Theorem seqovcd 10449

Description: A closure law for the recursive sequence builder. This is a lemma for theorems such as seqf2 10450 and seq1cd 10451 and is unlikely to be needed once such theorems are proved. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqovcd.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
seqovcd.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )

Assertion

Ref	Expression
seqovcd	|- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, w, z   x, C, y, w, z   x, D, y   x, F, w, z   x, M, w, z   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( z, w)   D( z, w)   F( y)   M( y)

Proof of Theorem seqovcd

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
2		simprr 531	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> y e. C )
3		seqovcd.pl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
4	3	ralrimivva 2559	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
5		oveq1 5876	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x .+ y ) = ( a .+ y ) )
6	5	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( x = a -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( a .+ y ) e. C ) )
7		oveq2 5877	. . . . . . . 8 |- ( y = b -> ( a .+ y ) = ( a .+ b ) )
8	7	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( y = b -> ( ( a .+ y ) e. C <-> ( a .+ b ) e. C ) )
9	6, 8	cbvral2v 2716	. . . . . 6 |- ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C <-> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
10	4, 9	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
11	10	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
12		fveq2 5511	. . . . . . 7 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
13	12	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. D <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) )
14		seqovcd.f	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
15	14	ralrimiva 2550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D )
16		fveq2 5511	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
17	16	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. D <-> ( F ` a ) e. D ) )
18	17	cbvralv 2703	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
19	15, 18	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
21		eluzp1p1 9542	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
22	1, 21	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
23	13, 20, 22	rspcdva 2846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D )
24		oveq12 5878	. . . . . . 7 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( a .+ b ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
25	24	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( a .+ b ) e. C <-> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
26	25	rspc2gv 2853	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
27	2, 23, 26	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
28	11, 27	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C )
29		fvoveq1 5892	. . . . 5 |- ( z = x -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
30	29	oveq2d 5885	. . . 4 |- ( z = x -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
31		oveq1 5876	. . . 4 |- ( w = y -> ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
32		eqid 2177	. . . 4 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
33	30, 31, 32	ovmpog 6003	. . 3 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C /\ ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
34	1, 2, 28, 33	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
35	34, 28	eqeltrd 2254	1 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871   1c1 7803   + caddc 7805   ZZ>=cuz 9517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518

This theorem is referenced by:  seqf2  10450  seq1cd  10451  seqp1cd  10452