Theorem difinfsn 6937

Description: An infinite set minus one element is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
difinfsn	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ ( A \ { B } ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem difinfsn

Dummy variables a f g n s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omp1eom 6932	. . . . 5 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om
2		simp2 965	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ A )
3		endomtr 6638	. . . . 5 |- ( ( ( om ⊔ 1o ) ~~ om /\ om ~<_ A ) -> ( om ⊔ 1o ) ~<_ A )
4	1, 2, 3	sylancr 408	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( om ⊔ 1o ) ~<_ A )
5		brdomi 6597	. . . 4 |- ( ( om ⊔ 1o ) ~<_ A -> E. f f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> E. f f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
7		inlresf1 6898	. . . . . . . 8 |- (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o )
8		f1co 5298	. . . . . . . 8 |- ( ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A /\ (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o ) ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
9	7, 8	mpan2 419	. . . . . . 7 |- ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
10	9	ad2antlr 478	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
11		f1f 5286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> A )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> A )
13	12	frnd 5240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ A )
14	13	sselda 3063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> s e. A )
15		simpllr 506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
16		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
17		f1f 5286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o ) -> (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o ) )
18	7, 17	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o )
19		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> n e. om )
20		fvco3 5446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) )
21	18, 19, 20	sylancr 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) )
22	19	fvresd 5400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( (inl |` om ) ` n ) = (inl ` n ) )
23	22	fveq2d 5379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
24	21, 23	eqtrd 2147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
25	24	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
26	15, 16, 25	3eqtr2rd 2154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) )
27		simp-4r 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
28		djulcl 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. om -> (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) )
29	28	ad2antlr 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) )
30		0lt1o 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. 1o
31		djurcl 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
32	30, 31	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o )
33	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
34		f1veqaeq 5624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A /\ ( (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) /\ (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) ) ) -> ( ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) ) )
35	27, 29, 33, 34	syl12anc 1197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) ) )
36	26, 35	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) )
37	19	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> n e. om )
38		djune 6915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. om /\ (/) e. 1o ) -> (inl ` n ) =/= (inr ` (/) ) )
39	37, 30, 38	sylancl 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) =/= (inr ` (/) ) )
40	39	neneqd 2303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> -. (inl ` n ) = (inr ` (/) ) )
41	36, 40	pm2.65da 633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
42	41	ralrimiva 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
43	12	ffnd 5231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) Fn om )
44		eqeq1 2121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) -> ( s = B <-> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
45	44	notbid 639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) -> ( -. s = B <-> -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
46	45	ralrn 5512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) Fn om -> ( A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B <-> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
47	43, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B <-> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
48	42, 47	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B )
49	48	r19.21bi 2494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> -. s = B )
50		velsn 3510	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. { B } <-> s = B )
51	49, 50	sylnibr 649	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> -. s e. { B } )
52	14, 51	eldifd 3047	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> s e. ( A \ { B } ) )
53	52	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -> s e. ( A \ { B } ) ) )
54	53	ssrdv 3069	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ ( A \ { B } ) )
55		f1ssr 5293	. . . . . 6 |- ( ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A /\ ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ ( A \ { B } ) ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
56	10, 54, 55	syl2anc 406	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
57		f1f 5286	. . . . . . 7 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> ( A \ { B } ) )
58		omex 4467	. . . . . . 7 |- om e. _V
59		fex 5601	. . . . . . 7 |- ( ( ( f o. (inl |` om ) ) : om --> ( A \ { B } ) /\ om e. _V ) -> ( f o. (inl |` om ) ) e. _V )
60	57, 58, 59	sylancl 407	. . . . . 6 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> ( f o. (inl |` om ) ) e. _V )
61		f1eq1 5281	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. (inl |` om ) ) -> ( g : om -1-1-> ( A \ { B } ) <-> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
62	61	spcegv 2745	. . . . . 6 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) e. _V -> ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
63	60, 62	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
64	56, 63	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
65		simpl1 967	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
66	65	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
67		simpl3 969	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> B e. A )
68	67	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> B e. A )
69		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
70	69	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
71		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
72	71	neqned 2289	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) =/= B )
73		eqid 2115	. . . . . 6 |- ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) = ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) )
74	66, 68, 70, 72, 73	difinfsnlem 6936	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
75	58	mptex 5600	. . . . . 6 |- ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) e. _V
76		f1eq1 5281	. . . . . 6 |- ( g = ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) -> ( g : om -1-1-> ( A \ { B } ) <-> ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
77	75, 76	spcev 2751	. . . . 5 |- ( ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
78	74, 77	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
79		f1f 5286	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A -> f : ( om ⊔ 1o ) --> A )
80	69, 79	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> f : ( om ⊔ 1o ) --> A )
81	32	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
82	80, 81	ffvelrnd 5510	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A )
83	82, 67	jca 302	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A /\ B e. A ) )
84		eqeq12 2127	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( f ` (inr ` (/) ) ) /\ y = B ) -> ( x = y <-> ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
85	84	dcbid 806	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( f ` (inr ` (/) ) ) /\ y = B ) -> (DECID x = y <-> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
86	85	rspc2gv 2771	. . . . . 6 |- ( ( ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A /\ B e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
87	83, 65, 86	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
88		exmiddc 804	. . . . 5 |- (DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) = B \/ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
89	87, 88	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) = B \/ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
90	64, 78, 89	mpjaodan 770	. . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
91	6, 90	exlimddv 1852	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
92		reldom 6593	. . . . . 6 |- Rel ~<_
93	92	brrelex2i 4543	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
94		difexg 4029	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A \ { B } ) e. _V )
95	93, 94	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( A \ { B } ) e. _V )
96	95	3ad2ant2 986	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( A \ { B } ) e. _V )
97		brdomg 6596	. . 3 |- ( ( A \ { B } ) e. _V -> ( om ~<_ ( A \ { B } ) <-> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
98	96, 97	syl 14	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( om ~<_ ( A \ { B } ) <-> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
99	91, 98	mpbird 166	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ ( A \ { B } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 680  DECID wdc 802   /\ w3a 945   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   =/= wne 2282   A.wral 2390   _Vcvv 2657   \ cdif 3034   C_ wss 3037   (/)c0 3329   ifcif 3440   {csn 3493   class class class wbr 3895   |-> cmpt 3949   omcom 4464   ran crn 4500   |` cres 4501   o. ccom 4503   Fn wfn 5076   -->wf 5077   -1-1->wf1 5078   ` cfv 5081   1oc1o 6260   ~~ cen 6586   ~<_ cdom 6587   ⊔ cdju 6874  inlcinl 6882  inrcinr 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-1o 6267  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-dju 6875  df-inl 6884  df-inr 6885  df-case 6921

This theorem is referenced by:  difinfinf  6938