Theorem sbnf2 2041

Description: Two ways of expressing " x is (effectively) not free in ph." (Contributed by Gérard Lang, 14-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
sbnf2	|- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   ph, y, z

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem sbnf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2albiim 1541	. 2 |- ( A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) <-> ( A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) /\ A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) ) )
2		df-nf 1514	. . . . 5 |- ( F/ x ph <-> A. x ( ph -> A. x ph ) )
3		sbhb 2000	. . . . . 6 |- ( ( ph -> A. x ph ) <-> A. z ( ph -> [ z / x ] ph ) )
4	3	albii 1523	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) <-> A. x A. z ( ph -> [ z / x ] ph ) )
5		alcom 1531	. . . . 5 |- ( A. x A. z ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. z A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) )
6	2, 4, 5	3bitri 206	. . . 4 |- ( F/ x ph <-> A. z A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) )
7		nfv 1581	. . . . . . 7 |- F/ y ( ph -> [ z / x ] ph )
8	7	sb8 1909	. . . . . 6 |- ( A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y [ y / x ] ( ph -> [ z / x ] ph ) )
9		nfs1v 1999	. . . . . . . 8 |- F/ x [ z / x ] ph
10	9	sblim 2017	. . . . . . 7 |- ( [ y / x ] ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
11	10	albii 1523	. . . . . 6 |- ( A. y [ y / x ] ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
12	8, 11	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
13	12	albii 1523	. . . 4 |- ( A. z A. x ( ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. z A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
14		alcom 1531	. . . 4 |- ( A. z A. y ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
15	6, 13, 14	3bitri 206	. . 3 |- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) )
16		sbhb 2000	. . . . . 6 |- ( ( ph -> A. x ph ) <-> A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) )
17	16	albii 1523	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> A. x ph ) <-> A. x A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) )
18		alcom 1531	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. y A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) )
19	2, 17, 18	3bitri 206	. . . 4 |- ( F/ x ph <-> A. y A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) )
20		nfv 1581	. . . . . . 7 |- F/ z ( ph -> [ y / x ] ph )
21	20	sb8 1909	. . . . . 6 |- ( A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. z [ z / x ] ( ph -> [ y / x ] ph ) )
22		nfs1v 1999	. . . . . . . 8 |- F/ x [ y / x ] ph
23	22	sblim 2017	. . . . . . 7 |- ( [ z / x ] ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
24	23	albii 1523	. . . . . 6 |- ( A. z [ z / x ] ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
25	21, 24	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
26	25	albii 1523	. . . 4 |- ( A. y A. x ( ph -> [ y / x ] ph ) <-> A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
27	19, 26	bitri 184	. . 3 |- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) )
28	15, 27	anbi12i 464	. 2 |- ( ( F/ x ph /\ F/ x ph ) <-> ( A. y A. z ( [ y / x ] ph -> [ z / x ] ph ) /\ A. y A. z ( [ z / x ] ph -> [ y / x ] ph ) ) )
29		anidm 400	. 2 |- ( ( F/ x ph /\ F/ x ph ) <-> F/ x ph )
30	1, 28, 29	3bitr2ri 209	1 |- ( F/ x ph <-> A. y A. z ( [ y / x ] ph <-> [ z / x ] ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   F/wnf 1513   [wsb 1815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816

This theorem is referenced by:  sbnfc2  3208