Theorem rpgt0d 9776

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 9742	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   0cc0 7881   < clt 8063   RR+crp 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-rp 9731

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9780  ltmulgt11d  9809  ltmulgt12d  9810  gt0divd  9811  ge0divd  9812  lediv12ad  9833  expgt0  10666  nnesq  10753  bccl2  10862  resqrexlemp1rp  11173  resqrexlemover  11177  resqrexlemnm  11185  resqrexlemgt0  11187  resqrexlemglsq  11189  sqrtgt0d  11326  reccn2ap  11480  fsumlt  11631  eirraplem  11944  dvdsmodexp  11962  bitsmod  12123  prmind2  12298  sqrt2irrlem  12339  modprmn0modprm0  12435  4sqlem11  12580  4sqlem12  12581  modxai  12595  ssblex  14677  mulc1cncf  14835  cncfmptc  14842  mulcncflem  14853  cnplimclemle  14914  pilem3  15029  sgmnncl  15234  iooref1o  15688  trilpolemeq1  15694  nconstwlpolemgt0  15718  taupi  15727