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Theorem setscom 12563
Description: Different components can be set in any order. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setscom.1 |- A e. _V
setscom.2 |- B e. _V
Assertion
Ref Expression
setscom |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) )
Proof of Theorem setscom
StepHypRef Expression
1 rescom 4953 . . . . . 6 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) )
21uneq1i 3300 . . . . 5 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } )
32uneq1i 3300 . . . 4 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } )
4 un23 3309 . . . 4 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } )
53, 4eqtri 2210 . . 3 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } )
6 setscom.1 . . . . . . . 8 |- A e. _V
7 setsvala 12554 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
86, 7mp3an2 1336 . . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
98ad2ant2r 509 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
109reseq1d 4927 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) )
11 resundir 4942 . . . . . 6 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) )
12 elex 2763 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. W -> C e. _V )
1312ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> C e. _V )
14 opelxpi 4679 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) )
156, 13, 14sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) )
16 opexg 4249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> <. A , C >. e. _V )
176, 13, 16sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. A , C >. e. _V )
18 relsng 4750 . . . . . . . . . 10 |- ( <. A , C >. e. _V -> ( Rel { <. A , C >. } <-> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) ) )
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( Rel { <. A , C >. } <-> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) ) )
2015, 19mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> Rel { <. A , C >. } )
21 dmsnopg 5121 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. _V -> dom { <. A , C >. } = { A } )
2213, 21syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. A , C >. } = { A } )
23 disjsn2 3673 . . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
2423ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
25 disj2 3493 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A } C_ ( _V \ { B } ) )
2624, 25sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> { A } C_ ( _V \ { B } ) )
2722, 26eqsstrd 3206 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. A , C >. } C_ ( _V \ { B } ) )
28 relssres 4966 . . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. A , C >. } /\ dom { <. A , C >. } C_ ( _V \ { B } ) ) -> ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) = { <. A , C >. } )
2920, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) = { <. A , C >. } )
3029uneq2d 3304 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
3111, 30eqtrid 2234 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
3210, 31eqtrd 2222 . . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
3332uneq1d 3303 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) )
34 setscom.2 . . . . . . . 8 |- B e. _V
35 setsvala 12554 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
3634, 35mp3an2 1336 . . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
3736reseq1d 4927 . . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
3837ad2ant2rl 511 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
39 resundir 4942 . . . . . 6 |- ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
40 elex 2763 . . . . . . . . . . 11 |- ( D e. X -> D e. _V )
4140ad2antll 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> D e. _V )
42 opelxpi 4679 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) )
4334, 41, 42sylancr 414 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) )
44 opexg 4249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> <. B , D >. e. _V )
4534, 41, 44sylancr 414 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. B , D >. e. _V )
46 relsng 4750 . . . . . . . . . 10 |- ( <. B , D >. e. _V -> ( Rel { <. B , D >. } <-> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( Rel { <. B , D >. } <-> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) ) )
4843, 47mpbird 167 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> Rel { <. B , D >. } )
49 dmsnopg 5121 . . . . . . . . . 10 |- ( D e. _V -> dom { <. B , D >. } = { B } )
5041, 49syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. B , D >. } = { B } )
51 ssv 3192 . . . . . . . . . . 11 |- { A } C_ _V
52 ssv 3192 . . . . . . . . . . 11 |- { B } C_ _V
53 ssconb 3283 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { A } C_ _V /\ { B } C_ _V ) -> ( { A } C_ ( _V \ { B } ) <-> { B } C_ ( _V \ { A } ) ) )
5451, 52, 53mp2an 426 . . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ ( _V \ { B } ) <-> { B } C_ ( _V \ { A } ) )
5526, 54sylib 122 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> { B } C_ ( _V \ { A } ) )
5650, 55eqsstrd 3206 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. B , D >. } C_ ( _V \ { A } ) )
57 relssres 4966 . . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. B , D >. } /\ dom { <. B , D >. } C_ ( _V \ { A } ) ) -> ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) = { <. B , D >. } )
5848, 56, 57syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) = { <. B , D >. } )
5958uneq2d 3304 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
6039, 59eqtrid 2234 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
6138, 60eqtrd 2222 . . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
6261uneq1d 3303 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } ) )
635, 33, 623eqtr4a 2248 . 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
64 setsex 12555 . . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
656, 64mp3an2 1336 . . . 4 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
6665ad2ant2r 509 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
6734a1i 9 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> B e. _V )
68 simprr 531 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> D e. X )
69 setsvala 12554 . . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , C >. ) e. _V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1249 . 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
71 setsex 12555 . . . . 5 |- ( ( S e. V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
7234, 71mp3an2 1336 . . . 4 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
7372ad2ant2rl 511 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
746a1i 9 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> A e. _V )
75 simprl 529 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> C e. W )
76 setsvala 12554 . . 3 |- ( ( ( S sSet <. B , D >. ) e. _V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1249 . 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7863, 70, 773eqtr4d 2232 1 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   _Vcvv 2752   \ cdif 3141   u. cun 3142   i^i cin 3143   C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3610   <.cop 3613   X. cxp 4645   dom cdm 4647   |` cres 4649   Rel wrel 4652  (class class class)co 5900   sSet csts 12521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-res 4659  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-sets 12530
This theorem is referenced by:  setscomd  12564
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