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Theorem isprm6 11671
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 11670. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 11657 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 euclemma 11670 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
323expb 1165 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  <->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) ) )
43biimpd 143 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  ->  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
54ralrimivva 2488 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )
61, 5jca 302 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
7 simpl 108 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
8 eluz2nn 9266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
98adantr 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN )
109nnzd 9076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  ZZ )
11 iddvds 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  P )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  P
)
13 nncn 8638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  CC )
149, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  CC )
15 nncn 8638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  CC )
1615ad2antrl 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  CC )
17 nnap0 8659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  NN  ->  z #  0 )
1817ad2antrl 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z #  0 )
1914, 16, 18divcanap1d 8464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  x.  z )  =  P )
2012, 19breqtrrd 3921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
2120adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) )
22 simprr 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  ||  P
)
23 simprl 503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN )
24 nndivdvds 11347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  <->  ( P  /  z )  e.  NN ) )
259, 23, 24syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  ||  P 
<->  ( P  /  z
)  e.  NN ) )
2622, 25mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  NN )
2726nnzd 9076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
z )  e.  ZZ )
28 nnz 8977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  ZZ )
2928ad2antrl 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  ZZ )
3027, 29jca 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ ) )
31 oveq1 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
x  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  y ) )
3231breq2d 3907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  ( x  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y ) ) )
33 breq2 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  ( P  ||  x  <->  P  ||  ( P  /  z ) ) )
3433orbi1d 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  x  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y ) ) )
3532, 34imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( P  / 
z )  ->  (
( P  ||  (
x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y
) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  y
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) ) ) )
36 oveq2 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  /  z
)  x.  y )  =  ( ( P  /  z )  x.  z ) )
3736breq2d 3907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  ( ( P  /  z )  x.  y )  <->  P  ||  (
( P  /  z
)  x.  z ) ) )
38 breq2 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( P  ||  y  <->  P  ||  z
) )
3938orbi2d 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  y )  <-> 
( P  ||  ( P  /  z )  \/  P  ||  z ) ) )
4037, 39imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  (
( P  ||  (
( P  /  z
)  x.  y )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  y ) )  <->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) ) )
4135, 40rspc2va 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  / 
z )  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4230, 41sylan 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( P  / 
z )  x.  z
)  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) ) )
4321, 42mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  \/  P  ||  z ) )
44 dvdsle 11390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  /  z
)  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4510, 26, 44syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4614div1d 8453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  / 
1 )  =  P )
4746breq1d 3905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
)  <->  P  <_  ( P  /  z ) ) )
4845, 47sylibrd 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  ( P  /  1 )  <_ 
( P  /  z
) ) )
49 nnrp 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  RR+ )
5049rpregt0d 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  e.  RR  /\  0  <  z ) )
5150ad2antrl 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  0  < 
z ) )
52 1rp 9347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
53 rpregt0 9356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
5452, 53mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
55 nnrp 9352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  RR+ )
569, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  RR+ )
5756rpregt0d 9389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )
58 lediv2 8559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  0  <  z )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( z  <_  1  <->  ( P  /  1 )  <_  ( P  / 
z ) ) )
5951, 54, 57, 58syl3anc 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  ( P  / 
1 )  <_  ( P  /  z ) ) )
6048, 59sylibrd 168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  <_  1 ) )
61 nnle1eq1 8654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  NN  ->  (
z  <_  1  <->  z  = 
1 ) )
6261ad2antrl 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( z  <_ 
1  <->  z  =  1 ) )
6360, 62sylibd 148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  ( P  /  z
)  ->  z  = 
1 ) )
64 nnnn0 8888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  NN  ->  z  e.  NN0 )
6564ad2antrl 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  z  e.  NN0 )
6665adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  e.  NN0 )
67 nnnn0 8888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  NN0 )
689, 67syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  P  e.  NN0 )
6968adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  e.  NN0 )
70 simplrr 508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  ||  P )
71 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  P  ||  z )
72 dvdseq 11394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  NN0  /\  P  e.  NN0 )  /\  ( z  ||  P  /\  P  ||  z ) )  ->  z  =  P )
7366, 69, 70, 71, 72syl22anc 1200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  P  ||  z )  ->  z  =  P )
7473ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( P  ||  z  ->  z  =  P ) )
7563, 74orim12d 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  ->  ( ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z )  ->  (
z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
7675imp 123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  ( P 
||  ( P  / 
z )  \/  P  ||  z ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7743, 76syldan 278 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7877an32s 540 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  ( z  e.  NN  /\  z  ||  P ) )  -> 
( z  =  1  \/  z  =  P ) )
7978expr 370 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  /\  z  e.  NN )  ->  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
8079ralrimiva 2479 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) )
81 isprm2 11644 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  NN  ( z  ||  P  ->  ( z  =  1  \/  z  =  P ) ) ) )
827, 80, 81sylanbrc 411 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y
)  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) )  ->  P  e.  Prime )
836, 82impbii 125 1  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( P  ||  ( x  x.  y )  ->  ( P  ||  x  \/  P  ||  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2390   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548    x. cmul 7552    < clt 7724    <_ cle 7725   # cap 8261    / cdiv 8345   NNcn 8630   2c2 8681   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   RR+crp 9343    || cdvds 11341   Primecprime 11634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-2o 6268  df-er 6383  df-en 6589  df-sup 6823  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-fl 9936  df-mod 9989  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-dvds 11342  df-gcd 11484  df-prm 11635
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