Theorem setscom 12038

Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setscom.1	|- A e. _V
setscom.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
setscom	|- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setscom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rescom 4852	. . . . . 6 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) )
2	1	uneq1i 3231	. . . . 5 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } )
3	2	uneq1i 3231	. . . 4 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } )
4		un23 3240	. . . 4 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } )
5	3, 4	eqtri 2161	. . 3 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } )
6		setscom.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
7		setsvala 12029	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
8	6, 7	mp3an2 1304	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
9	8	ad2ant2r 501	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
10	9	reseq1d 4826	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) )
11		resundir 4841	. . . . . 6 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) )
12		elex 2700	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. W -> C e. _V )
13	12	ad2antrl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> C e. _V )
14		opelxpi 4579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) )
15	6, 13, 14	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) )
16		opexg 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> <. A , C >. e. _V )
17	6, 13, 16	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. A , C >. e. _V )
18		relsng 4650	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , C >. e. _V -> ( Rel { <. A , C >. } <-> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( Rel { <. A , C >. } <-> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) ) )
20	15, 19	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> Rel { <. A , C >. } )
21		dmsnopg 5018	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. _V -> dom { <. A , C >. } = { A } )
22	13, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. A , C >. } = { A } )
23		disjsn2 3594	. . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
24	23	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
25		disj2 3423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A } C_ ( _V \ { B } ) )
26	24, 25	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> { A } C_ ( _V \ { B } ) )
27	22, 26	eqsstrd 3138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. A , C >. } C_ ( _V \ { B } ) )
28		relssres 4865	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. A , C >. } /\ dom { <. A , C >. } C_ ( _V \ { B } ) ) -> ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) = { <. A , C >. } )
29	20, 27, 28	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) = { <. A , C >. } )
30	29	uneq2d 3235	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
31	11, 30	syl5eq 2185	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
32	10, 31	eqtrd 2173	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
33	32	uneq1d 3234	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) )
34		setscom.2	. . . . . . . 8 |- B e. _V
35		setsvala 12029	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
36	34, 35	mp3an2 1304	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
37	36	reseq1d 4826	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
38	37	ad2ant2rl 503	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
39		resundir 4841	. . . . . 6 |- ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
40		elex 2700	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. X -> D e. _V )
41	40	ad2antll 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> D e. _V )
42		opelxpi 4579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) )
43	34, 41, 42	sylancr 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) )
44		opexg 4158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> <. B , D >. e. _V )
45	34, 41, 44	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. B , D >. e. _V )
46		relsng 4650	. . . . . . . . . 10 |- ( <. B , D >. e. _V -> ( Rel { <. B , D >. } <-> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) ) )
47	45, 46	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( Rel { <. B , D >. } <-> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) ) )
48	43, 47	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> Rel { <. B , D >. } )
49		dmsnopg 5018	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. _V -> dom { <. B , D >. } = { B } )
50	41, 49	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. B , D >. } = { B } )
51		ssv 3124	. . . . . . . . . . 11 |- { A } C_ _V
52		ssv 3124	. . . . . . . . . . 11 |- { B } C_ _V
53		ssconb 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { A } C_ _V /\ { B } C_ _V ) -> ( { A } C_ ( _V \ { B } ) <-> { B } C_ ( _V \ { A } ) ) )
54	51, 52, 53	mp2an 423	. . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ ( _V \ { B } ) <-> { B } C_ ( _V \ { A } ) )
55	26, 54	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> { B } C_ ( _V \ { A } ) )
56	50, 55	eqsstrd 3138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. B , D >. } C_ ( _V \ { A } ) )
57		relssres 4865	. . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. B , D >. } /\ dom { <. B , D >. } C_ ( _V \ { A } ) ) -> ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) = { <. B , D >. } )
58	48, 56, 57	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) = { <. B , D >. } )
59	58	uneq2d 3235	. . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
60	39, 59	syl5eq 2185	. . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
61	38, 60	eqtrd 2173	. . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
62	61	uneq1d 3234	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } ) )
63	5, 33, 62	3eqtr4a 2199	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
64		setsex 12030	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
65	6, 64	mp3an2 1304	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
66	65	ad2ant2r 501	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
67	34	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> B e. _V )
68		simprr 522	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> D e. X )
69		setsvala 12029	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , C >. ) e. _V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
70	66, 67, 68, 69	syl3anc 1217	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
71		setsex 12030	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
72	34, 71	mp3an2 1304	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
73	72	ad2ant2rl 503	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
74	6	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> A e. _V )
75		simprl 521	. . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> C e. W )
76		setsvala 12029	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. B , D >. ) e. _V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
77	73, 74, 75, 76	syl3anc 1217	. 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
78	63, 70, 77	3eqtr4d 2183	1 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   <.cop 3535   X. cxp 4545   dom cdm 4547   |` cres 4549   Rel wrel 4552  (class class class)co 5782   sSet csts 11996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sets 12005

This theorem is referenced by: (None)