Theorem rspc2v 2806

Description: 2-variable restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 13-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspc2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
rspc2v.2	|- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspc2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C   x, D, y   ch, x   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   ps( x)   ch( y)   B( x)   C( y)

Proof of Theorem rspc2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1509	. 2 |- F/ x ch
2		nfv 1509	. 2 |- F/ y ps
3		rspc2v.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
4		rspc2v.2	. 2 |- ( y = B -> ( ch <-> ps ) )
5	1, 2, 3, 4	rspc2 2804	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691

This theorem is referenced by:  rspc2va  2807  rspc3v  2809  disji2  3930  wetriext  4499  f1veqaeq  5678  isorel  5717  fovcl  5884  caovclg  5931  caovcomg  5934  smoel  6205  dcdifsnid  6408  unfiexmid  6814  fiintim  6825  supmoti  6888  supsnti  6900  isotilem  6901  cauappcvgprlem1  7491  caucvgprlemnkj  7498  caucvgprlemnbj  7499  caucvgprprlemval  7520  ltordlem  8268  frecuzrdgrrn  10212  frec2uzrdg  10213  frecuzrdgrcl  10214  frecuzrdgrclt  10219  seq3caopr3  10285  seq3homo  10314  climcn2  11110  ennnfonelemim  11973  inopn  12209  basis1  12253  basis2  12254  xmeteq0  12567  cncfi  12773  limccnp2lem  12853  logltb  13003  redcwlpo  13422