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Theorem difinfsn 6992
Description: An infinite set minus one element is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
difinfsn  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  om  ~<_  ( A  \  { B } ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B, y

Proof of Theorem difinfsn
Dummy variables  a  f  g  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omp1eom 6987 . . . . 5  |-  ( om 1o )  ~~  om
2 simp2 983 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  om  ~<_  A )
3 endomtr 6691 . . . . 5  |-  ( ( ( om 1o )  ~~  om 
/\  om  ~<_  A )  ->  ( om 1o )  ~<_  A )
41, 2, 3sylancr 411 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  ( om 1o )  ~<_  A )
5 brdomi 6650 . . . 4  |-  ( ( om 1o )  ~<_  A  ->  E. f  f :
( om 1o ) -1-1-> A
)
64, 5syl 14 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  E. f  f : ( om 1o ) -1-1-> A
)
7 inlresf1 6953 . . . . . . . 8  |-  (inl  |`  om ) : om -1-1-> ( om 1o )
8 f1co 5347 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : ( om 1o ) -1-1-> A  /\  (inl  |` 
om ) : om -1-1-> ( om 1o ) )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> A )
97, 8mpan2 422 . . . . . . 7  |-  ( f : ( om 1o )
-1-1-> A  ->  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) : om -1-1-> A )
109ad2antlr 481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> A )
11 f1f 5335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> A  ->  ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om --> A )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om --> A )
1312frnd 5289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  C_  A )
1413sselda 3101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  s  e.  A )
15 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )
16 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( (
f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  B )
17 f1f 5335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (inl  |`  om ) : om -1-1-> ( om 1o )  ->  (inl  |` 
om ) : om --> ( om 1o ) )
187, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (inl  |`  om ) : om --> ( om 1o )
19 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  n  e.  om )
20 fvco3 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (inl  |`  om ) : om --> ( om 1o )  /\  n  e.  om )  ->  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  ( f `  ( (inl  |`  om ) `  n ) ) )
2118, 19, 20sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  ( f `  ( (inl  |`  om ) `  n
) ) )
2219fvresd 5453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
(inl  |`  om ) `  n )  =  (inl
`  n ) )
2322fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
f `  ( (inl  |` 
om ) `  n
) )  =  ( f `  (inl `  n ) ) )
2421, 23eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  ( f `  (inl `  n ) ) )
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( (
f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  ( f `  (inl `  n ) ) )
2615, 16, 253eqtr2rd 2180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( f `  (inl `  n )
)  =  ( f `
 (inr `  (/) ) ) )
27 simp-4r 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  f :
( om 1o ) -1-1-> A
)
28 djulcl 6943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  om  ->  (inl `  n )  e.  ( om 1o ) )
2928ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inl `  n
)  e.  ( om 1o ) )
30 0lt1o 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  1o
31 djurcl 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  1o  ->  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) )
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o )
3332a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) )
34 f1veqaeq 5677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( om 1o ) -1-1-> A  /\  (
(inl `  n )  e.  ( om 1o )  /\  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) ) )  ->  ( ( f `
 (inl `  n
) )  =  ( f `  (inr `  (/) ) )  ->  (inl `  n )  =  (inr
`  (/) ) ) )
3527, 29, 33, 34syl12anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  ( (
f `  (inl `  n
) )  =  ( f `  (inr `  (/) ) )  ->  (inl `  n )  =  (inr
`  (/) ) ) )
3626, 35mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inl `  n
)  =  (inr `  (/) ) )
3719adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  n  e.  om )
38 djune 6970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  om  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
(inl `  n )  =/=  (inr `  (/) ) )
3937, 30, 38sylancl 410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  (inl `  n
)  =/=  (inr `  (/) ) )
4039neneqd 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  /\  (
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) `  n )  =  B )  ->  -.  (inl `  n )  =  (inr
`  (/) ) )
4136, 40pm2.65da 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  n  e. 
om )  ->  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B )
4241ralrimiva 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  A. n  e.  om  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B )
4312ffnd 5280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) )  Fn 
om )
44 eqeq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  ->  ( s  =  B  <-> 
( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B ) )
4544notbid 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  ->  ( -.  s  =  B  <->  -.  ( (
f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  B ) )
4645ralrn 5565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
)  Fn  om  ->  ( A. s  e.  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  -.  s  =  B  <->  A. n  e.  om  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) `  n )  =  B ) )
4743, 46syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( A. s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) )  -.  s  =  B  <->  A. n  e.  om  -.  ( ( f  o.  (inl  |`  om ) ) `
 n )  =  B ) )
4842, 47mpbird 166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  A. s  e.  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  -.  s  =  B )
4948r19.21bi 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  -.  s  =  B )
50 velsn 3548 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  { B }  <->  s  =  B )
5149, 50sylnibr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  -.  s  e.  { B } )
5214, 51eldifd 3085 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o ) -1-1-> A )  /\  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  /\  s  e. 
ran  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) )  ->  s  e.  ( A  \  { B } ) )
5352ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( s  e.  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  -> 
s  e.  ( A 
\  { B }
) ) )
5453ssrdv 3107 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ran  ( f  o.  (inl  |` 
om ) )  C_  ( A  \  { B } ) )
55 f1ssr 5342 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> A  /\  ran  (
f  o.  (inl  |`  om )
)  C_  ( A  \  { B } ) )  ->  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) : om -1-1-> ( A 
\  { B }
) )
5610, 54, 55syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
57 f1f 5335 . . . . . . 7  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  (
f  o.  (inl  |`  om )
) : om --> ( A 
\  { B }
) )
58 omex 4514 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
59 fex 5654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om --> ( A  \  { B } )  /\  om  e.  _V )  -> 
( f  o.  (inl  |` 
om ) )  e. 
_V )
6057, 58, 59sylancl 410 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  (
f  o.  (inl  |`  om )
)  e.  _V )
61 f1eq1 5330 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  o.  (inl  |`  om ) )  ->  ( g : om -1-1-> ( A  \  { B } )  <->  ( f  o.  (inl  |`  om ) ) : om -1-1-> ( A 
\  { B }
) ) )
6261spcegv 2777 . . . . . 6  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
)  e.  _V  ->  ( ( f  o.  (inl  |` 
om ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  E. g  g : om
-1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
6360, 62mpcom 36 . . . . 5  |-  ( ( f  o.  (inl  |`  om )
) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
6456, 63syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  E. g  g : om
-1-1-> ( A  \  { B } ) )
65 simpl1 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
6665adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
67 simpl3 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  B  e.  A )
6867adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  B  e.  A )
69 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  f : ( om 1o )
-1-1-> A )
7069adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  f :
( om 1o ) -1-1-> A
)
71 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  -.  (
f `  (inr `  (/) ) )  =  B )
7271neqned 2316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ( f `  (inr `  (/) ) )  =/=  B )
73 eqid 2140 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )  =  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `  (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )
7466, 68, 70, 72, 73difinfsnlem 6991 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
7558mptex 5653 . . . . . 6  |-  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )  e.  _V
76 f1eq1 5330 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( a  e. 
om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) )  ->  (
g : om -1-1-> ( A  \  { B } )  <->  ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `
 (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
7775, 76spcev 2783 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  om  |->  if ( ( f `  (inl `  a ) )  =  B ,  ( f `  (inr `  (/) ) ) ,  ( f `  (inl `  a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A  \  { B } )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
7874, 77syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  /\  -.  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
79 f1f 5335 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( om 1o )
-1-1-> A  ->  f :
( om 1o ) --> A )
8069, 79syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  f : ( om 1o ) --> A )
8132a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (inr `  (/) )  e.  ( om 1o ) )
8280, 81ffvelrnd 5563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (
f `  (inr `  (/) ) )  e.  A )
8382, 67jca 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (
( f `  (inr `  (/) ) )  e.  A  /\  B  e.  A
) )
84 eqeq12 2153 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( f `
 (inr `  (/) ) )  /\  y  =  B )  ->  ( x  =  y  <->  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8584dcbid 824 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( f `
 (inr `  (/) ) )  /\  y  =  B )  ->  (DECID  x  =  y 
<-> DECID  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8685rspc2gv 2804 . . . . . 6  |-  ( ( ( f `  (inr `  (/) ) )  e.  A  /\  B  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  -> DECID 
( f `  (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8783, 65, 86sylc 62 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  -> DECID  ( f `  (inr `  (/) ) )  =  B )
88 exmiddc 822 . . . . 5  |-  (DECID  ( f `
 (inr `  (/) ) )  =  B  ->  (
( f `  (inr `  (/) ) )  =  B  \/  -.  ( f `
 (inr `  (/) ) )  =  B ) )
8987, 88syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  (
( f `  (inr `  (/) ) )  =  B  \/  -.  ( f `
 (inr `  (/) ) )  =  B ) )
9064, 78, 89mpjaodan 788 . . 3  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  /\  f : ( om 1o )
-1-1-> A )  ->  E. g 
g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
916, 90exlimddv 1871 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  E. g  g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) )
92 reldom 6646 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
9392brrelex2i 4590 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
94 difexg 4076 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  \  { B }
)  e.  _V )
9593, 94syl 14 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  \  { B } )  e.  _V )
96953ad2ant2 1004 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  ( A  \  { B } )  e.  _V )
97 brdomg 6649 . . 3  |-  ( ( A  \  { B } )  e.  _V  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  { B }
)  <->  E. g  g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
9896, 97syl 14 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  ( om  ~<_  ( A 
\  { B }
)  <->  E. g  g : om -1-1-> ( A  \  { B } ) ) )
9991, 98mpbird 166 1  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  B  e.  A )  ->  om  ~<_  ( A  \  { B } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    /\ w3a 963    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481    =/= wne 2309   A.wral 2417   _Vcvv 2689    \ cdif 3072    C_ wss 3075   (/)c0 3367   ifcif 3478   {csn 3531   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996   omcom 4511   ran crn 4547    |` cres 4548    o. ccom 4550    Fn wfn 5125   -->wf 5126   -1-1->wf1 5127   ` cfv 5130   1oc1o 6313    ~~ cen 6639    ~<_ cdom 6640   ⊔ cdju 6929  inlcinl 6937  inrcinr 6938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-1o 6320  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-dju 6930  df-inl 6939  df-inr 6940  df-case 6976
This theorem is referenced by:  difinfinf  6993
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