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Theorem seqvalcd 10415
Description: Value of the sequence builder function. Similar to seq3val 10414 but the classes D (type of each term) and C (type of the value we are accumulating) do not need to be the same. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
seqvalcd.m |- ( ph -> M e. ZZ )
seqvalcd.r |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
seqvalcd.f0 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
seqvalcd.pl |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
seqvalcd.fp1 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
Assertion
Ref Expression
seqvalcd |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran R )
Distinct variable groups:   x, .+ , y, w, z   x, C, y, w, z   x, D, y   x, F, y, w, z   x, M, y, w, z   x, R, y, w, z   ph, x, y, w, z
Allowed substitution hints:   D( z, w)
Proof of Theorem seqvalcd
Dummy variables a b c k n u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seqfrec 10402 . 2 |- seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2 seqvalcd.m . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3 seqvalcd.f0 . . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) e. C )
4 ssv 3169 . . . . . . 7 |- C C_ _V
54a1i 9 . . . . . 6 |- ( ph -> C C_ _V )
6 eqidd 2171 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) )
7 simprr 527 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> w = y )
8 simprl 526 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> z = x )
98fvoveq1d 5875 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
107, 9oveq12d 5871 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) /\ ( z = x /\ w = y ) ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
11 simprl 526 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
12 simprr 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> y e. C )
13 seqvalcd.pl . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x .+ y ) e. C )
1413ralrimivva 2552 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
15 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( x .+ y ) = ( a .+ y ) )
1615eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( a .+ y ) e. C ) )
17 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( a .+ y ) = ( a .+ b ) )
1817eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( ( a .+ y ) e. C <-> ( a .+ b ) e. C ) )
1916, 18cbvral2v 2709 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C <-> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
2014, 19sylib 121 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
2120adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C )
22 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
2322eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( x + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. D <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) )
24 seqvalcd.fp1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. D )
2524ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D )
26 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
2726eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. D <-> ( F ` a ) e. D ) )
2827cbvralv 2696 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D <-> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
2925, 28sylib 121 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
3029adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
31 eluzp1p1 9512 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3211, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
3323, 30, 32rspcdva 2839 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. D )
34 oveq12 5862 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( a .+ b ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
3534eleq1d 2239 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = y /\ b = ( F ` ( x + 1 ) ) ) -> ( ( a .+ b ) e. C <-> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
3635rspc2gv 2846 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. C /\ ( F ` ( x + 1 ) ) e. D ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
3712, 33, 36syl2anc 409 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( A. a e. C A. b e. D ( a .+ b ) e. C -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C ) )
3821, 37mpd 13 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. C )
396, 10, 11, 12, 38ovmpod 5980 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
4039, 38eqeltrd 2247 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. C ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. C )
41 seqvalcd.r . . . . . 6 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
422, 3, 5, 40, 41frecuzrdgrclt 10371 . . . . 5 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
4342ffnd 5348 . . . 4 |- ( ph -> R Fn om )
44 1st2nd2 6154 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
4544adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
4645fveq2d 5500 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. ) )
47 df-ov 5856 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
4846, 47eqtr4di 2221 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) )
49 xp1st 6144 . . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5049adantl 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) )
51 xp2nd 6145 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 2nd ` u ) e. C )
5251adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( 2nd ` u ) e. C )
5352elexd 2743 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( 2nd ` u ) e. _V )
54 peano2uz 9542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5550, 54syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
5614adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
57 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( ( 1st ` u ) + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
5857eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( 1st ` u ) + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. D <-> ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. D ) )
5925adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` x ) e. D )
60 eluzp1p1 9512 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
6150, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
6258, 59, 61rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. D )
63 oveq12 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( 2nd ` u ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
6463eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( 2nd ` u ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) )
6564rspc2gv 2846 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2nd ` u ) e. C /\ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) )
6652, 62, 65syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) )
6756, 66mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C )
6855, 67opelxpd 4644 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
69 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` u ) + 1 ) )
70 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
7170oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
7269, 71opeq12d 3773 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1st ` u ) -> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
73 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
7473opeq2d 3772 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
75 eqid 2170 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. )
7672, 74, 75ovmpog 5987 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
7750, 53, 68, 76syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
7848, 77eqtrd 2203 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
7978, 68eqeltrd 2247 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
8079ralrimiva 2543 . . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
81 uzid 9501 . . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
822, 81syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8382, 3opelxpd 4644 . . . . . 6 |- ( ph -> <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
8480, 83jca 304 . . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) )
85 frecfcl 6384 . . . . 5 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
86 ffn 5347 . . . . 5 |- (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) Fn om )
8784, 85, 863syl 17 . . . 4 |- ( ph -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) Fn om )
88 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( R ` c ) = ( R ` (/) ) )
89 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) )
9088, 89eqeq12d 2185 . . . . . . 7 |- ( c = (/) -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) ) )
9190imbi2d 229 . . . . . 6 |- ( c = (/) -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) ) ) )
92 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = k -> ( R ` c ) = ( R ` k ) )
93 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = k -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
9492, 93eqeq12d 2185 . . . . . . 7 |- ( c = k -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
9594imbi2d 229 . . . . . 6 |- ( c = k -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) ) )
96 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = suc k -> ( R ` c ) = ( R ` suc k ) )
97 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = suc k -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) )
9896, 97eqeq12d 2185 . . . . . . 7 |- ( c = suc k -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) )
9998imbi2d 229 . . . . . 6 |- ( c = suc k -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
100 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = n -> ( R ` c ) = ( R ` n ) )
101 fveq2 5496 . . . . . . . 8 |- ( c = n -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) )
102100, 101eqeq12d 2185 . . . . . . 7 |- ( c = n -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) )
103102imbi2d 229 . . . . . 6 |- ( c = n -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) ) )
10441fveq1i 5497 . . . . . . . 8 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) )
105 frec0g 6376 . . . . . . . . 9 |- ( <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
10683, 105syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
107104, 106eqtrid 2215 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
108 frec0g 6376 . . . . . . . 8 |- ( <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
10983, 108syl 14 . . . . . . 7 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
110107, 109eqtr4d 2206 . . . . . 6 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) )
11142ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> R : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
112 simpll 524 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> k e. om )
113111, 112ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
114 xp1st 6144 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
115113, 114syl 14 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
116 xp2nd 6145 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C )
117113, 116syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C )
118117elexd 2743 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V )
119 peano2uz 9542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
120115, 119syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
12114ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C )
122 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
123122eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. D <-> ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. D ) )
12429ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ( F ` a ) e. D )
125 eluzp1p1 9512 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
126115, 125syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
127123, 124, 126rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. D )
128 oveq12 5862 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( 2nd ` ( R ` k ) ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) -> ( x .+ y ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
129128eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( 2nd ` ( R ` k ) ) /\ y = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( x .+ y ) e. C <-> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) )
130129rspc2gv 2846 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C /\ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. D ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) )
131117, 127, 130syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( A. x e. C A. y e. D ( x .+ y ) e. C -> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) )
132121, 131mpd 13 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C )
133120, 132opelxpd 4644 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
134 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) )
135 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
136135oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
137134, 136opeq12d 3773 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
138 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
139138opeq2d 3772 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
140137, 139, 75ovmpog 5987 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
141115, 118, 133, 140syl3anc 1233 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
14280ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
14383ad2antlr 486 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
144 frecsuc 6386 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ k e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
145142, 143, 112, 144syl3anc 1233 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
146 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
147146fveq2d 5500 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
148 1st2nd2 6154 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) -> ( R ` k ) = <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
149113, 148syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) = <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
150149fveq2d 5500 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
151 df-ov 5856 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
152150, 151eqtr4di 2221 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
153145, 147, 1523eqtr2d 2209 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
15445fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. ) )
155 df-ov 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
156154, 155eqtr4di 2221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) )
157 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z = ( 1st ` u ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
158157oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( 1st ` u ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
159 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = ( 2nd ` u ) -> ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
160 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
161158, 159, 160ovmpog 5987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. C /\ ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. C ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
16250, 52, 67, 161syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
163162, 67eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) e. C )
16455, 163opelxpd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
165 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) )
16669, 165opeq12d 3773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( 1st ` u ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
167 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) )
168167opeq2d 3772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
169 eqid 2170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
170166, 168, 169ovmpog 5987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
17150, 53, 164, 170syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
172156, 171eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
173172, 164eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
174173ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
175174ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
176 frecsuc 6386 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) /\ k e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
177175, 143, 112, 176syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
17841fveq1i 5497 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k )
17941fveq1i 5497 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k )
180179fveq2i 5499 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
181177, 178, 1803eqtr4g 2228 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) )
182149fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
183181, 182eqtrd 2203 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
184 df-ov 5856 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
185183, 184eqtr4di 2221 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
186 fvoveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
187186oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
188 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
189187, 188, 160ovmpog 5987 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. C /\ ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. C ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
190115, 117, 132, 189syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
191190, 132eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) e. C )
192120, 191opelxpd 4644 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) )
193 oveq1 5860 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) )
194134, 193opeq12d 3773 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
195 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
196195opeq2d 3772 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
197194, 196, 169ovmpog 5987 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. C ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
198115, 118, 192, 197syl3anc 1233 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
199190opeq2d 3772 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. C |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
200185, 198, 1993eqtrd 2207 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
201141, 153, 2003eqtr4rd 2214 . . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) )
202201exp31 362 . . . . . . 7 |- ( k e. om -> ( ph -> ( ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
203202a2d 26 . . . . . 6 |- ( k e. om -> ( ( ph -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ph -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
20491, 95, 99, 103, 110, 203finds 4584 . . . . 5 |- ( n e. om -> ( ph -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) )
205204impcom 124 . . . 4 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) )
20643, 87, 205eqfnfvd 5596 . . 3 |- ( ph -> R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
207206rneqd 4840 . 2 |- ( ph -> ran R = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
2081, 207eqtr4id 2222 1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   (/)c0 3414   <.cop 3586   suc csuc 4350   omcom 4574   X. cxp 4609   ran crn 4612   Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118  freccfrec 6369   1c1 7775   + caddc 7777   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402
This theorem is referenced by:  seqf2  10420  seq1cd  10421  seqp1cd  10422
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