Theorem isprm6 11671

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 11670. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, P

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 11657	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		euclemma 11670	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
3	2	3expb 1165	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
4	3	biimpd 143	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
5	4	ralrimivva 2488	. . 3 |- ( P e. Prime -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
6	1, 5	jca 302	. 2 |- ( P e. Prime -> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )
7		simpl 108	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8		eluz2nn 9266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
9	8	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN )
10	9	nnzd 9076	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. ZZ )
11		iddvds 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> P || P )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || P )
13		nncn 8638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN -> P e. CC )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. CC )
15		nncn 8638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
16	15	ad2antrl 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. CC )
17		nnap0 8659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z # 0 )
18	17	ad2antrl 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z # 0 )
19	14, 16, 18	divcanap1d 8464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) x. z ) = P )
20	12, 19	breqtrrd 3921	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
21	20	adantr 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
22		simprr 504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z || P )
23		simprl 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN )
24		nndivdvds 11347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ z e. NN ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
25	9, 23, 24	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
26	22, 25	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. NN )
27	26	nnzd 9076	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. ZZ )
28		nnz 8977	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
29	28	ad2antrl 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. ZZ )
30	27, 29	jca 302	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
31		oveq1 5735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( x x. y ) = ( ( P / z ) x. y ) )
32	31	breq2d 3907	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || ( x x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. y ) ) )
33		breq2 3899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || x <-> P || ( P / z ) ) )
34	33	orbi1d 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || x \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) )
35	32, 34	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) ) )
36		oveq2 5736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( P / z ) x. y ) = ( ( P / z ) x. z ) )
37	36	breq2d 3907	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( P || ( ( P / z ) x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. z ) ) )
38		breq2 3899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( P || y <-> P || z ) )
39	38	orbi2d 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
40	37, 39	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) ) )
41	35, 40	rspc2va 2773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
42	30, 41	sylan 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) )
44		dvdsle 11390	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( P / z ) e. NN ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
45	10, 26, 44	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
46	14	div1d 8453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / 1 ) = P )
47	46	breq1d 3905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / 1 ) <_ ( P / z ) <-> P <_ ( P / z ) ) )
48	45, 47	sylibrd 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
49		nnrp 9352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN -> z e. RR+ )
50	49	rpregt0d 9389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
51	50	ad2antrl 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
52		1rp 9347	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
53		rpregt0 9356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
54	52, 53	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
55		nnrp 9352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
56	9, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. RR+ )
57	56	rpregt0d 9389	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P e. RR /\ 0 < P ) )
58		lediv2 8559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR /\ 0 < z ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
60	48, 59	sylibrd 168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z <_ 1 ) )
61		nnle1eq1 8654	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
62	61	ad2antrl 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
63	60, 62	sylibd 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z = 1 ) )
64		nnnn0 8888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
65	64	ad2antrl 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN0 )
66	65	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z e. NN0 )
67		nnnn0 8888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
68	9, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN0 )
69	68	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P e. NN0 )
70		simplrr 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z || P )
71		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P || z )
72		dvdseq 11394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. NN0 /\ P e. NN0 ) /\ ( z || P /\ P || z ) ) -> z = P )
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 1200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z = P )
74	73	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || z -> z = P ) )
75	63, 74	orim12d 758	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || z ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
76	75	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
77	43, 76	syldan 278	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
78	77	an32s 540	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
79	78	expr 370	. . . 4 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ z e. NN ) -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
80	79	ralrimiva 2479	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
81		isprm2 11644	. . 3 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
82	7, 80, 81	sylanbrc 411	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. Prime )
83	6, 82	impbii 125	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   class class class wbr 3895   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   CCcc 7545   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548   x. cmul 7552   < clt 7724   <_ cle 7725   # cap 8261   / cdiv 8345   NNcn 8630   2c2 8681   NN0cn0 8881   ZZcz 8958   ZZ>=cuz 9228   RR+crp 9343   || cdvds 11341   Primecprime 11634

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-1o 6267  df-2o 6268  df-er 6383  df-en 6589  df-sup 6823  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-fz 9684  df-fzo 9813  df-fl 9936  df-mod 9989  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-dvds 11342  df-gcd 11484  df-prm 11635

This theorem is referenced by: (None)