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Theorem rspc2gv 2732
Description: Restricted specialization with two quantifiers, using implicit substitution. (Contributed by BJ, 2-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rspc2gv.1  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
rspc2gv  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  W  ph  ->  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, V, y    x, W, y    ps, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem rspc2gv
StepHypRef Expression
1 df-ral 2364 . 2  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  W  ph  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph ) )
2 df-ral 2364 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  W  ph  <->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) )
32imbi2i 224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph )  <->  ( x  e.  V  ->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) ) )
43albii 1404 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph )  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. y ( y  e.  W  ->  ph )
) )
5 19.21v 1801 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  V  ->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) ) )
65bicomi 130 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. y ( y  e.  W  ->  ph ) )  <->  A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
) )
76albii 1404 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) )  <->  A. x A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
) )
8 impexp 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  W
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
) )
9 eleq1 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  V  <->  A  e.  V ) )
10 eleq1 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  W  <->  B  e.  W ) )
119, 10bi2anan9 573 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  W )  <->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) ) )
12 rspc2gv.1 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ph  <->  ps )
)
1311, 12imbi12d 232 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  W )  ->  ph )  <->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  ->  ps )
) )
148, 13syl5bbr 192 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  <->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ps ) ) )
1514spc2gv 2709 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ps ) ) )
1615pm2.43a 50 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  ->  ps )
)
177, 16syl5bi 150 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y ( y  e.  W  ->  ph ) )  ->  ps ) )
184, 17syl5bi 150 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph )  ->  ps )
)
191, 18syl5bi 150 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  W  ph  ->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-ral 2364  df-v 2621
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