Theorem rpgt0d 9607

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 9573	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   class class class wbr 3966   0cc0 7733   < clt 7913   RR+crp 9561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rab 2444  df-v 2714  df-un 3106  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3967  df-rp 9562

This theorem is referenced by:  rpregt0d  9611  ltmulgt11d  9640  ltmulgt12d  9641  gt0divd  9642  ge0divd  9643  lediv12ad  9664  expgt0  10456  nnesq  10541  bccl2  10646  resqrexlemp1rp  10910  resqrexlemover  10914  resqrexlemnm  10922  resqrexlemgt0  10924  resqrexlemglsq  10926  sqrtgt0d  11063  reccn2ap  11214  fsumlt  11365  eirraplem  11677  dvdsmodexp  11695  prmind2  12001  sqrt2irrlem  12040  modprmn0modprm0  12135  ssblex  12873  mulc1cncf  13018  cncfmptc  13024  mulcncflem  13032  cnplimclemle  13079  pilem3  13146  iooref1o  13647  trilpolemeq1  13653  nconstwlpolemgt0  13676  taupi  13683