Theorem difinfsn 7298

Description: An infinite set minus one element is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
difinfsn	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ ( A \ { B } ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem difinfsn

Dummy variables a f g n s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omp1eom 7293	. . . . 5 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om
2		simp2 1024	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ A )
3		endomtr 6963	. . . . 5 |- ( ( ( om ⊔ 1o ) ~~ om /\ om ~<_ A ) -> ( om ⊔ 1o ) ~<_ A )
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( om ⊔ 1o ) ~<_ A )
5		brdomi 6919	. . . 4 |- ( ( om ⊔ 1o ) ~<_ A -> E. f f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> E. f f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
7		inlresf1 7259	. . . . . . . 8 |- (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o )
8		f1co 5554	. . . . . . . 8 |- ( ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A /\ (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o ) ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
9	7, 8	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
10	9	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
11		f1f 5542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> A )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> A )
13	12	frnd 5492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ A )
14	13	sselda 3227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> s e. A )
15		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
17		f1f 5542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o ) -> (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o ) )
18	7, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o )
19		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> n e. om )
20		fvco3 5717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) )
21	18, 19, 20	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) )
22	19	fvresd 5664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( (inl |` om ) ` n ) = (inl ` n ) )
23	22	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
24	21, 23	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
25	24	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
26	15, 16, 25	3eqtr2rd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) )
27		simp-4r 544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
28		djulcl 7249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. om -> (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) )
29	28	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) )
30		0lt1o 6607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. 1o
31		djurcl 7250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o )
33	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
34		f1veqaeq 5909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A /\ ( (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) /\ (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) ) ) -> ( ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) ) )
35	27, 29, 33, 34	syl12anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) ) )
36	26, 35	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) )
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> n e. om )
38		djune 7276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. om /\ (/) e. 1o ) -> (inl ` n ) =/= (inr ` (/) ) )
39	37, 30, 38	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) =/= (inr ` (/) ) )
40	39	neneqd 2423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> -. (inl ` n ) = (inr ` (/) ) )
41	36, 40	pm2.65da 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
42	41	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
43	12	ffnd 5483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) Fn om )
44		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) -> ( s = B <-> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
45	44	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) -> ( -. s = B <-> -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
46	45	ralrn 5785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) Fn om -> ( A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B <-> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
47	43, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B <-> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
48	42, 47	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B )
49	48	r19.21bi 2620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> -. s = B )
50		velsn 3686	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. { B } <-> s = B )
51	49, 50	sylnibr 683	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> -. s e. { B } )
52	14, 51	eldifd 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> s e. ( A \ { B } ) )
53	52	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -> s e. ( A \ { B } ) ) )
54	53	ssrdv 3233	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ ( A \ { B } ) )
55		f1ssr 5549	. . . . . 6 |- ( ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A /\ ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ ( A \ { B } ) ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
56	10, 54, 55	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
57		f1f 5542	. . . . . . 7 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> ( A \ { B } ) )
58		omex 4691	. . . . . . 7 |- om e. _V
59		fex 5882	. . . . . . 7 |- ( ( ( f o. (inl |` om ) ) : om --> ( A \ { B } ) /\ om e. _V ) -> ( f o. (inl |` om ) ) e. _V )
60	57, 58, 59	sylancl 413	. . . . . 6 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> ( f o. (inl |` om ) ) e. _V )
61		f1eq1 5537	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. (inl |` om ) ) -> ( g : om -1-1-> ( A \ { B } ) <-> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
62	61	spcegv 2894	. . . . . 6 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) e. _V -> ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
63	60, 62	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
64	56, 63	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
65		simpl1 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
66	65	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
67		simpl3 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> B e. A )
68	67	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> B e. A )
69		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
70	69	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
71		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
72	71	neqned 2409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) =/= B )
73		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) = ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) )
74	66, 68, 70, 72, 73	difinfsnlem 7297	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
75	58	mptex 5879	. . . . . 6 |- ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) e. _V
76		f1eq1 5537	. . . . . 6 |- ( g = ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) -> ( g : om -1-1-> ( A \ { B } ) <-> ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
77	75, 76	spcev 2901	. . . . 5 |- ( ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
78	74, 77	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
79		f1f 5542	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A -> f : ( om ⊔ 1o ) --> A )
80	69, 79	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> f : ( om ⊔ 1o ) --> A )
81	32	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
82	80, 81	ffvelcdmd 5783	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A )
83	82, 67	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A /\ B e. A ) )
84		eqeq12 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( f ` (inr ` (/) ) ) /\ y = B ) -> ( x = y <-> ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
85	84	dcbid 845	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( f ` (inr ` (/) ) ) /\ y = B ) -> (DECID x = y <-> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
86	85	rspc2gv 2922	. . . . . 6 |- ( ( ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A /\ B e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
87	83, 65, 86	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
88		exmiddc 843	. . . . 5 |- (DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) = B \/ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
89	87, 88	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) = B \/ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
90	64, 78, 89	mpjaodan 805	. . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
91	6, 90	exlimddv 1947	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
92		reldom 6913	. . . . . 6 |- Rel ~<_
93	92	brrelex2i 4770	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
94		difexg 4231	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A \ { B } ) e. _V )
95	93, 94	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( A \ { B } ) e. _V )
96	95	3ad2ant2 1045	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( A \ { B } ) e. _V )
97		brdomg 6918	. . 3 |- ( ( A \ { B } ) e. _V -> ( om ~<_ ( A \ { B } ) <-> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
98	96, 97	syl 14	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( om ~<_ ( A \ { B } ) <-> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
99	91, 98	mpbird 167	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ ( A \ { B } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   omcom 4688   ran crn 4726   |` cres 4727   o. ccom 4729   Fn wfn 5321   -->wf 5322   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   1oc1o 6574   ~~ cen 6906   ~<_ cdom 6907   ⊔ cdju 7235  inlcinl 7243  inrcinr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-dju 7236  df-inl 7245  df-inr 7246  df-case 7282

This theorem is referenced by:  difinfinf  7299