Theorem rspc2v 2854

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1528	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2852	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2739

This theorem is referenced by:  rspc2va  2855  rspc3v  2857  disji2  3996  ontriexmidim  4521  wetriext  4576  f1veqaeq  5769  isorel  5808  oveqrspc2v  5901  fovcl  5979  caovclg  6026  caovcomg  6029  smoel  6300  dcdifsnid  6504  unfiexmid  6916  fiintim  6927  supmoti  6991  supsnti  7003  isotilem  7004  onntri35  7235  onntri45  7239  cauappcvgprlem1  7657  caucvgprlemnkj  7664  caucvgprlemnbj  7665  caucvgprprlemval  7686  ltordlem  8438  frecuzrdgrrn  10407  frec2uzrdg  10408  frecuzrdgrcl  10409  frecuzrdgrclt  10414  seq3caopr3  10480  seq3homo  10509  climcn2  11316  fprodcl2lem  11612  ennnfonelemim  12424  mhmlin  12857  issubg2m  13047  nsgbi  13062  issubrg2  13360  lmodlema  13380  islmodd  13381  inopn  13473  basis1  13517  basis2  13518  xmeteq0  13829  cncfi  14035  limccnp2lem  14115  logltb  14265  2sqlem8  14440  redcwlpo  14773  redc0  14775  reap0  14776