Theorem mertenslemi1 12302

Description: Lemma for mertensabs 12304. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 2-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
mertens.10	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertens.11	|- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
mertens.p	|- ( ph -> P e. RR )
mertens.i12	|- ( ph -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) ) )
mertens.pge0	|- ( ph -> 0 <_ P )
mertens.pub	|- ( ph -> A. w e. T w <_ P )

Assertion

Ref	Expression
mertenslemi1	|- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Distinct variable groups:   j, m, n, s, t, y, z, B   j, k, G, m, n, s, y, z   ph, j, k, m, y, z   t, k, A, m, n, s, y   j, E, k, m, n, s, t, y, z   j, K, k, m, n, s, t, y, z   j, F, m, n, y   ps, j, k, m, n, t, y, z   w, j, T, k, m, n, t, y, z   k, H, m, y   w, B   P, j, m, w

Allowed substitution hints:   ph( w, t, n, s)   ps( w, s)   A( z, w, j)   B( k)   P( y, z, t, k, n, s)   T( s)   E( w)   F( z, w, t, k, s)   G( w, t)   H( z, w, t, j, n, s)   K( w)

Proof of Theorem mertenslemi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mertens.i12	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) ) )
2	1	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ph -> ps )
3		mertens.11	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
5	4	simpld 112	. . . 4 |- ( ph -> s e. NN )
6	5	nnnn0d 9620	. . 3 |- ( ph -> s e. NN0 )
7	1	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
8	7	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> t e. NN0 )
9	6, 8	nn0addcld 9624	. 2 |- ( ph -> ( s + t ) e. NN0 )
10		0zd 9656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 0 e. ZZ )
11		eluzelz 9931	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) -> m e. ZZ )
12	11	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ZZ )
13	10, 12	fzfigd 10868	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
14		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ph )
15		elfznn0 10521	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> j e. NN0 )
16		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> A e. CC )
18		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) )
19		fznn0sub 10463	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... m ) -> ( m - j ) e. NN0 )
20	19	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
21		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m - j ) e. NN0 -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
23	22	nn0zd 9766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
24		simplll 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
25		eluznn0 9999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
26	22, 25	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
27		mertens.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
28	24, 26, 27	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
29		mertens.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
30	24, 26, 29	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
31		mertens.8	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
32	31	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
33		nn0uz 9957	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
34		simpll 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ph )
35	27, 29	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
36	34, 35	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
37	33, 22, 36	iserex 12105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
38	32, 37	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
39	18, 23, 28, 30, 38	isumcl 12192	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
40	17, 39	mulcld 8346	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. CC )
41	13, 40	fsumcl 12167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. CC )
42	41	abscld 11947	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
43	40	abscld 11947	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
44	13, 43	fsumrecl 12168	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
45		mertens.9	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. RR+ )
46	45	rpred 10097	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR )
47	46	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> E e. RR )
48	13, 40	fsumabs 12232	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
49	5	nnzd 9767	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> s e. ZZ )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ZZ )
51	12, 50	zsubcld 9773	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ZZ )
52	10, 51	fzfigd 10868	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) e. Fin )
53	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. NN0 )
54	53	nn0ge0d 9623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 0 <_ s )
55	12	zred 9768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. RR )
56	53	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. RR )
57	55, 56	subge02d 8865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 <_ s <-> ( m - s ) <_ m ) )
58	54, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) <_ m )
59	53, 33	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ( ZZ>= ` 0 ) )
60		uzid 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ZZ -> s e. ( ZZ>= ` s ) )
61	49, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> s e. ( ZZ>= ` s ) )
62		uzaddcl 9986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. ( ZZ>= ` s ) /\ t e. NN0 ) -> ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) )
63	61, 8, 62	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) )
64		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` s ) = ( ZZ>= ` s )
65	64	uztrn2 9940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s + t ) e. ( ZZ>= ` s ) /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` s ) )
66	63, 65	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` s ) )
67		elfzuzb 10422	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( 0 ... m ) <-> ( s e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) )
68	59, 66, 67	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. ( 0 ... m ) )
69		fznn0sub2 10535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. ( 0 ... m ) )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ( 0 ... m ) )
71		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. ZZ )
72	70, 71	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ZZ )
73		eluz 9935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m - s ) e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) <-> ( m - s ) <_ m ) )
74	72, 12, 73	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) <-> ( m - s ) <_ m ) )
75	58, 74	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) )
76		fzss2 10470	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( m - s ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ ( 0 ... m ) )
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ ( 0 ... m ) )
78	77	sselda 3248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. ( 0 ... m ) )
79	16	abscld 11947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
80	14, 15, 79	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
81	39	abscld 11947	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
82	80, 81	remulcld 8356	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
83	78, 82	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
84	52, 83	fsumrecl 12168	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
85	51	peano2zd 9771	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ZZ )
86	85, 12	fzfigd 10868	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin )
87		elfznn0 10521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( m - s ) e. NN0 )
88	70, 87	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. NN0 )
89		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m - s ) e. NN0 -> ( ( m - s ) + 1 ) e. NN0 )
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. NN0 )
91	90, 33	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
92		fzss1 10469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
93	91, 92	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
94	93	sselda 3248	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. ( 0 ... m ) )
95	94, 82	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
96	86, 95	fsumrecl 12168	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. RR )
97	45	rphalfcld 10110	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
98	97	rpred 10097	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR )
99	98	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( E / 2 ) e. RR )
100		elfznn0 10521	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j e. NN0 )
101	14, 100, 79	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
102	52, 101	fsumrecl 12168	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. RR )
103	102, 99	remulcld 8356	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) e. RR )
104		0zd 9656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
105		eqidd 2239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( K ` j ) )
106		mertens.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
107	106, 79	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) e. RR )
108		mertens.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
109	33, 104, 105, 107, 108	isumrecl 12196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
110	16	absge0d 11950	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
111	110, 106	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
112	33, 104, 105, 107, 108, 111	isumge0 12197	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
113	109, 112	ge0p1rpd 10128	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
114	113	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
115	103, 114	rerpdivcld 10129	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
116	97, 113	rpdivcld 10115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR+ )
117	116	rpred 10097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
118	117	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR )
119	101, 118	remulcld 8356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) e. RR )
120	78, 23	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. ZZ )
121		simplll 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
122	78, 22	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
123	122, 25	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
124	121, 123, 27	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
125	121, 123, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
126	78, 38	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> seq ( ( m - j ) + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
127	18, 120, 124, 125, 126	isumcl 12192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
128	127	abscld 11947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
129	79, 110	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
130	14, 100, 129	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
131	124	sumeq2dv 12134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
132	131	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
133		fvoveq1 6108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( m - j ) -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) )
134	133	sumeq1d 12132	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( m - j ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) )
135	134	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m - j ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
136	135	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m - j ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
137	4	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
138	137	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
139		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j e. ZZ )
140	139	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. ZZ )
141	140	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j e. RR )
142	11	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> m e. ZZ )
143	142	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> m e. RR )
144	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s e. ZZ )
145	144	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s e. RR )
146		elfzle2 10432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> j <_ ( m - s ) )
147	146	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> j <_ ( m - s ) )
148	141, 143, 145, 147	lesubd 8877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> s <_ ( m - j ) )
149	142, 140	zsubcld 9773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( m - j ) e. ZZ )
150		eluz 9935	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ZZ /\ ( m - j ) e. ZZ ) -> ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) <-> s <_ ( m - j ) ) )
151	144, 149, 150	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) <-> s <_ ( m - j ) ) )
152	148, 151	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( m - j ) e. ( ZZ>= ` s ) )
153	136, 138, 152	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
154	132, 153	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
155	128, 118, 154	ltled 8445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
156		lemul2a 9189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR /\ ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
157	128, 118, 130, 155, 156	syl31anc 1281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
158	52, 83, 119, 157	fsumle 12230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
159	102	recnd 8354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. CC )
160	97	rpcnd 10099	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. CC )
161	160	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( E / 2 ) e. CC )
162		peano2re 8462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
163	109, 162	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
164	163	recnd 8354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. CC )
165	164	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. CC )
166	114	rpap0d 10103	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) # 0 )
167	159, 161, 165, 166	divassapd 9156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
168		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( K ` n ) = ( K ` j ) )
169	168	cbvsumv 12127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ n e. NN0 ( K ` n ) = sum_ j e. NN0 ( K ` j )
170	169	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) = ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 )
171	170	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) = ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
172	171, 116	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. RR+ )
173	172	rpcnd 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. CC )
174	173	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) e. CC )
175	79	recnd 8354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. CC )
176	14, 100, 175	syl2an 289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ) -> ( abs ` A ) e. CC )
177	52, 174, 176	fsummulc1 12216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) )
178	171	oveq2i 6096	. . . . . . . . . 10 |- ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
179	171	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
180	179	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( 0 ... ( m - s ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
181	180	sumeq2i 12130	. . . . . . . . . 10 |- sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ n e. NN0 ( K ` n ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
182	177, 178, 181	3eqtr3g 2294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
183	167, 182	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
184	158, 183	breqtrrd 4158	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
185	109	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
186	163	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR )
187		fz0ssnn0 10523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 ... ( m - s ) ) C_ NN0
188	187	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... ( m - s ) ) C_ NN0 )
189	106	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
190		nn0z 9664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
191	190	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
192		0zd 9656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> 0 e. ZZ )
193	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( m - s ) e. ZZ )
194		fzdcel 10444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
195	191, 192, 193, 194	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
196	195	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> A. j e. NN0 DECID j e. ( 0 ... ( m - s ) ) )
197	79	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
198	110	adantlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
199	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
200	33, 10, 52, 188, 189, 196, 197, 198, 199	isumlessdc 12263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) <_ sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
201	106	sumeq2dv 12134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) = sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
202	201	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) = sum_ j e. NN0 ( abs ` A ) )
203	200, 202	breqtrrd 4158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
204	109	ltp1d 9260	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
205	204	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
206	102, 185, 186, 203, 205	lelttrd 8451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) )
207	97	rpregt0d 10104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) )
208	207	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) )
209		ltmul1 8920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) e. RR /\ ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ ( ( E / 2 ) e. RR /\ 0 < ( E / 2 ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
210	102, 186, 208, 209	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
211	206, 210	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) )
212	113	rpregt0d 10104	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
213	212	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
214		ltdivmul 9206	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) e. RR /\ ( E / 2 ) e. RR /\ ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
215	103, 99, 213, 214	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) < ( ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) x. ( E / 2 ) ) ) )
216	211, 215	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( abs ` A ) x. ( E / 2 ) ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
217	84, 115, 99, 184, 216	lelttrd 8451	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < ( E / 2 ) )
218		mertens.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. RR )
219	98, 218	remulcld 8356	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) x. P ) e. RR )
220		mertens.pge0	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ P )
221	218, 220	ge0p1rpd 10128	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. RR+ )
222	219, 221	rerpdivcld 10129	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
223	222	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
224	5	nnrpd 10095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> s e. RR+ )
225	97, 224	rpdivcld 10115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / s ) e. RR+ )
226	225, 221	rpdivcld 10115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR+ )
227	226	rpred 10097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
228	227, 218	remulcld 8356	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. RR )
229	228	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. RR )
230		simpll 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ph )
231	94, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. NN0 )
232	230, 231, 79	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) e. RR )
233	227	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR )
234	230, 231, 106	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
235		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = j -> ( K ` m ) = ( K ` j ) )
236	235	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = j -> ( ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) <-> ( K ` j ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
237	7	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
238	237	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
239		elfzuz 10424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) -> j e. ( ZZ>= ` ( ( m - s ) + 1 ) ) )
240		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) -> ( s + t ) <_ m )
241	240	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s + t ) <_ m )
242	8	nn0zd 9766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> t e. ZZ )
243	242	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t e. ZZ )
244	243	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t e. RR )
245	56, 244, 55	leaddsub2d 8875	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( s + t ) <_ m <-> t <_ ( m - s ) ) )
246	241, 245	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> t <_ ( m - s ) )
247		eluz 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ ( m - s ) ) )
248	243, 72, 247	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) <-> t <_ ( m - s ) ) )
249	246, 248	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) )
250		peano2uz 9983	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m - s ) e. ( ZZ>= ` t ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) )
251	249, 250	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) )
252		uztrn 9939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. ( ZZ>= ` ( ( m - s ) + 1 ) ) /\ ( ( m - s ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` t ) ) -> j e. ( ZZ>= ` t ) )
253	239, 251, 252	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. ( ZZ>= ` t ) )
254	236, 238, 253	rspcdva 2934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( K ` j ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
255	234, 254	eqbrtrrd 4154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
256	232, 233, 255	ltled 8445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) )
257		breq1 4133	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( w <_ P <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) )
258		mertens.pub	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. w e. T w <_ P )
259	258	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> A. w e. T w <_ P )
260	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> m e. RR )
261		peano2zm 9682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. ZZ -> ( s - 1 ) e. ZZ )
262	49, 261	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( s - 1 ) e. ZZ )
263	262	zred 9768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( s - 1 ) e. RR )
264	263	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( s - 1 ) e. RR )
265	231	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> j e. RR )
266	12	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> m e. CC )
267	56	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> s e. CC )
268		1cnd 8342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 1 e. CC )
269	266, 267, 268	subsubd 8665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
270	269	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
271		elfzle1 10431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) -> ( ( m - s ) + 1 ) <_ j )
272	271	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - s ) + 1 ) <_ j )
273	270, 272	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - ( s - 1 ) ) <_ j )
274	260, 264, 265, 273	subled 8876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) )
275	94, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. NN0 )
276	275, 33	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
277	262	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( s - 1 ) e. ZZ )
278		elfz5 10420	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m - j ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( s - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) <-> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) ) )
279	276, 277, 278	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) <-> ( m - j ) <_ ( s - 1 ) ) )
280	274, 279	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
281		simplll 539	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ph )
282	94, 22	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( m - j ) + 1 ) e. NN0 )
283	282, 25	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
284	281, 283, 27	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
285	284	sumeq2dv 12134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B )
286	285	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) )
287	286	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
288	135	rspceeqv 2948	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m - j ) e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
289	280, 287, 288	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
290	94, 39	syldan 282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B e. CC )
291	290	abscld 11947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
292		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
293	292	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
294		mertens.10	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
295	293, 294	elab2g 2973	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
296	291, 295	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
297	289, 296	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. T )
298	257, 259, 297	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P )
299	230, 231, 129	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) )
300	94, 81	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR )
301	39	absge0d 11950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
302	94, 301	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) )
303	300, 302	jca 306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
304	218	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> P e. RR )
305		lemul12a 9192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. RR ) /\ ( ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) /\ P e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
306	299, 233, 303, 304, 305	syl22anc 1279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( ( abs ` A ) <_ ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) <_ P ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
307	256, 298, 306	mp2and 437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
308	86, 95, 229, 307	fsumle 12230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
309	228	recnd 8354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC )
310	309	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC )
311		fsumconst 12221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin /\ ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) e. CC ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
312	86, 310, 311	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
313		1zzd 9671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> 1 e. ZZ )
314		fzen 10447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ s e. ZZ /\ ( m - s ) e. ZZ ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) )
315	313, 50, 72, 314	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) )
316		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
317	72	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. CC )
318		addcom 8463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. CC /\ ( m - s ) e. CC ) -> ( 1 + ( m - s ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
319	316, 317, 318	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 + ( m - s ) ) = ( ( m - s ) + 1 ) )
320	267, 266	pncan3d 8640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s + ( m - s ) ) = m )
321	319, 320	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( 1 + ( m - s ) ) ... ( s + ( m - s ) ) ) = ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) )
322	315, 321	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) )
323	313, 50	fzfigd 10868	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 1 ... s ) e. Fin )
324		hashen 11223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... s ) e. Fin /\ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) e. Fin ) -> ( (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) <-> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
325	323, 86, 324	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) <-> ( 1 ... s ) ~~ ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
326	322, 325	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
327		hashfz1 11222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = s )
328	53, 327	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... s ) ) = s )
329	326, 328	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = s )
330	329	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( (♯ ` ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
331	218	recnd 8354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. CC )
332	221	rpcnd 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. CC )
333	221	rpap0d 10103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P + 1 ) # 0 )
334	160, 331, 332, 333	div23apd 9158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) = ( ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
335	49	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> s e. CC )
336	225	rpcnd 10099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / s ) e. CC )
337	335, 336, 332, 333	divassapd 9156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) / ( P + 1 ) ) = ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) )
338	5	nnap0d 9350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> s # 0 )
339	160, 335, 338	divcanap2d 9122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) = ( E / 2 ) )
340	339	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( E / 2 ) / s ) ) / ( P + 1 ) ) = ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) )
341	337, 340	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) = ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) )
342	341	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) x. P ) = ( ( ( E / 2 ) / ( P + 1 ) ) x. P ) )
343	226	rpcnd 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) e. CC )
344	335, 343, 331	mulassd 8349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( s x. ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) ) x. P ) = ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) )
345	334, 342, 344	3eqtr2rd 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
346	345	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( s x. ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
347	312, 330, 346	3eqtrd 2275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( P + 1 ) ) x. P ) = ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
348	308, 347	breqtrd 4156	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) <_ ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) )
349		peano2re 8462	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. RR -> ( P + 1 ) e. RR )
350	218, 349	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P + 1 ) e. RR )
351	218	ltp1d 9260	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P < ( P + 1 ) )
352	218, 350, 97, 351	ltmul2dd 10154	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) x. P ) < ( ( E / 2 ) x. ( P + 1 ) ) )
353	219, 98, 221	ltdivmul2d 10150	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) <-> ( ( E / 2 ) x. P ) < ( ( E / 2 ) x. ( P + 1 ) ) ) )
354	352, 353	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
355	354	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( ( E / 2 ) x. P ) / ( P + 1 ) ) < ( E / 2 ) )
356	96, 223, 99, 348, 355	lelttrd 8451	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < ( E / 2 ) )
357	84, 96, 99, 99, 217, 356	lt2addd 8895	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) < ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) )
358	17, 39	absmuld 11960	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
359	358	sumeq2dv 12134	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
360	72	zred 9768	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) e. RR )
361	360	ltp1d 9260	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( m - s ) < ( ( m - s ) + 1 ) )
362		fzdisj 10457	. . . . . . . 8 |- ( ( m - s ) < ( ( m - s ) + 1 ) -> ( ( 0 ... ( m - s ) ) i^i ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = (/) )
363	361, 362	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( 0 ... ( m - s ) ) i^i ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) = (/) )
364		fzsplit 10456	. . . . . . . 8 |- ( ( m - s ) e. ( 0 ... m ) -> ( 0 ... m ) = ( ( 0 ... ( m - s ) ) u. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
365	70, 364	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( 0 ... m ) = ( ( 0 ... ( m - s ) ) u. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ) )
366	82	recnd 8354	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) /\ j e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) e. CC )
367	363, 365, 13, 366	fsumsplit 12174	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) )
368	359, 367	eqtr2d 2272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... ( m - s ) ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) + sum_ j e. ( ( ( m - s ) + 1 ) ... m ) ( ( abs ` A ) x. ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) )
369	45	rpcnd 10099	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. CC )
370	369	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> E e. CC )
371	370	2halvesd 9551	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( ( E / 2 ) + ( E / 2 ) ) = E )
372	357, 368, 371	3brtr3d 4161	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> sum_ j e. ( 0 ... m ) ( abs ` ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
373	42, 44, 47, 48, 372	lelttrd 8451	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ) -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
374	373	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
375		fveq2 5695	. . . 4 |- ( y = ( s + t ) -> ( ZZ>= ` y ) = ( ZZ>= ` ( s + t ) ) )
376	375	raleqdv 2755	. . 3 |- ( y = ( s + t ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E <-> A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
377	376	rspcev 2929	. 2 |- ( ( ( s + t ) e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` ( s + t ) ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
378	9, 374, 377	syl2anc 415	1 |- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   / cdiv 9002   NNcn 9304   2c2 9355   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   RR+crp 10054   ...cfz 10411   seqcseq 10884  ♯chash 11214   abscabs 11763   ~~> cli 12044   sum_csu 12119

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-ico 10296  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120

This theorem is used by:  mertenslem2  12303