Theorem rspc2v 2924

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1577	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2922	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805

This theorem is referenced by:  rspc2va  2925  rspc3v  2927  disji2  4085  ontriexmidim  4626  wetriext  4681  f1veqaeq  5920  isorel  5959  oveqrspc2v  6055  fovcld  6136  caovclg  6185  caovcomg  6188  smoel  6509  dcdifsnid  6715  unfiexmid  7153  prfidceq  7163  fiintim  7166  supmoti  7252  supsnti  7264  isotilem  7265  onntri35  7515  onntri45  7519  cauappcvgprlem1  7939  caucvgprlemnkj  7946  caucvgprlemnbj  7947  caucvgprprlemval  7968  ltordlem  8721  frecuzrdgrrn  10733  frec2uzrdg  10734  frecuzrdgrcl  10735  frecuzrdgrclt  10740  seq3caopr3  10816  seq3homo  10852  seqhomog  10855  climcn2  11949  fprodcl2lem  12246  ennnfonelemim  13125  mhmlin  13630  issubg2m  13856  nsgbi  13871  ghmlin  13915  issubrng2  14305  issubrg2  14336  lmodlema  14388  islmodd  14389  rmodislmodlem  14446  rmodislmod  14447  rnglidlmcl  14576  inopn  14814  basis1  14858  basis2  14859  xmeteq0  15170  cncfi  15389  limccnp2lem  15487  logltb  15685  2sqlem8  15942  redcwlpo  16788  redc0  16790  reap0  16791