Theorem isprm6 12664

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 12663. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	|- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, P

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 12648	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		euclemma 12663	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
3	2	3expb 1228	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) <-> ( P || x \/ P || y ) ) )
4	3	biimpd 144	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
5	4	ralrimivva 2612	. . 3 |- ( P e. Prime -> A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) )
6	1, 5	jca 306	. 2 |- ( P e. Prime -> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )
7		simpl 109	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8		eluz2nn 9757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> P e. NN )
9	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN )
10	9	nnzd 9564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. ZZ )
11		iddvds 12310	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ZZ -> P || P )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || P )
13		nncn 9114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN -> P e. CC )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. CC )
15		nncn 9114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. CC )
16	15	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. CC )
17		nnap0 9135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z # 0 )
18	17	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z # 0 )
19	14, 16, 18	divcanap1d 8934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) x. z ) = P )
20	12, 19	breqtrrd 4110	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P || ( ( P / z ) x. z ) )
22		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z || P )
23		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN )
24		nndivdvds 12302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. NN /\ z e. NN ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
25	9, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z || P <-> ( P / z ) e. NN ) )
26	22, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. NN )
27	26	nnzd 9564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / z ) e. ZZ )
28		nnz 9461	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
29	28	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. ZZ )
30	27, 29	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
31		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( x x. y ) = ( ( P / z ) x. y ) )
32	31	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || ( x x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. y ) ) )
33		breq2 4086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( P / z ) -> ( P || x <-> P || ( P / z ) ) )
34	33	orbi1d 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || x \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) )
35	32, 34	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( P / z ) -> ( ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) ) )
36		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( ( P / z ) x. y ) = ( ( P / z ) x. z ) )
37	36	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( P || ( ( P / z ) x. y ) <-> P || ( ( P / z ) x. z ) ) )
38		breq2 4086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( P || y <-> P || z ) )
39	38	orbi2d 795	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || y ) <-> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
40	37, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( P || ( ( P / z ) x. y ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || y ) ) <-> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) ) )
41	35, 40	rspc2va 2921	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( P / z ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
42	30, 41	sylan 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( ( P / z ) x. z ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) )
43	21, 42	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( P || ( P / z ) \/ P || z ) )
44		dvdsle 12350	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ZZ /\ ( P / z ) e. NN ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
45	10, 26, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> P <_ ( P / z ) ) )
46	14	div1d 8923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P / 1 ) = P )
47	46	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P / 1 ) <_ ( P / z ) <-> P <_ ( P / z ) ) )
48	45, 47	sylibrd 169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
49		nnrp 9855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. NN -> z e. RR+ )
50	49	rpregt0d 9895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
51	50	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z e. RR /\ 0 < z ) )
52		1rp 9849	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
53		rpregt0 9859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. RR+ -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
54	52, 53	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) )
55		nnrp 9855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. NN -> P e. RR+ )
56	9, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. RR+ )
57	56	rpregt0d 9895	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P e. RR /\ 0 < P ) )
58		lediv2 9034	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. RR /\ 0 < z ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( P e. RR /\ 0 < P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> ( P / 1 ) <_ ( P / z ) ) )
60	48, 59	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z <_ 1 ) )
61		nnle1eq1 9130	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
62	61	ad2antrl 490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z <_ 1 <-> z = 1 ) )
63	60, 62	sylibd 149	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || ( P / z ) -> z = 1 ) )
64		nnnn0 9372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. NN -> z e. NN0 )
65	64	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> z e. NN0 )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z e. NN0 )
67		nnnn0 9372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. NN -> P e. NN0 )
68	9, 67	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> P e. NN0 )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P e. NN0 )
70		simplrr 536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z || P )
71		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> P || z )
72		dvdseq 12354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. NN0 /\ P e. NN0 ) /\ ( z || P /\ P || z ) ) -> z = P )
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 1272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ P || z ) -> z = P )
74	73	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( P || z -> z = P ) )
75	63, 74	orim12d 791	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( ( P || ( P / z ) \/ P || z ) -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
76	75	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ ( P || ( P / z ) \/ P || z ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
77	43, 76	syldan 282	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
78	77	an32s 568	. . . . 5 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ ( z e. NN /\ z || P ) ) -> ( z = 1 \/ z = P ) )
79	78	expr 375	. . . 4 |- ( ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) /\ z e. NN ) -> ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
80	79	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) )
81		isprm2 12634	. . 3 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. z e. NN ( z || P -> ( z = 1 \/ z = P ) ) ) )
82	7, 80, 81	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) -> P e. Prime )
83	6, 82	impbii 126	1 |- ( P e. Prime <-> ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. x e. ZZ A. y e. ZZ ( P || ( x x. y ) -> ( P || x \/ P || y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   RRcr 7994   0cc0 7995   1c1 7996   x. cmul 8000   < clt 8177   <_ cle 8178   # cap 8724   / cdiv 8815   NNcn 9106   2c2 9157   NN0cn0 9365   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   RR+crp 9845   || cdvds 12293   Primecprime 12624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-1o 6560  df-2o 6561  df-er 6678  df-en 6886  df-sup 7147  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-fl 10485  df-mod 10540  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-dvds 12294  df-gcd 12470  df-prm 12625

This theorem is referenced by: (None)