Theorem rspc2v 2943

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1581	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2941	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823

This theorem is used by:  rspc2va  2944  rspc3v  2946  disji2  4122  ontriexmidim  4671  wetriext  4726  f1veqaeq  5978  isorel  6017  oveqrspc2v  6115  fovcld  6196  caovclg  6245  caovcomg  6248  smoel  6575  dcdifsnid  6781  unfiexmid  7229  prfidceq  7239  fiintim  7242  supmoti  7339  supsnti  7351  isotilem  7352  onntri35  7602  onntri45  7606  cauappcvgprlem1  8032  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprprlemval  8061  ltordlem  8817  frecuzrdgrrn  10866  frec2uzrdg  10867  frecuzrdgrcl  10868  frecuzrdgrclt  10873  seq3caopr3  10949  seq3homo  10985  seqhomog  10988  climcn2  12100  fprodcl2lem  12397  ennnfonelemim  13373  mhmlin  13833  issubg2m  14051  nsgbi  14066  ghmlin  14110  issubrng2  14627  issubrg2  14658  lmodlema  14737  islmodd  14738  rmodislmodlem  14796  rmodislmod  14797  rnglidlmcl  14926  inopn  15229  basis1  15273  basis2  15274  xmeteq0  15585  cncfi  15804  limccnp2lem  15902  logltb  16104  2sqlem8  16447  redcwlpo  17312  redc0  17314  reap0  17315