Theorem rspc2v 2943

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1581	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2941	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is referenced by:  rspc2va  2944  rspc3v  2946  disji2  4120  ontriexmidim  4667  wetriext  4722  f1veqaeq  5968  isorel  6007  oveqrspc2v  6105  fovcld  6186  caovclg  6235  caovcomg  6238  smoel  6564  dcdifsnid  6770  unfiexmid  7218  prfidceq  7228  fiintim  7231  supmoti  7326  supsnti  7338  isotilem  7339  onntri35  7589  onntri45  7593  cauappcvgprlem1  8019  caucvgprlemnkj  8026  caucvgprlemnbj  8027  caucvgprprlemval  8048  ltordlem  8803  frecuzrdgrrn  10826  frec2uzrdg  10827  frecuzrdgrcl  10828  frecuzrdgrclt  10833  seq3caopr3  10909  seq3homo  10945  seqhomog  10948  climcn2  12056  fprodcl2lem  12353  ennnfonelemim  13296  mhmlin  13754  issubg2m  13972  nsgbi  13987  ghmlin  14031  issubrng2  14494  issubrg2  14525  lmodlema  14604  islmodd  14605  rmodislmodlem  14662  rmodislmod  14663  rnglidlmcl  14792  inopn  15030  basis1  15074  basis2  15075  xmeteq0  15386  cncfi  15605  limccnp2lem  15703  logltb  15901  2sqlem8  16159  redcwlpo  17013  redc0  17015  reap0  17016