Theorem rspc2v 2869

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1539	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2867	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-v 2754

This theorem is referenced by:  rspc2va  2870  rspc3v  2872  disji2  4011  ontriexmidim  4539  wetriext  4594  f1veqaeq  5791  isorel  5830  oveqrspc2v  5923  fovcld  6001  caovclg  6049  caovcomg  6052  smoel  6325  dcdifsnid  6529  unfiexmid  6946  fiintim  6957  supmoti  7022  supsnti  7034  isotilem  7035  onntri35  7266  onntri45  7270  cauappcvgprlem1  7688  caucvgprlemnkj  7695  caucvgprlemnbj  7696  caucvgprprlemval  7717  ltordlem  8469  frecuzrdgrrn  10439  frec2uzrdg  10440  frecuzrdgrcl  10441  frecuzrdgrclt  10446  seq3caopr3  10512  seq3homo  10541  climcn2  11349  fprodcl2lem  11645  ennnfonelemim  12475  mhmlin  12919  issubg2m  13128  nsgbi  13143  ghmlin  13187  issubrng2  13557  issubrg2  13588  lmodlema  13608  islmodd  13609  rmodislmodlem  13666  rmodislmod  13667  rnglidlmcl  13796  inopn  13963  basis1  14007  basis2  14008  xmeteq0  14319  cncfi  14525  limccnp2lem  14605  logltb  14755  2sqlem8  14931  redcwlpo  15265  redc0  15267  reap0  15268