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Theorem ssconb 3131
Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
ssconb  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )

Proof of Theorem ssconb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3017 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  C  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  C )
)
2 ssel 3017 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  C  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  C )
)
3 pm5.1 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
41, 2, 3syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  C ) ) )
5 con2b 628 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
)  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) )
65a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B )  <->  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A ) ) )
74, 6anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( ( x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  (
x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) ) )
8 jcab 570 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B
) )  <->  ( (
x  e.  A  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
) ) )
9 jcab 570 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  -> 
( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A
) )  <->  ( (
x  e.  B  ->  x  e.  C )  /\  ( x  e.  B  ->  -.  x  e.  A
) ) )
107, 8, 93bitr4g 221 . . . 4  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) ) )
11 eldif 3006 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  B )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B ) )
1211imbi2i 224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  B )
) )
13 eldif 3006 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  \  A )  <->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A ) )
1413imbi2i 224 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) )  <->  ( x  e.  B  ->  ( x  e.  C  /\  -.  x  e.  A )
) )
1510, 12, 143bitr4g 221 . . 3  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  ->  x  e.  ( C  \  A ) ) ) )
1615albidv 1752 . 2  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A. x ( x  e.  A  ->  x  e.  ( C  \  B ) )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) ) )
17 dfss2 3012 . 2  |-  ( A 
C_  ( C  \  B )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  x  e.  ( C 
\  B ) ) )
18 dfss2 3012 . 2  |-  ( B 
C_  ( C  \  A )  <->  A. x
( x  e.  B  ->  x  e.  ( C 
\  A ) ) )
1916, 17, 183bitr4g 221 1  |-  ( ( A  C_  C  /\  B  C_  C )  -> 
( A  C_  ( C  \  B )  <->  B  C_  ( C  \  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    e. wcel 1438    \ cdif 2994    C_ wss 2997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-in 3003  df-ss 3010
This theorem is referenced by:  sbthlem1  6645  sbthlem2  6646
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