Theorem rpgt0d 10111

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 10077	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   0cc0 8180   < clt 8361   RR+crp 10065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-rp 10066

This theorem is used by:  rpregt0d  10115  ltmulgt11d  10144  ltmulgt12d  10145  gt0divd  10146  ge0divd  10147  lediv12ad  10168  expgt0  11024  nnesq  11112  bccl2  11222  resqrexlemp1rp  11788  resqrexlemover  11792  resqrexlemnm  11800  resqrexlemgt0  11802  resqrexlemglsq  11804  sqrtgt0d  11942  reccn2ap  12098  fsumlt  12250  eirraplem  12563  dvdsmodexp  12581  bitsmod  12742  prmind2  12917  sqrt2irrlem  12959  modprmn0modprm0  13058  4sqlem11  13203  4sqlem12  13204  modxai  13218  ssblex  15623  mulc1cncf  15781  cncfmptc  15788  mulcncflem  15799  cnplimclemle  15860  pilem3  15976  sgmnncl  16218  iooref1o  17249  trilpolemeq1  17256  nconstwlpolemgt0  17281  taupi  17290