Theorem rpgt0d 10079

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 10045	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   0cc0 8169   < clt 8350   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  rpregt0d  10083  ltmulgt11d  10112  ltmulgt12d  10113  gt0divd  10114  ge0divd  10115  lediv12ad  10136  expgt0  10987  nnesq  11075  bccl2  11184  resqrexlemp1rp  11750  resqrexlemover  11754  resqrexlemnm  11762  resqrexlemgt0  11764  resqrexlemglsq  11766  sqrtgt0d  11903  reccn2ap  12057  fsumlt  12209  eirraplem  12522  dvdsmodexp  12540  bitsmod  12701  prmind2  12876  sqrt2irrlem  12917  modprmn0modprm0  13013  4sqlem11  13158  4sqlem12  13159  modxai  13173  ssblex  15455  mulc1cncf  15613  cncfmptc  15620  mulcncflem  15631  cnplimclemle  15692  pilem3  15807  sgmnncl  16016  iooref1o  16988  trilpolemeq1  16994  nconstwlpolemgt0  17019  taupi  17028