Theorem rpgt0d 10116

Description: A positive real is greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpgt0d	|- ( ph -> 0 < A )

Proof of Theorem rpgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpgt0 10082	. 2 |- ( A e. RR+ -> 0 < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> 0 < A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   0cc0 8185   < clt 8366   RR+crp 10070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-rp 10071

This theorem is used by:  rpregt0d  10120  ltmulgt11d  10149  ltmulgt12d  10150  gt0divd  10151  ge0divd  10152  lediv12ad  10173  expgt0  11029  nnesq  11117  bccl2  11227  resqrexlemp1rp  11793  resqrexlemover  11797  resqrexlemnm  11805  resqrexlemgt0  11807  resqrexlemglsq  11809  sqrtgt0d  11947  reccn2ap  12103  fsumlt  12255  eirraplem  12568  dvdsmodexp  12586  bitsmod  12747  prmind2  12922  sqrt2irrlem  12964  modprmn0modprm0  13063  4sqlem11  13208  4sqlem12  13209  modxai  13223  ssblex  15674  mulc1cncf  15832  cncfmptc  15839  mulcncflem  15850  cnplimclemle  15911  pilem3  16027  sgmnncl  16274  iooref1o  17306  trilpolemeq1  17313  nconstwlpolemgt0  17338  taupi  17347