Theorem rpgt0d 10032

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 9998	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   0cc0 8127   < clt 8308   RR+crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-rp 9987

This theorem is referenced by:  rpregt0d  10036  ltmulgt11d  10065  ltmulgt12d  10066  gt0divd  10067  ge0divd  10068  lediv12ad  10089  expgt0  10934  nnesq  11021  bccl2  11130  resqrexlemp1rp  11691  resqrexlemover  11695  resqrexlemnm  11703  resqrexlemgt0  11705  resqrexlemglsq  11707  sqrtgt0d  11844  reccn2ap  11998  fsumlt  12150  eirraplem  12463  dvdsmodexp  12481  bitsmod  12642  prmind2  12817  sqrt2irrlem  12858  modprmn0modprm0  12954  4sqlem11  13099  4sqlem12  13100  modxai  13114  ssblex  15296  mulc1cncf  15454  cncfmptc  15461  mulcncflem  15472  cnplimclemle  15533  pilem3  15648  sgmnncl  15856  iooref1o  16818  trilpolemeq1  16824  nconstwlpolemgt0  16850  taupi  16859