Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  apdiff Unicode version

Theorem apdiff 13302
Description: The irrationals (reals apart from any rational) are exactly those reals that are a different distance from every rational. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
apdiff  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A. q  e.  QQ  A #  q  <->  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
Distinct variable group:    A, q, r

Proof of Theorem apdiff
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3933 . . 3  |-  ( q  =  s  ->  ( A #  q  <->  A #  s )
)
21cbvralv 2654 . 2  |-  ( A. q  e.  QQ  A #  q 
<-> 
A. s  e.  QQ  A #  s )
3 simplll 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  ->  A  e.  RR )
43adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  q  <  r )  ->  A  e.  RR )
5 simplrl 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
q  e.  QQ )
65adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  q  <  r )  ->  q  e.  QQ )
7 simplrr 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
r  e.  QQ )
87adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  q  <  r )  ->  r  e.  QQ )
9 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  q  <  r )  ->  q  <  r )
10 breq2 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( ( q  +  r )  / 
2 )  ->  ( A #  s  <->  A #  ( (
q  +  r )  /  2 ) ) )
11 simpllr 523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  ->  A. s  e.  QQ  A #  s )
12 qaddcl 9439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )  ->  ( q  +  r )  e.  QQ )
135, 7, 12syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( q  +  r )  e.  QQ )
14 2z 9094 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
15 zq 9430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  QQ )
1614, 15mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
2  e.  QQ )
17 2ne0 8824 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
2  =/=  0 )
19 qdivcl 9447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  +  r )  e.  QQ  /\  2  e.  QQ  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( q  +  r )  /  2 )  e.  QQ )
2013, 16, 18, 19syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( ( q  +  r )  /  2
)  e.  QQ )
2110, 11, 20rspcdva 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  ->  A #  ( ( q  +  r )  /  2
) )
223recnd 7806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  ->  A  e.  CC )
23 qcn 9438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  +  r )  /  2 )  e.  QQ  ->  (
( q  +  r )  /  2 )  e.  CC )
2420, 23syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( ( q  +  r )  /  2
)  e.  CC )
25 apsym 8380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( q  +  r )  /  2
)  e.  CC )  ->  ( A #  (
( q  +  r )  /  2 )  <-> 
( ( q  +  r )  /  2
) #  A ) )
2622, 24, 25syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( A #  ( ( q  +  r )  /  2 )  <->  ( (
q  +  r )  /  2 ) #  A
) )
2721, 26mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( ( q  +  r )  /  2
) #  A )
2827adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  q  <  r )  ->  (
( q  +  r )  /  2 ) #  A )
294, 6, 8, 9, 28apdifflemf 13300 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  q  <  r )  ->  ( abs `  ( A  -  q ) ) #  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
303adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  A  e.  RR )
317adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  r  e.  QQ )
325adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  q  e.  QQ )
33 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  r  <  q )
34 qcn 9438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  QQ  ->  q  e.  CC )
355, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
q  e.  CC )
36 qcn 9438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  QQ  ->  r  e.  CC )
377, 36syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
r  e.  CC )
3835, 37addcomd 7925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( q  +  r )  =  ( r  +  q ) )
3938oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( ( q  +  r )  /  2
)  =  ( ( r  +  q )  /  2 ) )
4039, 27eqbrtrrd 3952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( ( r  +  q )  /  2
) #  A )
4140adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  (
( r  +  q )  /  2 ) #  A )
4230, 31, 32, 33, 41apdifflemf 13300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) ) #  ( abs `  ( A  -  q ) ) )
4322adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  A  e.  CC )
4431, 36syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  r  e.  CC )
4543, 44subcld 8085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( A  -  r )  e.  CC )
4645abscld 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  RR )
4746recnd 7806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( abs `  ( A  -  r ) )  e.  CC )
4832, 34syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  q  e.  CC )
4943, 48subcld 8085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( A  -  q )  e.  CC )
5049abscld 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( abs `  ( A  -  q ) )  e.  RR )
5150recnd 7806 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( abs `  ( A  -  q ) )  e.  CC )
52 apsym 8380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  ( A  -  r )
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( A  -  q ) )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  ( A  -  r )
) #  ( abs `  ( A  -  q )
)  <->  ( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
5347, 51, 52syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  (
( abs `  ( A  -  r )
) #  ( abs `  ( A  -  q )
)  <->  ( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
5442, 53mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  /\  q  =/=  r )  /\  r  <  q )  ->  ( abs `  ( A  -  q ) ) #  ( abs `  ( A  -  r ) ) )
55 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
q  =/=  r )
56 qlttri2 9445 . . . . . . . 8  |-  ( ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )  ->  ( q  =/=  r  <->  ( q  <  r  \/  r  <  q ) ) )
575, 7, 56syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( q  =/=  r  <->  ( q  <  r  \/  r  <  q ) ) )
5855, 57mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( q  <  r  \/  r  <  q ) )
5929, 54, 58mpjaodan 787 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  ( q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ ) )  /\  q  =/=  r )  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) )
6059ex 114 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. s  e.  QQ  A #  s )  /\  (
q  e.  QQ  /\  r  e.  QQ )
)  ->  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
6160ralrimivva 2514 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. s  e.  QQ  A #  s )  ->  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
62 simpll 518 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  ->  A  e.  RR )
63 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  ->  s  e.  QQ )
64 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  ->  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )
65 neg1rr 8838 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  RR
66 neg1lt0 8840 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  <  0
67 0lt1 7901 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
68 0re 7778 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
69 1re 7777 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
7065, 68, 69lttri 7880 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  <  0  /\  0  <  1
)  ->  -u 1  <  1 )
7166, 67, 70mp2an 422 . . . . . . . 8  |-  -u 1  <  1
7265, 71ltneii 7872 . . . . . . 7  |-  -u 1  =/=  1
7372a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  -> 
-u 1  =/=  1
)
74 neg1z 9098 . . . . . . . 8  |-  -u 1  e.  ZZ
75 zq 9430 . . . . . . . 8  |-  ( -u
1  e.  ZZ  ->  -u
1  e.  QQ )
7674, 75mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  -> 
-u 1  e.  QQ )
77 1z 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
78 zq 9430 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
7977, 78mp1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  ->  1  e.  QQ )
80 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  q  =  -u 1 )
81 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  r  = 
1 )
8280, 81neeq12d 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  ( q  =/=  r  <->  -u 1  =/=  1
) )
8380oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  ( A  -  q )  =  ( A  -  -u 1
) )
8483fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  ( abs `  ( A  -  q
) )  =  ( abs `  ( A  -  -u 1 ) ) )
8581oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  ( A  -  r )  =  ( A  -  1 ) )
8685fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  ( abs `  ( A  -  r
) )  =  ( abs `  ( A  -  1 ) ) )
8784, 86breq12d 3942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  ( ( abs `  ( A  -  q ) ) #  ( abs `  ( A  -  r ) )  <-> 
( abs `  ( A  -  -u 1 ) ) #  ( abs `  ( A  -  1 ) ) ) )
8882, 87imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( q  =  -u 1  /\  r  =  1
)  ->  ( (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) )  <->  ( -u 1  =/=  1  ->  ( abs `  ( A  -  -u 1
) ) #  ( abs `  ( A  -  1 ) ) ) ) )
8988rspc2gv 2801 . . . . . . 7  |-  ( (
-u 1  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  -> 
( -u 1  =/=  1  ->  ( abs `  ( A  -  -u 1 ) ) #  ( abs `  ( A  -  1 ) ) ) ) )
9076, 79, 89syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  ->  ( A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  -> 
( -u 1  =/=  1  ->  ( abs `  ( A  -  -u 1 ) ) #  ( abs `  ( A  -  1 ) ) ) ) )
9164, 73, 90mp2d 47 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  ->  ( abs `  ( A  -  -u 1 ) ) #  ( abs `  ( A  -  1 ) ) )
92 simpllr 523 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )
93 2cnd 8805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  2  e.  CC )
94 simplr 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  s  e.  QQ )
95 qcn 9438 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  QQ  ->  s  e.  CC )
9694, 95syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  s  e.  CC )
97 2ap0 8825 . . . . . . . . . 10  |-  2 #  0
9897a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  2 #  0
)
99 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  s  =/=  0 )
100 0z 9077 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
101 zq 9430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
102100, 101mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  0  e.  QQ )
103 qapne 9443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( s #  0  <->  s  =/=  0 ) )
10494, 102, 103syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( s #  0 
<->  s  =/=  0 ) )
10599, 104mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  s #  0
)
10693, 96, 98, 105mulap0d 8431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( 2  x.  s ) #  0 )
10714, 15mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  2  e.  QQ )
108 qmulcl 9441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  QQ  /\  s  e.  QQ )  ->  ( 2  x.  s
)  e.  QQ )
109107, 94, 108syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( 2  x.  s )  e.  QQ )
110 qcn 9438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  s )  e.  QQ  ->  (
2  x.  s )  e.  CC )
111109, 110syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( 2  x.  s )  e.  CC )
112 0cnd 7771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  0  e.  CC )
113 apsym 8380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  s ) #  0  <->  0 #  ( 2  x.  s
) ) )
114111, 112, 113syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( (
2  x.  s ) #  0  <->  0 #  ( 2  x.  s ) ) )
115106, 114mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  0 #  (
2  x.  s ) )
116 qapne 9443 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  QQ  /\  ( 2  x.  s
)  e.  QQ )  ->  ( 0 #  ( 2  x.  s )  <->  0  =/=  ( 2  x.  s ) ) )
117102, 109, 116syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( 0 #  ( 2  x.  s
)  <->  0  =/=  (
2  x.  s ) ) )
118115, 117mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  0  =/=  ( 2  x.  s
) )
119 simpl 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  q  =  0 )
120 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  r  =  ( 2  x.  s ) )
121119, 120neeq12d 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( q  =/=  r  <->  0  =/=  (
2  x.  s ) ) )
122119oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( A  -  q )  =  ( A  -  0 ) )
123122fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( abs `  ( A  -  q )
)  =  ( abs `  ( A  -  0 ) ) )
124120oveq2d 5790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( A  -  r )  =  ( A  -  ( 2  x.  s ) ) )
125124fveq2d 5425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( abs `  ( A  -  r )
)  =  ( abs `  ( A  -  (
2  x.  s ) ) ) )
126123, 125breq12d 3942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) )  <->  ( abs `  ( A  -  0 ) ) #  ( abs `  ( A  -  (
2  x.  s ) ) ) ) )
127121, 126imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( q  =  0  /\  r  =  ( 2  x.  s ) )  ->  ( ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q ) ) #  ( abs `  ( A  -  r ) ) )  <->  ( 0  =/=  ( 2  x.  s
)  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) ) #  ( abs `  ( A  -  (
2  x.  s ) ) ) ) ) )
128127rspc2gv 2801 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  QQ  /\  ( 2  x.  s
)  e.  QQ )  ->  ( A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  -> 
( 0  =/=  (
2  x.  s )  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) ) #  ( abs `  ( A  -  ( 2  x.  s ) ) ) ) ) )
129102, 109, 128syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) )  -> 
( 0  =/=  (
2  x.  s )  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) ) #  ( abs `  ( A  -  ( 2  x.  s ) ) ) ) ) )
13092, 118, 129mp2d 47 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  ( q  =/=  r  ->  ( abs `  ( A  -  q
) ) #  ( abs `  ( A  -  r
) ) ) )  /\  s  e.  QQ )  /\  s  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A  -  0 ) ) #  ( abs `  ( A  -  (
2  x.  s ) ) ) )
13162, 63, 91, 130apdifflemr 13301 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\ 
A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  /\  s  e.  QQ )  ->  A #  s )
132131ralrimiva 2505 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) )  ->  A. s  e.  QQ  A #  s )
13361, 132impbida 585 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A. s  e.  QQ  A #  s  <->  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
1342, 133syl5bb 191 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A. q  e.  QQ  A #  q  <->  A. q  e.  QQ  A. r  e.  QQ  (
q  =/=  r  -> 
( abs `  ( A  -  q )
) #  ( abs `  ( A  -  r )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637    < clt 7812    - cmin 7945   -ucneg 7946   # cap 8355    / cdiv 8444   2c2 8783   ZZcz 9066   QQcq 9423   abscabs 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator