC )
370	369	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> E e. CC )
371	370	2halvesd 9102	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) = E )
372	357, 368, 371	3brtr3d 4013	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
373	42, 44, 47, 48, 372	lelttrd 8023	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
374	373	ralrimiva 2539	. 2 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
375		fveq2 5486	. . . 4 |- ( y = ( s + t ) -> ( ZZ>= ` y ) = ( ZZ>= ` ( s + t ) ) )
376	375	raleqdv 2667	. . 3 |- ( y = ( s + t ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E <-> A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
377	376	rspcev 2830	. 2 |- ( ( ( s + t ) e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
378	9, 374, 377	syl2anc 409	1 |- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ~~ cen 6704   Fincfn 6706   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   ...cfz 9944   seqcseq 10380  ♯chash 10688   abscabs 10939   ~~> cli 11219   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  mertenslem2  11477