Theorem rspc2gv 2919

Description: Restricted specialization with two quantifiers, using implicit substitution. (Contributed by BJ, 2-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspc2gv.1	|- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2gv	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x e. V A. y e. W ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y   x, W, y   ps, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem rspc2gv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2513	. 2 |- ( A. x e. V A. y e. W ph <-> A. x ( x e. V -> A. y e. W ph ) )
2		df-ral 2513	. . . . 5 |- ( A. y e. W ph <-> A. y ( y e. W -> ph ) )
3	2	imbi2i 226	. . . 4 |- ( ( x e. V -> A. y e. W ph ) <-> ( x e. V -> A. y ( y e. W -> ph ) ) )
4	3	albii 1516	. . 3 |- ( A. x ( x e. V -> A. y e. W ph ) <-> A. x ( x e. V -> A. y ( y e. W -> ph ) ) )
5		19.21v 1919	. . . . . 6 |- ( A. y ( x e. V -> ( y e. W -> ph ) ) <-> ( x e. V -> A. y ( y e. W -> ph ) ) )
6	5	bicomi 132	. . . . 5 |- ( ( x e. V -> A. y ( y e. W -> ph ) ) <-> A. y ( x e. V -> ( y e. W -> ph ) ) )
7	6	albii 1516	. . . 4 |- ( A. x ( x e. V -> A. y ( y e. W -> ph ) ) <-> A. x A. y ( x e. V -> ( y e. W -> ph ) ) )
8		impexp 263	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. V /\ y e. W ) -> ph ) <-> ( x e. V -> ( y e. W -> ph ) ) )
9		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x e. V <-> A e. V ) )
10		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> ( y e. W <-> B e. W ) )
11	9, 10	bi2anan9 608	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( x e. V /\ y e. W ) <-> ( A e. V /\ B e. W ) ) )
12		rspc2gv.1	. . . . . . . 8 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ps ) )
13	11, 12	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( ( x e. V /\ y e. W ) -> ph ) <-> ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ps ) ) )
14	8, 13	bitr3id 194	. . . . . 6 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ( x e. V -> ( y e. W -> ph ) ) <-> ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ps ) ) )
15	14	spc2gv 2894	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x A. y ( x e. V -> ( y e. W -> ph ) ) -> ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ps ) ) )
16	15	pm2.43a 51	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x A. y ( x e. V -> ( y e. W -> ph ) ) -> ps ) )
17	7, 16	biimtrid 152	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x ( x e. V -> A. y ( y e. W -> ph ) ) -> ps ) )
18	4, 17	biimtrid 152	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x ( x e. V -> A. y e. W ph ) -> ps ) )
19	1, 18	biimtrid 152	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A. x e. V A. y e. W ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-ral 2513  df-v 2801

This theorem is referenced by:  difinfsnlem  7266  difinfsn  7267  seqvalcd  10683  seqovcd  10689  qtopbasss  15195  apdiff  16416