Theorem rspc2v 2797

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1508	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2795	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683

This theorem is referenced by:  rspc2va  2798  rspc3v  2800  disji2  3917  wetriext  4486  f1veqaeq  5663  isorel  5702  fovcl  5869  caovclg  5916  caovcomg  5919  smoel  6190  dcdifsnid  6393  unfiexmid  6799  fiintim  6810  supmoti  6873  supsnti  6885  isotilem  6886  cauappcvgprlem1  7460  caucvgprlemnkj  7467  caucvgprlemnbj  7468  caucvgprprlemval  7489  ltordlem  8237  frecuzrdgrrn  10174  frec2uzrdg  10175  frecuzrdgrcl  10176  frecuzrdgrclt  10181  seq3caopr3  10247  seq3homo  10276  climcn2  11071  ennnfonelemim  11926  inopn  12159  basis1  12203  basis2  12204  xmeteq0  12517  cncfi  12723  limccnp2lem  12803