Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqovcd Unicode version

Theorem seqovcd 10248
 Description: A closure law for the recursive sequence builder. This is a lemma for theorems such as seqf2 10249 and seq1cd 10250 and is unlikely to be needed once such theorems are proved. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seqovcd.f
seqovcd.pl
Assertion
Ref Expression
seqovcd
Distinct variable groups:   , ,,,   ,,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()

Proof of Theorem seqovcd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . . 3
2 simprr 521 . . 3
3 seqovcd.pl . . . . . . 7
43ralrimivva 2514 . . . . . 6
5 oveq1 5781 . . . . . . . 8
65eleq1d 2208 . . . . . . 7
7 oveq2 5782 . . . . . . . 8
87eleq1d 2208 . . . . . . 7
96, 8cbvral2v 2665 . . . . . 6
104, 9sylib 121 . . . . 5
1110adantr 274 . . . 4
12 fveq2 5421 . . . . . . 7
1312eleq1d 2208 . . . . . 6
14 seqovcd.f . . . . . . . . 9
1514ralrimiva 2505 . . . . . . . 8
16 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10
1716eleq1d 2208 . . . . . . . . 9
1817cbvralv 2654 . . . . . . . 8
1915, 18sylib 121 . . . . . . 7
2019adantr 274 . . . . . 6
21 eluzp1p1 9363 . . . . . . 7
221, 21syl 14 . . . . . 6
2313, 20, 22rspcdva 2794 . . . . 5
24 oveq12 5783 . . . . . . 7
2524eleq1d 2208 . . . . . 6
2625rspc2gv 2801 . . . . 5
272, 23, 26syl2anc 408 . . . 4
2811, 27mpd 13 . . 3
29 fvoveq1 5797 . . . . 5
3029oveq2d 5790 . . . 4
31 oveq1 5781 . . . 4
32 eqid 2139 . . . 4
3330, 31, 32ovmpog 5905 . . 3
341, 2, 28, 33syl3anc 1216 . 2
3534, 28eqeltrd 2216 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  cfv 5123  (class class class)co 5774   cmpo 5776  c1 7633   caddc 7635  cuz 9338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339 This theorem is referenced by:  seqf2  10249  seq1cd  10250  seqp1cd  10251
 Copyright terms: Public domain W3C validator