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Theorem seqvalcd 10570
Description: Value of the sequence builder function. Similar to seq3val 10569 but the classes D (type of each term) and C (type of the value we are accumulating) do not need to be the same. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seqvalcd.m |- ( ph -> M e. ZZ )
seqvalcd.r |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
seqvalcd.f0 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
seqvalcd.pl |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
seqvalcd.fp1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
Assertion
Ref Expression
seqvalcd |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran R )
Distinct variable groups:   x, .+ , y, w, z   x, C, y, w, z   x, D, y   x, F, y, w, z   x, M, y, w, z   x, R, y, w, z   ph, x, y, w, z
Allowed substitution hints:   D( z, w)
Proof of Theorem seqvalcd
Dummy variables a b c k n u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seqfrec 10557 . 2 |- seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2 seqvalcd.m . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3 seqvalcd.f0 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
4 ssv 3206 . . . . . . 7 |- C C_ _V
54a1i 9 . . . . . 6 |- ( ph -> C C_ _V )
6 eqidd 2197 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) )
7 simprr 531 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> w = y )
8 simprl 529 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> z = x )
98fvoveq1d 5947 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
107, 9oveq12d 5943 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
11 simprl 529 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
12 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> y e. C )
13 seqvalcd.pl . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
1413ralrimivva 2579 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
15 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( x .+ y ) = ( a .+ y ) )
1615eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( a .+ y ) e. C ) )
17 oveq2 5933 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( a .+ y ) = ( a .+ b ) )
1817eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( ( a .+ y ) e. C <-> ( a .+ b ) e. C ) )
1916, 18cbvral2v 2742 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C <-> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
2014, 19sylib 122 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
2120adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
22 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
2322eleq1d 2265 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. D <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) )
24 seqvalcd.fp1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
2524ralrimiva 2570 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D )
26 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
2726eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. D <-> ( F ` a ) e. D ) )
2827cbvralv 2729 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
2925, 28sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
3029adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
31 eluzp1p1 9644 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3211, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3323, 30, 32rspcdva 2873 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D )
34 oveq12 5934 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( a .+ b ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
3534eleq1d 2265 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( a .+ b ) e. C <-> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
3635rspc2gv 2880 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. C /\ ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
3712, 33, 36syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
3821, 37mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C )
396, 10, 11, 12, 38ovmpod 6054 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
4039, 38eqeltrd 2273 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )
41 seqvalcd.r . . . . . 6 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
422, 3, 5, 40, 41frecuzrdgrclt 10524 . . . . 5 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
4342ffnd 5411 . . . 4 |- ( ph -> R Fn om )
44 1st2nd2 6242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
4544adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
4645fveq2d 5565 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. ) )
47 df-ov 5928 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
4846, 47eqtr4di 2247 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) )
49 xp1st 6232 . . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5049adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51 xp2nd 6233 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 2nd ` u ) e. C )
5251adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( 2nd ` u ) e. C )
5352elexd 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( 2nd ` u ) e. _V )
54 peano2uz 9674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5550, 54syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5614adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
57 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( 1st ` u ) + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
5857eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( 1st ` u ) + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. D <-> ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. D ) )
5925adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D )
60 eluzp1p1 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
6150, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
6258, 59, 61rspcdva 2873 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. D )
63 oveq12 5934 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( 2nd ` u ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
6463eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( 2nd ` u ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) )
6564rspc2gv 2880 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2nd ` u ) e. C /\ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) )
6652, 62, 65syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) )
6756, 66mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C )
6855, 67opelxpd 4697 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
69 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` u ) + 1 ) )
70 fvoveq1 5948 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
7170oveq2d 5941 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
7269, 71opeq12d 3817 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1st ` u ) -> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
73 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
7473opeq2d 3816 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
75 eqid 2196 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. )
7672, 74, 75ovmpog 6061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
7750, 53, 68, 76syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
7848, 77eqtrd 2229 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
7978, 68eqeltrd 2273 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
8079ralrimiva 2570 . . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
81 uzid 9632 . . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
822, 81syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8382, 3opelxpd 4697 . . . . . 6 |- ( ph -> <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
8480, 83jca 306 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) )
85 frecfcl 6472 . . . . 5 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
86 ffn 5410 . . . . 5 |- (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) Fn om )
8784, 85, 863syl 17 . . . 4 |- ( ph -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) Fn om )
88 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( R ` c ) = ( R ` (/) ) )
89 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) )
9088, 89eqeq12d 2211 . . . . . . 7 |- ( c = (/) -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) ) )
9190imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( c = (/) -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) ) ) )
92 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = k -> ( R ` c ) = ( R ` k ) )
93 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = k -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
9492, 93eqeq12d 2211 . . . . . . 7 |- ( c = k -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
9594imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( c = k -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) ) )
96 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = suc k -> ( R ` c ) = ( R ` suc k ) )
97 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = suc k -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) )
9896, 97eqeq12d 2211 . . . . . . 7 |- ( c = suc k -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) )
9998imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( c = suc k -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
100 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = n -> ( R ` c ) = ( R ` n ) )
101 fveq2 5561 . . . . . . . 8 |- ( c = n -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) )
102100, 101eqeq12d 2211 . . . . . . 7 |- ( c = n -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) )
103102imbi2d 230 . . . . . 6 |- ( c = n -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) ) )
10441fveq1i 5562 . . . . . . . 8 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) )
105 frec0g 6464 . . . . . . . . 9 |- ( <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
10683, 105syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
107104, 106eqtrid 2241 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
108 frec0g 6464 . . . . . . . 8 |- ( <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
10983, 108syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
110107, 109eqtr4d 2232 . . . . . 6 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) )
11142ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> R : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
112 simpll 527 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> k e. om )
113111, 112ffvelcdmd 5701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
114 xp1st 6232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
115113, 114syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
116 xp2nd 6233 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C )
117113, 116syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C )
118117elexd 2776 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V )
119 peano2uz 9674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
120115, 119syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
12114ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
122 fveq2 5561 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
123122eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. D <-> ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. D ) )
12429ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
125 eluzp1p1 9644 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
126115, 125syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
127123, 124, 126rspcdva 2873 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. D )
128 oveq12 5934 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( 2nd ` ( R ` k ) ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
129128eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( 2nd ` ( R ` k ) ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) )
130129rspc2gv 2880 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C /\ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) )
131117, 127, 130syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) )
132121, 131mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C )
133120, 132opelxpd 4697 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
134 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) )
135 fvoveq1 5948 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
136135oveq2d 5941 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
137134, 136opeq12d 3817 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
138 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
139138opeq2d 3816 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
140137, 139, 75ovmpog 6061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
141115, 118, 133, 140syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
14280ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
14383ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
144 frecsuc 6474 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ k e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
145142, 143, 112, 144syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
146 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
147146fveq2d 5565 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
148 1st2nd2 6242 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( R ` k ) = <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
149113, 148syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) = <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
150149fveq2d 5565 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
151 df-ov 5928 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
152150, 151eqtr4di 2247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
153145, 147, 1523eqtr2d 2235 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
15445fveq2d 5565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. ) )
155 df-ov 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
156154, 155eqtr4di 2247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) )
157 fvoveq1 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = ( 1st ` u ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
158157oveq2d 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( 1st ` u ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
159 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( 2nd ` u ) -> ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
160 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
161158, 159, 160ovmpog 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. C /\ ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
16250, 52, 67, 161syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
163162, 67eqeltrd 2273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) e. C )
16455, 163opelxpd 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
165 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) )
16669, 165opeq12d 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( 1st ` u ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
167 oveq2 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) )
168167opeq2d 3816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
169 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
170166, 168, 169ovmpog 6061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
17150, 53, 164, 170syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
172156, 171eqtrd 2229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
173172, 164eqeltrd 2273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
174173ralrimiva 2570 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
175174ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
176 frecsuc 6474 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ k e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
177175, 143, 112, 176syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
17841fveq1i 5562 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k )
17941fveq1i 5562 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k )
180179fveq2i 5564 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
181177, 178, 1803eqtr4g 2254 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) )
182149fveq2d 5565 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
183181, 182eqtrd 2229 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
184 df-ov 5928 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
185183, 184eqtr4di 2247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
186 fvoveq1 5948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
187186oveq2d 5941 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
188 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
189187, 188, 160ovmpog 6061 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C /\ ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
190115, 117, 132, 189syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
191190, 132eqeltrd 2273 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) e. C )
192120, 191opelxpd 4697 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
193 oveq1 5932 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) )
194134, 193opeq12d 3817 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
195 oveq2 5933 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
196195opeq2d 3816 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
197194, 196, 169ovmpog 6061 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
198115, 118, 192, 197syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
199190opeq2d 3816 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
200185, 198, 1993eqtrd 2233 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
201141, 153, 2003eqtr4rd 2240 . . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) )
202201exp31 364 . . . . . . 7 |- ( k e. om -> ( ph -> ( ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
203202a2d 26 . . . . . 6 |- ( k e. om -> ( ( ph -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ph -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
20491, 95, 99, 103, 110, 203finds 4637 . . . . 5 |- ( n e. om -> ( ph -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) )
205204impcom 125 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) )
20643, 87, 205eqfnfvd 5665 . . 3 |- ( ph -> R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
207206rneqd 4896 . 2 |- ( ph -> ran R = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
2081, 207eqtr4id 2248 1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   (/)c0 3451   <.cop 3626   suc csuc 4401   omcom 4627   X. cxp 4662   ran crn 4665   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   1stc1st 6205   2ndc2nd 6206  freccfrec 6457   1c1 7897   + caddc 7899   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   seqcseq 10556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-seqfrec 10557
This theorem is referenced by:  seqf2  10577  seq1cd  10578  seqp1cd  10579
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