Theorem isprm6 12079

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 12078. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, P

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 12063	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		euclemma 12078	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
3	2	3expb 1194	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
4	3	biimpd 143	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
5	4	ralrimivva 2548	. . 3 |- ( P e. Prime -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
6	1, 5	jca 304	. 2 |- ( P e. Prime -> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )
7		simpl 108	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8		eluz2nn 9504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
9	8	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN )
10	9	nnzd 9312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. ZZ )
11		iddvds 11744	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> P || P )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || P )
13		nncn 8865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN -> P e. CC )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. CC )
15		nncn 8865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
16	15	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. CC )
17		nnap0 8886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z # 0 )
18	17	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z # 0 )
19	14, 16, 18	divcanap1d 8687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) x. z ) = P )
20	12, 19	breqtrrd 4010	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
21	20	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
22		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z || P )
23		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN )
24		nndivdvds 11736	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ z e. NN ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
25	9, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
26	22, 25	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. NN )
27	26	nnzd 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. ZZ )
28		nnz 9210	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
29	28	ad2antrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. ZZ )
30	27, 29	jca 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
31		oveq1 5849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( x x. y ) = ( ( P / z ) x. y ) )
32	31	breq2d 3994	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || ( x x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. y ) ) )
33		breq2 3986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || x <-> P || ( P / z ) ) )
34	33	orbi1d 781	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || x \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) )
35	32, 34	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) ) )
36		oveq2 5850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( P / z ) x. y ) = ( ( P / z ) x. z ) )
37	36	breq2d 3994	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( P || ( ( P / z ) x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. z ) ) )
38		breq2 3986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( P || y <-> P || z ) )
39	38	orbi2d 780	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
40	37, 39	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) ) )
41	35, 40	rspc2va 2844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
42	30, 41	sylan 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) )
44		dvdsle 11782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( P / z ) e. NN ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
45	10, 26, 44	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
46	14	div1d 8676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / 1 ) = P )
47	46	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / 1 ) <_ ( P / z ) <-> P <_ ( P / z ) ) )
48	45, 47	sylibrd 168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
49		nnrp 9599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN -> z e. RR+ )
50	49	rpregt0d 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
51	50	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
52		1rp 9593	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
53		rpregt0 9603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
54	52, 53	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
55		nnrp 9599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
56	9, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. RR+ )
57	56	rpregt0d 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P e. RR /\ 0 < P ) )
58		lediv2 8786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR /\ 0 < z ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
60	48, 59	sylibrd 168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z <_ 1 ) )
61		nnle1eq1 8881	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
62	61	ad2antrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
63	60, 62	sylibd 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z = 1 ) )
64		nnnn0 9121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
65	64	ad2antrl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN0 )
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z e. NN0 )
67		nnnn0 9121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
68	9, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN0 )
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P e. NN0 )
70		simplrr 526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z || P )
71		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P || z )
72		dvdseq 11786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. NN0 /\ P e. NN0 ) /\ ( z || P /\ P || z ) ) -> z = P )
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 1229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z = P )
74	73	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || z -> z = P ) )
75	63, 74	orim12d 776	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || z ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
76	75	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
77	43, 76	syldan 280	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
78	77	an32s 558	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
79	78	expr 373	. . . 4 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ z e. NN ) -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
80	79	ralrimiva 2539	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
81		isprm2 12049	. . 3 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
82	7, 80, 81	sylanbrc 414	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. Prime )
83	6, 82	impbii 125	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   # cap 8479   / cdiv 8568   NNcn 8857   2c2 8908   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   || cdvds 11727   Primecprime 12039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-prm 12040

This theorem is referenced by: (None)