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Theorem difinfsn 7099
Description: An infinite set minus one element is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfsn  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  om  ~<_  ( A  \  { B } ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B, y

Proof of Theorem difinfsn
Dummy variables  a  f  g  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omp1eom 7094 . . . . 5  |-  ( om 1o )  ~~  om
2 simp2 998 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  om  ~<_  A )
3 endomtr 6790 . . . . 5  |-  ( ( ( om 1o )  ~~  om 
/\  om  ~<_  A )  ->  ( om 1o )  ~<_  A )
41, 2, 3sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  ( om 1o )  ~<_  A )
5 brdomi 6749 . . . 4  |-  ( ( om 1o )  ~<_  A  ->  E. f  f :
( om 1o ) -1-1-> A
)
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  E. f  f : ( om 1o ) -1-1-> A
)
7 inlresf1 7060 . . . . . . . 8  |-  (inl  |`  om ) : om -1-1-> ( om 1o )
8 f1co 5434 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( om 1o ) -1-1-> A  /\  (inl  |` 
om ) : om -1-1-> ( om 1o ) )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> A )
97, 8mpan2 425 . . . . . . 7  |-  ( f : ( om 1o )
-1-1-> A  ->  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) : om -1-1-> A )
109ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> A )
11 f1f 5422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> A  ->  ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om --> A )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om --> A )
1312frnd 5376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  C_  A )
1413sselda 3156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  s  e.  A )
15 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )
16 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( (
f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  B )
17 f1f 5422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (inl  |`  om ) : om -1-1-> ( om 1o )  ->  (inl  |` 
om ) : om --> ( om 1o ) )
187, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (inl  |`  om ) : om --> ( om 1o )
19 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  n  e.  om )
20 fvco3 5588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (inl  |`  om ) : om --> ( om 1o )  /\  n  e.  om )  ->  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  ( f `  ( (inl  |`  om ) `  n ) ) )
2118, 19, 20sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  ( f `  ( (inl  |`  om ) `  n
) ) )
2219fvresd 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
(inl  |`  om ) `  n )  =  (inl
`  n ) )
2322fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
f `  ( (inl  |` 
om ) `  n
) )  =  ( f `  (inl `  n ) ) )
2421, 23eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  ( f `  (inl `  n ) ) )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( (
f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  ( f `  (inl `  n ) ) )
2615, 16, 253eqtr2rd 2217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( f `  (inl `  n )
)  =  ( f `
 (inr `  (/) ) ) )
27 simp-4r 542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  f :
( om 1o ) -1-1-> A
)
28 djulcl 7050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  (inl `  n )  e.  ( om 1o ) )
2928ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inl `  n
)  e.  ( om 1o ) )
30 0lt1o 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  1o
31 djurcl 7051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o )
3332a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) )
34 f1veqaeq 5770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( om 1o ) -1-1-> A  /\  (
(inl `  n )  e.  ( om 1o )  /\  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) ) )  ->  ( ( f `
 (inl `  n
) )  =  ( f `  (inr `  (/) ) )  ->  (inl `  n )  =  (inr
`  (/) ) ) )
3527, 29, 33, 34syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( (
f `  (inl `  n
) )  =  ( f `  (inr `  (/) ) )  ->  (inl `  n )  =  (inr
`  (/) ) ) )
3626, 35mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inl `  n
)  =  (inr `  (/) ) )
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  n  e.  om )
38 djune 7077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  om  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
(inl `  n )  =/=  (inr `  (/) ) )
3937, 30, 38sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inl `  n
)  =/=  (inr `  (/) ) )
4039neneqd 2368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  -.  (inl `  n )  =  (inr
`  (/) ) )
4136, 40pm2.65da 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B )
4241ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  A. n  e.  om  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B )
4312ffnd 5367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) )  Fn 
om )
44 eqeq1 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  ->  ( s  =  B  <-> 
( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B ) )
4544notbid 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  ->  ( -.  s  =  B  <->  -.  ( (
f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  B ) )
4645ralrn 5655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
)  Fn  om  ->  ( A. s  e.  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  -.  s  =  B  <->  A. n  e.  om  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  B ) )
4743, 46syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( A. s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) )  -.  s  =  B  <->  A. n  e.  om  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B ) )
4842, 47mpbird 167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  A. s  e.  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  -.  s  =  B )
4948r19.21bi 2565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  -.  s  =  B )
50 velsn 3610 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  { B }  <->  s  =  B )
5149, 50sylnibr 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  -.  s  e.  { B } )
5214, 51eldifd 3140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  s  e.  ( A  \  { B } ) )
5352ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( s  e.  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  -> 
s  e.  ( A 
\  { B }
) ) )
5453ssrdv 3162 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  C_  ( A  \  { B } ) )
55 f1ssr 5429 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> A  /\  ran  (
f  o.  (inl  |`  om )
)  C_  ( A  \  { B } ) )  ->  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) : om -1-1-> ( A 
\  { B }
) )
5610, 54, 55syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
57 f1f 5422 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  (
f  o.  (inl  |`  om )
) : om --> ( A 
\  { B }
) )
58 omex 4593 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
59 fex 5746 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om --> ( A  \  { B } )  /\  om  e.  _V )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) )  e. 
_V )
6057, 58, 59sylancl 413 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  (
f  o.  (inl  |`  om )
)  e.  _V )
61 f1eq1 5417 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  (inl  |`  om ) )  ->  ( g : om -1-1-> ( A  \  { B } )  <->  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) : om -1-1-> ( A 
\  { B }
) ) )
6261spcegv 2826 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
)  e.  _V  ->  ( ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  E. g  g : om
-1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
6360, 62mpcom 36 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
6456, 63syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  E. g  g : om
-1-1-> ( A  \  { B } ) )
65 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
6665adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
67 simpl3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  B  e.  A )
6867adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  B  e.  A )
69 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  f : ( om 1o )
-1-1-> A )
7069adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  f :
( om 1o ) -1-1-> A
)
71 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  -.  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )
7271neqned 2354 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ( f `  (inr `  (/) ) )  =/=  B )
73 eqid 2177 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `  (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )
7466, 68, 70, 72, 73difinfsnlem 7098 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
7558mptex 5743 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )  e.  _V
76 f1eq1 5417 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( a  e. 
om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )  ->  (
g : om -1-1-> ( A  \  { B } )  <->  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
7775, 76spcev 2833 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `  (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
7874, 77syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
79 f1f 5422 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( om 1o )
-1-1-> A  ->  f :
( om 1o ) --> A )
8069, 79syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  f : ( om 1o ) --> A )
8132a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) )
8280, 81ffvelcdmd 5653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (
f `  (inr `  (/) ) )  e.  A )
8382, 67jca 306 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (
( f `  (inr `  (/) ) )  e.  A  /\  B  e.  A
) )
84 eqeq12 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( f `
 (inr `  (/) ) )  /\  y  =  B )  ->  ( x  =  y  <->  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8584dcbid 838 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( f `
 (inr `  (/) ) )  /\  y  =  B )  ->  (DECID  x  =  y 
<-> DECID  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8685rspc2gv 2854 . . . . . 6  |-  ( ( ( f `  (inr `  (/) ) )  e.  A  /\  B  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  -> DECID 
( f `  (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8783, 65, 86sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  -> DECID  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )
88 exmiddc 836 . . . . 5  |-  (DECID  ( f `
 (inr `  (/) ) )  =  B  ->  (
( f `  (inr `  (/) ) )  =  B  \/  -.  ( f `
 (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8987, 88syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (
( f `  (inr `  (/) ) )  =  B  \/  -.  ( f `
 (inr `  (/) ) )  =  B ) )
9064, 78, 89mpjaodan 798 . . 3  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
916, 90exlimddv 1898 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  E. g  g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
92 reldom 6745 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
9392brrelex2i 4671 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
94 difexg 4145 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  \  { B }
)  e.  _V )
9593, 94syl 14 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  \  { B } )  e.  _V )
96953ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  ( A  \  { B } )  e.  _V )
97 brdomg 6748 . . 3  |-  ( ( A  \  { B } )  e.  _V  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  { B }
)  <->  E. g  g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
9896, 97syl 14 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  { B }
)  <->  E. g  g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
9991, 98mpbird 167 1  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  om  ~<_  ( A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148    =/= wne 2347   A.wral 2455   _Vcvv 2738    \ cdif 3127    C_ wss 3130   (/)c0 3423   ifcif 3535   {csn 3593   class class class wbr 4004    |-> cmpt 4065   omcom 4590   ran crn 4628    |` cres 4629    o. ccom 4631    Fn wfn 5212   -->wf 5213   -1-1->wf1 5214   ` cfv 5217   1oc1o 6410    ~~ cen 6738    ~<_ cdom 6739   ⊔ cdju 7036  inlcinl 7044  inrcinr 7045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-dju 7037  df-inl 7046  df-inr 7047  df-case 7083
This theorem is referenced by:  difinfinf  7100
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