Theorem seqovcd 10538

Description: A closure law for the recursive sequence builder. This is a lemma for theorems such as seqf2 10539 and seq1cd 10540 and is unlikely to be needed once such theorems are proved. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqovcd.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
seqovcd.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )

Assertion

Ref	Expression
seqovcd	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, w, z   x, C, y, w, z   x, D, y   x, F, w, z   x, M, w, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   D( z, w)   F( y)   M( y)

Proof of Theorem seqovcd

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
2		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> y e. C )
3		seqovcd.pl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
4	3	ralrimivva 2576	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
5		oveq1 5925	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x .+ y ) = ( a .+ y ) )
6	5	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( a .+ y ) e. C ) )
7		oveq2 5926	. . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( a .+ y ) = ( a .+ b ) )
8	7	eleq1d 2262	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( a .+ y ) e. C <-> ( a .+ b ) e. C ) )
9	6, 8	cbvral2v 2739	. . . . . 6 |- ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C <-> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
10	4, 9	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
12		fveq2 5554	. . . . . . 7 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
13	12	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. D <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) )
14		seqovcd.f	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
15	14	ralrimiva 2567	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D )
16		fveq2 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
17	16	eleq1d 2262	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. D <-> ( F ` a ) e. D ) )
18	17	cbvralv 2726	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
19	15, 18	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
21		eluzp1p1 9618	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
22	1, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
23	13, 20, 22	rspcdva 2869	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D )
24		oveq12 5927	. . . . . . 7 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( a .+ b ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
25	24	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( a .+ b ) e. C <-> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
26	25	rspc2gv 2876	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
27	2, 23, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
28	11, 27	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C )
29		fvoveq1 5941	. . . . 5 |- ( z = x -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
30	29	oveq2d 5934	. . . 4 |- ( z = x -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
31		oveq1 5925	. . . 4 |- ( w = y -> ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
32		eqid 2193	. . . 4 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
33	30, 31, 32	ovmpog 6053	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C /\ ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
34	1, 2, 28, 33	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
35	34, 28	eqeltrd 2270	1 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   1c1 7873   + caddc 7875   ZZ>=cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  seqf2  10539  seq1cd  10540  seqp1cd  10541