Theorem rspc2v 2890

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1551	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1551	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2888	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774

This theorem is referenced by:  rspc2va  2891  rspc3v  2893  disji2  4037  ontriexmidim  4571  wetriext  4626  f1veqaeq  5840  isorel  5879  oveqrspc2v  5973  fovcld  6052  caovclg  6101  caovcomg  6104  smoel  6388  dcdifsnid  6592  unfiexmid  7017  prfidceq  7027  fiintim  7030  supmoti  7097  supsnti  7109  isotilem  7110  onntri35  7351  onntri45  7355  cauappcvgprlem1  7774  caucvgprlemnkj  7781  caucvgprlemnbj  7782  caucvgprprlemval  7803  ltordlem  8557  frecuzrdgrrn  10555  frec2uzrdg  10556  frecuzrdgrcl  10557  frecuzrdgrclt  10562  seq3caopr3  10638  seq3homo  10674  seqhomog  10677  climcn2  11653  fprodcl2lem  11949  ennnfonelemim  12828  mhmlin  13332  issubg2m  13558  nsgbi  13573  ghmlin  13617  issubrng2  14005  issubrg2  14036  lmodlema  14087  islmodd  14088  rmodislmodlem  14145  rmodislmod  14146  rnglidlmcl  14275  inopn  14508  basis1  14552  basis2  14553  xmeteq0  14864  cncfi  15083  limccnp2lem  15181  logltb  15379  2sqlem8  15633  redcwlpo  16031  redc0  16033  reap0  16034