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Description: The irrationals (reals apart from any rational) are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2024.) |
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1 | breq2 3965 |
. . 3
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2 | 1 | cbvralv 2677 |
. 2
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3 | simplll 523 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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5 | simplrl 525 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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7 | simplrr 526 |
. . . . . . . 8
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8 | 7 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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9 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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10 | breq2 3965 |
. . . . . . . . . 10
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11 | simpllr 524 |
. . . . . . . . . 10
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12 | qaddcl 9522 |
. . . . . . . . . . . 12
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13 | 5, 7, 12 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 2z 9174 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | zq 9513 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | 14, 15 | mp1i 10 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 2ne0 8904 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 17 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | qdivcl 9530 |
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20 | 13, 16, 18, 19 | syl3anc 1217 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 10, 11, 20 | rspcdva 2818 |
. . . . . . . . 9
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22 | 3 | recnd 7885 |
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23 | qcn 9521 |
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24 | 20, 23 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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25 | apsym 8460 |
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26 | 22, 24, 25 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . 9
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27 | 21, 26 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | adantr 274 |
. . . . . . 7
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29 | 4, 6, 8, 9, 28 | apdifflemf 13558 |
. . . . . 6
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30 | 3 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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31 | 7 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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32 | 5 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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33 | simpr 109 |
. . . . . . . 8
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34 | qcn 9521 |
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35 | 5, 34 | syl 14 |
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36 | qcn 9521 |
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37 | 7, 36 | syl 14 |
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38 | 35, 37 | addcomd 8005 |
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39 | 38 | oveq1d 5829 |
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40 | 39, 27 | eqbrtrrd 3984 |
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41 | 40 | adantr 274 |
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42 | 30, 31, 32, 33, 41 | apdifflemf 13558 |
. . . . . . 7
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43 | 22 | adantr 274 |
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45 | 43, 44 | subcld 8165 |
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47 | 46 | recnd 7885 |
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48 | 32, 34 | syl 14 |
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51 | 50 | recnd 7885 |
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52 | apsym 8460 |
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53 | 47, 51, 52 | syl2anc 409 |
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54 | 42, 53 | mpbid 146 |
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56 | qlttri2 9528 |
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57 | 5, 7, 56 | syl2anc 409 |
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58 | 55, 57 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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59 | 29, 54, 58 | mpjaodan 788 |
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60 | 59 | ex 114 |
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61 | 60 | ralrimivva 2536 |
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62 | simpll 519 |
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63 | simpr 109 |
. . . . 5
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65 | neg1rr 8918 |
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66 | neg1lt0 8920 |
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67 | 0lt1 7981 |
. . . . . . . . 9
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68 | 0re 7857 |
. . . . . . . . . 10
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69 | 1re 7856 |
. . . . . . . . . 10
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70 | 65, 68, 69 | lttri 7960 |
. . . . . . . . 9
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71 | 66, 67, 70 | mp2an 423 |
. . . . . . . 8
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72 | 65, 71 | ltneii 7952 |
. . . . . . 7
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73 | 72 | a1i 9 |
. . . . . 6
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74 | neg1z 9178 |
. . . . . . . 8
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75 | zq 9513 |
. . . . . . . 8
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76 | 74, 75 | mp1i 10 |
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77 | 1z 9172 |
. . . . . . . 8
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78 | zq 9513 |
. . . . . . . 8
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79 | 77, 78 | mp1i 10 |
. . . . . . 7
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80 | simpl 108 |
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81 | simpr 109 |
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82 | 80, 81 | neeq12d 2344 |
. . . . . . . . 9
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83 | 80 | oveq2d 5830 |
. . . . . . . . . . 11
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84 | 83 | fveq2d 5465 |
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85 | 81 | oveq2d 5830 |
. . . . . . . . . . 11
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86 | 85 | fveq2d 5465 |
. . . . . . . . . 10
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87 | 84, 86 | breq12d 3974 |
. . . . . . . . 9
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88 | 82, 87 | imbi12d 233 |
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89 | 88 | rspc2gv 2825 |
. . . . . . 7
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90 | 76, 79, 89 | syl2anc 409 |
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91 | 64, 73, 90 | mp2d 47 |
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92 | simpllr 524 |
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93 | 2cnd 8885 |
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94 | simplr 520 |
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95 | qcn 9521 |
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96 | 94, 95 | syl 14 |
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97 | 2ap0 8905 |
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98 | 97 | a1i 9 |
. . . . . . . . 9
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99 | simpr 109 |
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100 | 0z 9157 |
. . . . . . . . . . . 12
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101 | zq 9513 |
. . . . . . . . . . . 12
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102 | 100, 101 | mp1i 10 |
. . . . . . . . . . 11
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103 | qapne 9526 |
. . . . . . . . . . 11
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104 | 94, 102, 103 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . 10
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106 | 93, 96, 98, 105 | mulap0d 8511 |
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107 | 14, 15 | mp1i 10 |
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108 | qmulcl 9524 |
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109 | 107, 94, 108 | syl2anc 409 |
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110 | qcn 9521 |
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111 | 109, 110 | syl 14 |
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112 | 0cnd 7850 |
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113 | apsym 8460 |
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114 | 111, 112, 113 | syl2anc 409 |
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115 | 106, 114 | mpbid 146 |
. . . . . . 7
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116 | qapne 9526 |
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117 | 102, 109, 116 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
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118 | 115, 117 | mpbid 146 |
. . . . . 6
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119 | simpl 108 |
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120 | simpr 109 |
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121 | 119, 120 | neeq12d 2344 |
. . . . . . . . 9
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122 | 119 | oveq2d 5830 |
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123 | 122 | fveq2d 5465 |
. . . . . . . . . 10
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124 | 120 | oveq2d 5830 |
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125 | 124 | fveq2d 5465 |
. . . . . . . . . 10
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126 | 123, 125 | breq12d 3974 |
. . . . . . . . 9
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127 | 121, 126 | imbi12d 233 |
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128 | 127 | rspc2gv 2825 |
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129 | 102, 109, 128 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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130 | 92, 118, 129 | mp2d 47 |
. . . . 5
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131 | 62, 63, 91, 130 | apdifflemr 13559 |
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132 | 131 | ralrimiva 2527 |
. . 3
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133 | 61, 132 | impbida 586 |
. 2
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134 | 2, 133 | syl5bb 191 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1481 ax-10 1482 ax-11 1483 ax-i12 1484 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-17 1503 ax-i9 1507 ax-ial 1511 ax-i5r 1512 ax-13 2127 ax-14 2128 ax-ext 2136 ax-coll 4075 ax-sep 4078 ax-nul 4086 ax-pow 4130 ax-pr 4164 ax-un 4388 ax-setind 4490 ax-iinf 4541 ax-cnex 7802 ax-resscn 7803 ax-1cn 7804 ax-1re 7805 ax-icn 7806 ax-addcl 7807 ax-addrcl 7808 ax-mulcl 7809 ax-mulrcl 7810 ax-addcom 7811 ax-mulcom 7812 ax-addass 7813 ax-mulass 7814 ax-distr 7815 ax-i2m1 7816 ax-0lt1 7817 ax-1rid 7818 ax-0id 7819 ax-rnegex 7820 ax-precex 7821 ax-cnre 7822 ax-pre-ltirr 7823 ax-pre-ltwlin 7824 ax-pre-lttrn 7825 ax-pre-apti 7826 ax-pre-ltadd 7827 ax-pre-mulgt0 7828 ax-pre-mulext 7829 ax-arch 7830 ax-caucvg 7831 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1740 df-eu 2006 df-mo 2007 df-clab 2141 df-cleq 2147 df-clel 2150 df-nfc 2285 df-ne 2325 df-nel 2420 df-ral 2437 df-rex 2438 df-reu 2439 df-rmo 2440 df-rab 2441 df-v 2711 df-sbc 2934 df-csb 3028 df-dif 3100 df-un 3102 df-in 3104 df-ss 3111 df-nul 3391 df-if 3502 df-pw 3541 df-sn 3562 df-pr 3563 df-op 3565 df-uni 3769 df-int 3804 df-iun 3847 df-br 3962 df-opab 4022 df-mpt 4023 df-tr 4059 df-id 4248 df-po 4251 df-iso 4252 df-iord 4321 df-on 4323 df-ilim 4324 df-suc 4326 df-iom 4544 df-xp 4585 df-rel 4586 df-cnv 4587 df-co 4588 df-dm 4589 df-rn 4590 df-res 4591 df-ima 4592 df-iota 5128 df-fun 5165 df-fn 5166 df-f 5167 df-f1 5168 df-fo 5169 df-f1o 5170 df-fv 5171 df-riota 5770 df-ov 5817 df-oprab 5818 df-mpo 5819 df-1st 6078 df-2nd 6079 df-recs 6242 df-frec 6328 df-pnf 7893 df-mnf 7894 df-xr 7895 df-ltxr 7896 df-le 7897 df-sub 8027 df-neg 8028 df-reap 8429 df-ap 8436 df-div 8525 df-inn 8813 df-2 8871 df-3 8872 df-4 8873 df-n0 9070 df-z 9147 df-uz 9419 df-q 9507 df-rp 9539 df-seqfrec 10323 df-exp 10397 df-cj 10719 df-re 10720 df-im 10721 df-rsqrt 10875 df-abs 10876 |
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