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Theorem rspc2gv 2846
Description: Restricted specialization with two quantifiers, using implicit substitution. (Contributed by BJ, 2-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rspc2gv.1  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
rspc2gv  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  W  ph  ->  ps ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, V, y    x, W, y    ps, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem rspc2gv
StepHypRef Expression
1 df-ral 2453 . 2  |-  ( A. x  e.  V  A. y  e.  W  ph  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph ) )
2 df-ral 2453 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  W  ph  <->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) )
32imbi2i 225 . . . 4  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph )  <->  ( x  e.  V  ->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) ) )
43albii 1463 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph )  <->  A. x
( x  e.  V  ->  A. y ( y  e.  W  ->  ph )
) )
5 19.21v 1866 . . . . . 6  |-  ( A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  <->  ( x  e.  V  ->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) ) )
65bicomi 131 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  V  ->  A. y ( y  e.  W  ->  ph ) )  <->  A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
) )
76albii 1463 . . . 4  |-  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y
( y  e.  W  ->  ph ) )  <->  A. x A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
) )
8 impexp 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  W
)  ->  ph )  <->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
) )
9 eleq1 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  V  <->  A  e.  V ) )
10 eleq1 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  W  <->  B  e.  W ) )
119, 10bi2anan9 601 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  W )  <->  ( A  e.  V  /\  B  e.  W ) ) )
12 rspc2gv.1 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ph  <->  ps )
)
1311, 12imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( ( x  e.  V  /\  y  e.  W )  ->  ph )  <->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W
)  ->  ps )
) )
148, 13bitr3id 193 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  <->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ps ) ) )
1514spc2gv 2821 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  ->  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ps ) ) )
1615pm2.43a 51 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x A. y ( x  e.  V  ->  ( y  e.  W  ->  ph )
)  ->  ps )
)
177, 16syl5bi 151 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y ( y  e.  W  ->  ph ) )  ->  ps ) )
184, 17syl5bi 151 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x ( x  e.  V  ->  A. y  e.  W  ph )  ->  ps )
)
191, 18syl5bi 151 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  W  ph  ->  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ral 2453  df-v 2732
This theorem is referenced by:  difinfsnlem  7073  difinfsn  7074  seqvalcd  10404  seqovcd  10408  qtopbasss  13276  apdiff  14042
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