Theorem difinfsn 7065

Description: An infinite set minus one element is infinite. We require that the set has decidable equality. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
difinfsn	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ ( A \ { B } ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem difinfsn

Dummy variables a f g n s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omp1eom 7060	. . . . 5 |- ( om ⊔ 1o ) ~~ om
2		simp2 988	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ A )
3		endomtr 6756	. . . . 5 |- ( ( ( om ⊔ 1o ) ~~ om /\ om ~<_ A ) -> ( om ⊔ 1o ) ~<_ A )
4	1, 2, 3	sylancr 411	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( om ⊔ 1o ) ~<_ A )
5		brdomi 6715	. . . 4 |- ( ( om ⊔ 1o ) ~<_ A -> E. f f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> E. f f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
7		inlresf1 7026	. . . . . . . 8 |- (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o )
8		f1co 5405	. . . . . . . 8 |- ( ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A /\ (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o ) ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
9	7, 8	mpan2 422	. . . . . . 7 |- ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
10	9	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A )
11		f1f 5393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> A )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> A )
13	12	frnd 5347	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ A )
14	13	sselda 3142	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> s e. A )
15		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
16		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
17		f1f 5393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( (inl |` om ) : om -1-1-> ( om ⊔ 1o ) -> (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o ) )
18	7, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o )
19		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> n e. om )
20		fvco3 5557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( (inl |` om ) : om --> ( om ⊔ 1o ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) )
21	18, 19, 20	sylancr 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) )
22	19	fvresd 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( (inl |` om ) ` n ) = (inl ` n ) )
23	22	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( f ` ( (inl |` om ) ` n ) ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
24	21, 23	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = ( f ` (inl ` n ) ) )
26	15, 16, 25	3eqtr2rd 2205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) )
27		simp-4r 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
28		djulcl 7016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. om -> (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) )
29	28	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) )
30		0lt1o 6408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. 1o
31		djurcl 7017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o )
33	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
34		f1veqaeq 5737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A /\ ( (inl ` n ) e. ( om ⊔ 1o ) /\ (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) ) ) -> ( ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) ) )
35	27, 29, 33, 34	syl12anc 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> ( ( f ` (inl ` n ) ) = ( f ` (inr ` (/) ) ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) ) )
36	26, 35	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) = (inr ` (/) ) )
37	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> n e. om )
38		djune 7043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. om /\ (/) e. 1o ) -> (inl ` n ) =/= (inr ` (/) ) )
39	37, 30, 38	sylancl 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> (inl ` n ) =/= (inr ` (/) ) )
40	39	neneqd 2357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) /\ ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) -> -. (inl ` n ) = (inr ` (/) ) )
41	36, 40	pm2.65da 651	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ n e. om ) -> -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
42	41	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B )
43	12	ffnd 5338	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) Fn om )
44		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) -> ( s = B <-> ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
45	44	notbid 657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) -> ( -. s = B <-> -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
46	45	ralrn 5623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) Fn om -> ( A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B <-> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
47	43, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B <-> A. n e. om -. ( ( f o. (inl |` om ) ) ` n ) = B ) )
48	42, 47	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -. s = B )
49	48	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> -. s = B )
50		velsn 3593	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. { B } <-> s = B )
51	49, 50	sylnibr 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> -. s e. { B } )
52	14, 51	eldifd 3126	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) /\ s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) ) -> s e. ( A \ { B } ) )
53	52	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( s e. ran ( f o. (inl |` om ) ) -> s e. ( A \ { B } ) ) )
54	53	ssrdv 3148	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ ( A \ { B } ) )
55		f1ssr 5400	. . . . . 6 |- ( ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> A /\ ran ( f o. (inl |` om ) ) C_ ( A \ { B } ) ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
56	10, 54, 55	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
57		f1f 5393	. . . . . . 7 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> ( f o. (inl |` om ) ) : om --> ( A \ { B } ) )
58		omex 4570	. . . . . . 7 |- om e. _V
59		fex 5714	. . . . . . 7 |- ( ( ( f o. (inl |` om ) ) : om --> ( A \ { B } ) /\ om e. _V ) -> ( f o. (inl |` om ) ) e. _V )
60	57, 58, 59	sylancl 410	. . . . . 6 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> ( f o. (inl |` om ) ) e. _V )
61		f1eq1 5388	. . . . . . 7 |- ( g = ( f o. (inl |` om ) ) -> ( g : om -1-1-> ( A \ { B } ) <-> ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
62	61	spcegv 2814	. . . . . 6 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) e. _V -> ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
63	60, 62	mpcom 36	. . . . 5 |- ( ( f o. (inl |` om ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
64	56, 63	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
65		simpl1 990	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
66	65	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
67		simpl3 992	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> B e. A )
68	67	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> B e. A )
69		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
70	69	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A )
71		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
72	71	neqned 2343	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) =/= B )
73		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) = ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) )
74	66, 68, 70, 72, 73	difinfsnlem 7064	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
75	58	mptex 5711	. . . . . 6 |- ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) e. _V
76		f1eq1 5388	. . . . . 6 |- ( g = ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) -> ( g : om -1-1-> ( A \ { B } ) <-> ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
77	75, 76	spcev 2821	. . . . 5 |- ( ( a e. om |-> if ( ( f ` (inl ` a ) ) = B , ( f ` (inr ` (/) ) ) , ( f ` (inl ` a ) ) ) ) : om -1-1-> ( A \ { B } ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
78	74, 77	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) /\ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
79		f1f 5393	. . . . . . . . 9 |- ( f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A -> f : ( om ⊔ 1o ) --> A )
80	69, 79	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> f : ( om ⊔ 1o ) --> A )
81	32	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> (inr ` (/) ) e. ( om ⊔ 1o ) )
82	80, 81	ffvelrnd 5621	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A )
83	82, 67	jca 304	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A /\ B e. A ) )
84		eqeq12 2178	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( f ` (inr ` (/) ) ) /\ y = B ) -> ( x = y <-> ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
85	84	dcbid 828	. . . . . . 7 |- ( ( x = ( f ` (inr ` (/) ) ) /\ y = B ) -> (DECID x = y <-> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
86	85	rspc2gv 2842	. . . . . 6 |- ( ( ( f ` (inr ` (/) ) ) e. A /\ B e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
87	83, 65, 86	sylc 62	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B )
88		exmiddc 826	. . . . 5 |- (DECID ( f ` (inr ` (/) ) ) = B -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) = B \/ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
89	87, 88	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> ( ( f ` (inr ` (/) ) ) = B \/ -. ( f ` (inr ` (/) ) ) = B ) )
90	64, 78, 89	mpjaodan 788	. . 3 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) /\ f : ( om ⊔ 1o ) -1-1-> A ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
91	6, 90	exlimddv 1886	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) )
92		reldom 6711	. . . . . 6 |- Rel ~<_
93	92	brrelex2i 4648	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
94		difexg 4123	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A \ { B } ) e. _V )
95	93, 94	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( A \ { B } ) e. _V )
96	95	3ad2ant2 1009	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( A \ { B } ) e. _V )
97		brdomg 6714	. . 3 |- ( ( A \ { B } ) e. _V -> ( om ~<_ ( A \ { B } ) <-> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
98	96, 97	syl 14	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> ( om ~<_ ( A \ { B } ) <-> E. g g : om -1-1-> ( A \ { B } ) ) )
99	91, 98	mpbird 166	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ B e. A ) -> om ~<_ ( A \ { B } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   =/= wne 2336   A.wral 2444   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   omcom 4567   ran crn 4605   |` cres 4606   o. ccom 4608   Fn wfn 5183   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   ` cfv 5188   1oc1o 6377   ~~ cen 6704   ~<_ cdom 6705   ⊔ cdju 7002  inlcinl 7010  inrcinr 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-dju 7003  df-inl 7012  df-inr 7013  df-case 7049

This theorem is referenced by:  difinfinf  7066