Theorem rspc2v 2855

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1528	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2853	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2740

This theorem is referenced by:  rspc2va  2856  rspc3v  2858  disji2  3997  ontriexmidim  4522  wetriext  4577  f1veqaeq  5770  isorel  5809  oveqrspc2v  5902  fovcl  5980  caovclg  6027  caovcomg  6030  smoel  6301  dcdifsnid  6505  unfiexmid  6917  fiintim  6928  supmoti  6992  supsnti  7004  isotilem  7005  onntri35  7236  onntri45  7240  cauappcvgprlem1  7658  caucvgprlemnkj  7665  caucvgprlemnbj  7666  caucvgprprlemval  7687  ltordlem  8439  frecuzrdgrrn  10408  frec2uzrdg  10409  frecuzrdgrcl  10410  frecuzrdgrclt  10415  seq3caopr3  10481  seq3homo  10510  climcn2  11317  fprodcl2lem  11613  ennnfonelemim  12425  mhmlin  12858  issubg2m  13049  nsgbi  13064  issubrg2  13362  lmodlema  13382  islmodd  13383  rmodislmodlem  13440  rmodislmod  13441  inopn  13506  basis1  13550  basis2  13551  xmeteq0  13862  cncfi  14068  limccnp2lem  14148  logltb  14298  2sqlem8  14473  redcwlpo  14806  redc0  14808  reap0  14809