Theorem seqovcd 10689

Description: A closure law for the recursive sequence builder. This is a lemma for theorems such as seqf2 10690 and seq1cd 10691 and is unlikely to be needed once such theorems are proved. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqovcd.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
seqovcd.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )

Assertion

Ref	Expression
seqovcd	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, w, z   x, C, y, w, z   x, D, y   x, F, w, z   x, M, w, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   D( z, w)   F( y)   M( y)

Proof of Theorem seqovcd

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
2		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> y e. C )
3		seqovcd.pl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
4	3	ralrimivva 2612	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
5		oveq1 6008	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x .+ y ) = ( a .+ y ) )
6	5	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( a .+ y ) e. C ) )
7		oveq2 6009	. . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( a .+ y ) = ( a .+ b ) )
8	7	eleq1d 2298	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( a .+ y ) e. C <-> ( a .+ b ) e. C ) )
9	6, 8	cbvral2v 2778	. . . . . 6 |- ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C <-> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
10	4, 9	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
12		fveq2 5627	. . . . . . 7 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
13	12	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. D <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) )
14		seqovcd.f	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
15	14	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D )
16		fveq2 5627	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
17	16	eleq1d 2298	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. D <-> ( F ` a ) e. D ) )
18	17	cbvralv 2765	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
19	15, 18	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
21		eluzp1p1 9748	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
22	1, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
23	13, 20, 22	rspcdva 2912	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D )
24		oveq12 6010	. . . . . . 7 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( a .+ b ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
25	24	eleq1d 2298	. . . . . 6 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( a .+ b ) e. C <-> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
26	25	rspc2gv 2919	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
27	2, 23, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
28	11, 27	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C )
29		fvoveq1 6024	. . . . 5 |- ( z = x -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
30	29	oveq2d 6017	. . . 4 |- ( z = x -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
31		oveq1 6008	. . . 4 |- ( w = y -> ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
32		eqid 2229	. . . 4 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
33	30, 31, 32	ovmpog 6139	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C /\ ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
34	1, 2, 28, 33	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
35	34, 28	eqeltrd 2306	1 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   e. cmpo 6003   1c1 8000   + caddc 8002   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  seqf2  10690  seq1cd  10691  seqp1cd  10692