Theorem ssconb 3306

Description: Contraposition law for subsets. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssconb	|- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Proof of Theorem ssconb

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3187	. . . . . . 7 |- ( A C_ C -> ( x e. A -> x e. C ) )
2		ssel 3187	. . . . . . 7 |- ( B C_ C -> ( x e. B -> x e. C ) )
3		pm5.1 601	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. B -> x e. C ) ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. C ) <-> ( x e. B -> x e. C ) ) )
5		con2b 671	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) )
6	5	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) ) )
8		jcab 603	. . . . 5 |- ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( ( x e. A -> x e. C ) /\ ( x e. A -> -. x e. B ) ) )
9		jcab 603	. . . . 5 |- ( ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) <-> ( ( x e. B -> x e. C ) /\ ( x e. B -> -. x e. A ) ) )
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . . 4 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) ) )
11		eldif 3175	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ B ) <-> ( x e. C /\ -. x e. B ) )
12	11	imbi2i 226	. . . 4 |- ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. A -> ( x e. C /\ -. x e. B ) ) )
13		eldif 3175	. . . . 5 |- ( x e. ( C \ A ) <-> ( x e. C /\ -. x e. A ) )
14	13	imbi2i 226	. . . 4 |- ( ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) <-> ( x e. B -> ( x e. C /\ -. x e. A ) ) )
15	10, 12, 14	3bitr4g 223	. . 3 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
16	15	albidv 1847	. 2 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) ) )
17		ssalel 3181	. 2 |- ( A C_ ( C \ B ) <-> A. x ( x e. A -> x e. ( C \ B ) ) )
18		ssalel 3181	. 2 |- ( B C_ ( C \ A ) <-> A. x ( x e. B -> x e. ( C \ A ) ) )
19	16, 17, 18	3bitr4g 223	1 |- ( ( A C_ C /\ B C_ C ) -> ( A C_ ( C \ B ) <-> B C_ ( C \ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2176   \ cdif 3163   C_ wss 3166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-dif 3168  df-in 3172  df-ss 3179

This theorem is referenced by:  sbthlem1  7059  sbthlem2  7060  setscom  12872