Theorem rspc2v 2881

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1542	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2879	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765

This theorem is referenced by:  rspc2va  2882  rspc3v  2884  disji2  4026  ontriexmidim  4558  wetriext  4613  f1veqaeq  5816  isorel  5855  oveqrspc2v  5949  fovcld  6027  caovclg  6076  caovcomg  6079  smoel  6358  dcdifsnid  6562  unfiexmid  6979  prfidceq  6989  fiintim  6992  supmoti  7059  supsnti  7071  isotilem  7072  onntri35  7304  onntri45  7308  cauappcvgprlem1  7726  caucvgprlemnkj  7733  caucvgprlemnbj  7734  caucvgprprlemval  7755  ltordlem  8509  frecuzrdgrrn  10500  frec2uzrdg  10501  frecuzrdgrcl  10502  frecuzrdgrclt  10507  seq3caopr3  10583  seq3homo  10619  seqhomog  10622  climcn2  11474  fprodcl2lem  11770  ennnfonelemim  12641  mhmlin  13099  issubg2m  13319  nsgbi  13334  ghmlin  13378  issubrng2  13766  issubrg2  13797  lmodlema  13848  islmodd  13849  rmodislmodlem  13906  rmodislmod  13907  rnglidlmcl  14036  inopn  14239  basis1  14283  basis2  14284  xmeteq0  14595  cncfi  14814  limccnp2lem  14912  logltb  15110  2sqlem8  15364  redcwlpo  15699  redc0  15701  reap0  15702