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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > setscom | Unicode version |
Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) |
Ref | Expression |
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setscom.1 |
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setscom.2 |
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Ref | Expression |
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setscom |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | rescom 4770 |
. . . . . 6
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2 | 1 | uneq1i 3165 |
. . . . 5
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3 | 2 | uneq1i 3165 |
. . . 4
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4 | un23 3174 |
. . . 4
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5 | 3, 4 | eqtri 2115 |
. . 3
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6 | setscom.1 |
. . . . . . . 8
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7 | setsvala 11689 |
. . . . . . . 8
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8 | 6, 7 | mp3an2 1268 |
. . . . . . 7
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9 | 8 | ad2ant2r 494 |
. . . . . 6
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10 | 9 | reseq1d 4744 |
. . . . 5
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11 | resundir 4759 |
. . . . . 6
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12 | elex 2644 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 12 | ad2antrl 475 |
. . . . . . . . . 10
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14 | opelxpi 4499 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 6, 13, 14 | sylancr 406 |
. . . . . . . . 9
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16 | opexg 4079 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 6, 13, 16 | sylancr 406 |
. . . . . . . . . 10
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18 | relsng 4570 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 17, 18 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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20 | 15, 19 | mpbird 166 |
. . . . . . . 8
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21 | dmsnopg 4936 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 13, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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23 | disjsn2 3525 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 23 | ad2antlr 474 |
. . . . . . . . . 10
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25 | disj2 3357 |
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26 | 24, 25 | sylib 121 |
. . . . . . . . 9
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27 | 22, 26 | eqsstrd 3075 |
. . . . . . . 8
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28 | relssres 4783 |
. . . . . . . 8
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29 | 20, 27, 28 | syl2anc 404 |
. . . . . . 7
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30 | 29 | uneq2d 3169 |
. . . . . 6
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31 | 11, 30 | syl5eq 2139 |
. . . . 5
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32 | 10, 31 | eqtrd 2127 |
. . . 4
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33 | 32 | uneq1d 3168 |
. . 3
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34 | setscom.2 |
. . . . . . . 8
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35 | setsvala 11689 |
. . . . . . . 8
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36 | 34, 35 | mp3an2 1268 |
. . . . . . 7
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37 | 36 | reseq1d 4744 |
. . . . . 6
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38 | 37 | ad2ant2rl 496 |
. . . . 5
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39 | resundir 4759 |
. . . . . 6
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40 | elex 2644 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40 | ad2antll 476 |
. . . . . . . . . 10
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42 | opelxpi 4499 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 34, 41, 42 | sylancr 406 |
. . . . . . . . 9
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44 | opexg 4079 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 34, 41, 44 | sylancr 406 |
. . . . . . . . . 10
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46 | relsng 4570 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 45, 46 | syl 14 |
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49 | dmsnopg 4936 |
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50 | 41, 49 | syl 14 |
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51 | ssv 3061 |
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52 | ssv 3061 |
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53 | ssconb 3148 |
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54 | 51, 52, 53 | mp2an 418 |
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55 | 26, 54 | sylib 121 |
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56 | 50, 55 | eqsstrd 3075 |
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57 | relssres 4783 |
. . . . . . . 8
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58 | 48, 56, 57 | syl2anc 404 |
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59 | 58 | uneq2d 3169 |
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60 | 39, 59 | syl5eq 2139 |
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61 | 38, 60 | eqtrd 2127 |
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62 | 61 | uneq1d 3168 |
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63 | 5, 33, 62 | 3eqtr4a 2153 |
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65 | 6, 64 | mp3an2 1268 |
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66 | 65 | ad2ant2r 494 |
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68 | simprr 500 |
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69 | setsvala 11689 |
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70 | 66, 67, 68, 69 | syl3anc 1181 |
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71 | setsex 11690 |
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72 | 34, 71 | mp3an2 1268 |
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73 | 72 | ad2ant2rl 496 |
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74 | 6 | a1i 9 |
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75 | simprl 499 |
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76 | setsvala 11689 |
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77 | 73, 74, 75, 76 | syl3anc 1181 |
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78 | 63, 70, 77 | 3eqtr4d 2137 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 582 ax-in2 583 ax-io 668 ax-5 1388 ax-7 1389 ax-gen 1390 ax-ie1 1434 ax-ie2 1435 ax-8 1447 ax-10 1448 ax-11 1449 ax-i12 1450 ax-bndl 1451 ax-4 1452 ax-13 1456 ax-14 1457 ax-17 1471 ax-i9 1475 ax-ial 1479 ax-i5r 1480 ax-ext 2077 ax-sep 3978 ax-pow 4030 ax-pr 4060 ax-un 4284 ax-setind 4381 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 929 df-tru 1299 df-fal 1302 df-nf 1402 df-sb 1700 df-eu 1958 df-mo 1959 df-clab 2082 df-cleq 2088 df-clel 2091 df-nfc 2224 df-ne 2263 df-ral 2375 df-rex 2376 df-rab 2379 df-v 2635 df-sbc 2855 df-dif 3015 df-un 3017 df-in 3019 df-ss 3026 df-nul 3303 df-pw 3451 df-sn 3472 df-pr 3473 df-op 3475 df-uni 3676 df-br 3868 df-opab 3922 df-id 4144 df-xp 4473 df-rel 4474 df-cnv 4475 df-co 4476 df-dm 4477 df-res 4479 df-iota 5014 df-fun 5051 df-fv 5057 df-ov 5693 df-oprab 5694 df-mpt2 5695 df-sets 11665 |
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