Theorem rpgt0d 10117

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 10083	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   0cc0 8185   < clt 8366   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10072

This theorem is used by:  rpregt0d  10121  ltmulgt11d  10150  ltmulgt12d  10151  gt0divd  10152  ge0divd  10153  lediv12ad  10174  expgt0  11030  nnesq  11118  bccl2  11228  resqrexlemp1rp  11794  resqrexlemover  11798  resqrexlemnm  11806  resqrexlemgt0  11808  resqrexlemglsq  11810  sqrtgt0d  11948  reccn2ap  12104  fsumlt  12256  eirraplem  12569  dvdsmodexp  12587  bitsmod  12748  prmind2  12923  sqrt2irrlem  12965  modprmn0modprm0  13064  4sqlem11  13209  4sqlem12  13210  modxai  13224  ssblex  15657  mulc1cncf  15815  cncfmptc  15822  mulcncflem  15833  cnplimclemle  15894  pilem3  16010  sgmnncl  16257  iooref1o  17289  trilpolemeq1  17296  nconstwlpolemgt0  17321  taupi  17330