Theorem sbnf2 1906

Description: Two ways of expressing " x is (effectively) not free in ph." (Contributed by Gérard Lang, 14-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sbnf2	|- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   ph, y, z

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem sbnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2albiim 1423	. 2 |- ( A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) <-> ( A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) /\ A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) ) )
2		df-nf 1396	. . . . 5 |- ( F/ x ph <-> A. x ( ph -> A. x ph ) )
3		sbhb 1865	. . . . . 6 |- ( ( ph -> A. x ph ) <-> A. z ( ph -> [ z / x ] ph ) )
4	3	albii 1405	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) <-> A. x A. z ( ph -> [ z / x ] ph ) )
5		alcom 1413	. . . . 5 |- ( A. x A. z ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. z A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) )
6	2, 4, 5	3bitri 205	. . . 4 |- ( F/ x ph <-> A. z A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) )
7		nfv 1467	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph -> [ z / x ] ph )
8	7	sb8 1785	. . . . . 6 |- ( A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y [ y / x ] ( ph -> [ z / x ] ph ) )
9		nfs1v 1864	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ph
10	9	sblim 1880	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
11	10	albii 1405	. . . . . 6 |- ( A. y [ y / x ] ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
12	8, 11	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
13	12	albii 1405	. . . 4 |- ( A. z A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. z A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
14		alcom 1413	. . . 4 |- ( A. z A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
15	6, 13, 14	3bitri 205	. . 3 |- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
16		sbhb 1865	. . . . . 6 |- ( ( ph -> A. x ph ) <-> A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) )
17	16	albii 1405	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) <-> A. x A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) )
18		alcom 1413	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. y A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) )
19	2, 17, 18	3bitri 205	. . . 4 |- ( F/ x ph <-> A. y A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) )
20		nfv 1467	. . . . . . 7 |- F/ z ( ph -> [ y / x ] ph )
21	20	sb8 1785	. . . . . 6 |- ( A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. z [ z / x ] ( ph -> [ y / x ] ph ) )
22		nfs1v 1864	. . . . . . . 8 |- F/ x [ y / x ] ph
23	22	sblim 1880	. . . . . . 7 |- ( [ z / x ] ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
24	23	albii 1405	. . . . . 6 |- ( A. z [ z / x ] ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
25	21, 24	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
26	25	albii 1405	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
27	19, 26	bitri 183	. . 3 |- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
28	15, 27	anbi12i 449	. 2 |- ( ( F/ x ph /\ F/ x ph ) <-> ( A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) /\ A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) ) )
29		anidm 389	. 2 |- ( ( F/ x ph /\ F/ x ph ) <-> F/ x ph )
30	1, 28, 29	3bitr2ri 208	1 |- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1288   F/wnf 1395   [wsb 1693

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1396  df-sb 1694

This theorem is referenced by:  sbnfc2  2991