Theorem isprm6 12737

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 12736. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, P

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 12721	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		euclemma 12736	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
3	2	3expb 1230	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
4	3	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
5	4	ralrimivva 2614	. . 3 |- ( P e. Prime -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
6	1, 5	jca 306	. 2 |- ( P e. Prime -> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )
7		simpl 109	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8		eluz2nn 9800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN )
10	9	nnzd 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. ZZ )
11		iddvds 12383	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> P || P )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || P )
13		nncn 9151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN -> P e. CC )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. CC )
15		nncn 9151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
16	15	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. CC )
17		nnap0 9172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z # 0 )
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z # 0 )
19	14, 16, 18	divcanap1d 8971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) x. z ) = P )
20	12, 19	breqtrrd 4116	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
22		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z || P )
23		simprl 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN )
24		nndivdvds 12375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ z e. NN ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
25	9, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. NN )
27	26	nnzd 9601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. ZZ )
28		nnz 9498	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
29	28	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. ZZ )
30	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
31		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( x x. y ) = ( ( P / z ) x. y ) )
32	31	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || ( x x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. y ) ) )
33		breq2 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || x <-> P || ( P / z ) ) )
34	33	orbi1d 798	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || x \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) )
35	32, 34	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) ) )
36		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( P / z ) x. y ) = ( ( P / z ) x. z ) )
37	36	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( P || ( ( P / z ) x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. z ) ) )
38		breq2 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( P || y <-> P || z ) )
39	38	orbi2d 797	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
40	37, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) ) )
41	35, 40	rspc2va 2924	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
42	30, 41	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) )
44		dvdsle 12423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( P / z ) e. NN ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
45	10, 26, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
46	14	div1d 8960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / 1 ) = P )
47	46	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / 1 ) <_ ( P / z ) <-> P <_ ( P / z ) ) )
48	45, 47	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
49		nnrp 9898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN -> z e. RR+ )
50	49	rpregt0d 9938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
51	50	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
52		1rp 9892	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
53		rpregt0 9902	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
54	52, 53	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
55		nnrp 9898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
56	9, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. RR+ )
57	56	rpregt0d 9938	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P e. RR /\ 0 < P ) )
58		lediv2 9071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR /\ 0 < z ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
60	48, 59	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z <_ 1 ) )
61		nnle1eq1 9167	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
62	61	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
63	60, 62	sylibd 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z = 1 ) )
64		nnnn0 9409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
65	64	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN0 )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z e. NN0 )
67		nnnn0 9409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
68	9, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN0 )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P e. NN0 )
70		simplrr 538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z || P )
71		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P || z )
72		dvdseq 12427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. NN0 /\ P e. NN0 ) /\ ( z || P /\ P || z ) ) -> z = P )
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z = P )
74	73	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || z -> z = P ) )
75	63, 74	orim12d 793	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || z ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
76	75	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
77	43, 76	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
78	77	an32s 570	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
79	78	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ z e. NN ) -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
80	79	ralrimiva 2605	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
81		isprm2 12707	. . 3 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
82	7, 80, 81	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. Prime )
83	6, 82	impbii 126	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   x. cmul 8037   < clt 8214   <_ cle 8215   # cap 8761   / cdiv 8852   NNcn 9143   2c2 9194   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755   RR+crp 9888   || cdvds 12366   Primecprime 12697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-dvds 12367  df-gcd 12543  df-prm 12698

This theorem is referenced by: (None)