Theorem rpgt0d 10100

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 10066	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   0cc0 8179   < clt 8360   RR+crp 10054

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10055

This theorem is used by:  rpregt0d  10104  ltmulgt11d  10133  ltmulgt12d  10134  gt0divd  10135  ge0divd  10136  lediv12ad  10157  expgt0  11009  nnesq  11097  bccl2  11206  resqrexlemp1rp  11772  resqrexlemover  11776  resqrexlemnm  11784  resqrexlemgt0  11786  resqrexlemglsq  11788  sqrtgt0d  11925  reccn2ap  12079  fsumlt  12231  eirraplem  12544  dvdsmodexp  12562  bitsmod  12723  prmind2  12898  sqrt2irrlem  12939  modprmn0modprm0  13035  4sqlem11  13180  4sqlem12  13181  modxai  13195  ssblex  15532  mulc1cncf  15690  cncfmptc  15697  mulcncflem  15708  cnplimclemle  15769  pilem3  15884  sgmnncl  16102  iooref1o  17083  trilpolemeq1  17089  nconstwlpolemgt0  17114  taupi  17123