Theorem rpgt0d 9820

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 9786	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   class class class wbr 4043   0cc0 7924   < clt 8106   RR+crp 9774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-rab 2492  df-v 2773  df-un 3169  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-rp 9775

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9824  ltmulgt11d  9853  ltmulgt12d  9854  gt0divd  9855  ge0divd  9856  lediv12ad  9877  expgt0  10715  nnesq  10802  bccl2  10911  resqrexlemp1rp  11259  resqrexlemover  11263  resqrexlemnm  11271  resqrexlemgt0  11273  resqrexlemglsq  11275  sqrtgt0d  11412  reccn2ap  11566  fsumlt  11717  eirraplem  12030  dvdsmodexp  12048  bitsmod  12209  prmind2  12384  sqrt2irrlem  12425  modprmn0modprm0  12521  4sqlem11  12666  4sqlem12  12667  modxai  12681  ssblex  14845  mulc1cncf  15003  cncfmptc  15010  mulcncflem  15021  cnplimclemle  15082  pilem3  15197  sgmnncl  15402  iooref1o  15906  trilpolemeq1  15912  nconstwlpolemgt0  15936  taupi  15945