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Theorem setscom 12456
Description: Component-setting is commutative when the x-values are different. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setscom.1 |- A e. _V
setscom.2 |- B e. _V
Assertion
Ref Expression
setscom |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) )
Proof of Theorem setscom
StepHypRef Expression
1 rescom 4916 . . . . . 6 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) )
21uneq1i 3277 . . . . 5 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } )
32uneq1i 3277 . . . 4 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } )
4 un23 3286 . . . 4 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } )
53, 4eqtri 2191 . . 3 |- ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } )
6 setscom.1 . . . . . . . 8 |- A e. _V
7 setsvala 12447 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
86, 7mp3an2 1320 . . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
98ad2ant2r 506 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
109reseq1d 4890 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) )
11 resundir 4905 . . . . . 6 |- ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) )
12 elex 2741 . . . . . . . . . . 11 |- ( C e. W -> C e. _V )
1312ad2antrl 487 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> C e. _V )
14 opelxpi 4643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) )
156, 13, 14sylancr 412 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) )
16 opexg 4213 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> <. A , C >. e. _V )
176, 13, 16sylancr 412 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. A , C >. e. _V )
18 relsng 4714 . . . . . . . . . 10 |- ( <. A , C >. e. _V -> ( Rel { <. A , C >. } <-> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) ) )
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( Rel { <. A , C >. } <-> <. A , C >. e. ( _V X. _V ) ) )
2015, 19mpbird 166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> Rel { <. A , C >. } )
21 dmsnopg 5082 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. _V -> dom { <. A , C >. } = { A } )
2213, 21syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. A , C >. } = { A } )
23 disjsn2 3646 . . . . . . . . . . 11 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
2423ad2antlr 486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
25 disj2 3470 . . . . . . . . . 10 |- ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A } C_ ( _V \ { B } ) )
2624, 25sylib 121 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> { A } C_ ( _V \ { B } ) )
2722, 26eqsstrd 3183 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. A , C >. } C_ ( _V \ { B } ) )
28 relssres 4929 . . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. A , C >. } /\ dom { <. A , C >. } C_ ( _V \ { B } ) ) -> ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) = { <. A , C >. } )
2920, 27, 28syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) = { <. A , C >. } )
3029uneq2d 3281 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. ( { <. A , C >. } |` ( _V \ { B } ) ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
3111, 30eqtrid 2215 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
3210, 31eqtrd 2203 . . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
3332uneq1d 3280 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. A , C >. } ) u. { <. B , D >. } ) )
34 setscom.2 . . . . . . . 8 |- B e. _V
35 setsvala 12447 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
3634, 35mp3an2 1320 . . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) = ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
3736reseq1d 4890 . . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
3837ad2ant2rl 508 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
39 resundir 4905 . . . . . 6 |- ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
40 elex 2741 . . . . . . . . . . 11 |- ( D e. X -> D e. _V )
4140ad2antll 488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> D e. _V )
42 opelxpi 4643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) )
4334, 41, 42sylancr 412 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) )
44 opexg 4213 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> <. B , D >. e. _V )
4534, 41, 44sylancr 412 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> <. B , D >. e. _V )
46 relsng 4714 . . . . . . . . . 10 |- ( <. B , D >. e. _V -> ( Rel { <. B , D >. } <-> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( Rel { <. B , D >. } <-> <. B , D >. e. ( _V X. _V ) ) )
4843, 47mpbird 166 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> Rel { <. B , D >. } )
49 dmsnopg 5082 . . . . . . . . . 10 |- ( D e. _V -> dom { <. B , D >. } = { B } )
5041, 49syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. B , D >. } = { B } )
51 ssv 3169 . . . . . . . . . . 11 |- { A } C_ _V
52 ssv 3169 . . . . . . . . . . 11 |- { B } C_ _V
53 ssconb 3260 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { A } C_ _V /\ { B } C_ _V ) -> ( { A } C_ ( _V \ { B } ) <-> { B } C_ ( _V \ { A } ) ) )
5451, 52, 53mp2an 424 . . . . . . . . . 10 |- ( { A } C_ ( _V \ { B } ) <-> { B } C_ ( _V \ { A } ) )
5526, 54sylib 121 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> { B } C_ ( _V \ { A } ) )
5650, 55eqsstrd 3183 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> dom { <. B , D >. } C_ ( _V \ { A } ) )
57 relssres 4929 . . . . . . . 8 |- ( ( Rel { <. B , D >. } /\ dom { <. B , D >. } C_ ( _V \ { A } ) ) -> ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) = { <. B , D >. } )
5848, 56, 57syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) = { <. B , D >. } )
5958uneq2d 3281 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. B , D >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
6039, 59eqtrid 2215 . . . . 5 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
6138, 60eqtrd 2203 . . . 4 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
6261uneq1d 3280 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( ( ( S |` ( _V \ { B } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. B , D >. } ) u. { <. A , C >. } ) )
635, 33, 623eqtr4a 2229 . 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
64 setsex 12448 . . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
656, 64mp3an2 1320 . . . 4 |- ( ( S e. V /\ C e. W ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
6665ad2ant2r 506 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. A , C >. ) e. _V )
6734a1i 9 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> B e. _V )
68 simprr 527 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> D e. X )
69 setsvala 12447 . . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , C >. ) e. _V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1233 . 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( ( S sSet <. A , C >. ) |` ( _V \ { B } ) ) u. { <. B , D >. } ) )
71 setsex 12448 . . . . 5 |- ( ( S e. V /\ B e. _V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
7234, 71mp3an2 1320 . . . 4 |- ( ( S e. V /\ D e. X ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
7372ad2ant2rl 508 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( S sSet <. B , D >. ) e. _V )
746a1i 9 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> A e. _V )
75 simprl 526 . . 3 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> C e. W )
76 setsvala 12447 . . 3 |- ( ( ( S sSet <. B , D >. ) e. _V /\ A e. _V /\ C e. W ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1233 . 2 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. B , D >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7863, 70, 773eqtr4d 2213 1 |- ( ( ( S e. V /\ A =/= B ) /\ ( C e. W /\ D e. X ) ) -> ( ( S sSet <. A , C >. ) sSet <. B , D >. ) = ( ( S sSet <. B , D >. ) sSet <. A , C >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   u. cun 3119   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   X. cxp 4609   dom cdm 4611   |` cres 4613   Rel wrel 4616  (class class class)co 5853   sSet csts 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sets 12423
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