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Theorem sbthlem2 6796
Description: Lemma for isbth 6805. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
Assertion
Ref Expression
sbthlem2  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  C_  U. D )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)

Proof of Theorem sbthlem2
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 6795 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 imass2 4871 . . . . . . . 8  |-  ( U. D  C_  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( f " U. D )  C_  ( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) )
5 sscon 3174 . . . . . . . 8  |-  ( ( f " U. D
)  C_  ( f " ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) ) )  ->  ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) )  C_  ( B  \  (
f " U. D
) ) )
63, 4, 5mp2b 8 . . . . . . 7  |-  ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) )  C_  ( B  \  (
f " U. D
) )
7 imass2 4871 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  ( f
" ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) ) ) )  C_  ( B  \  (
f " U. D
) )  ->  (
g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) )
8 sscon 3174 . . . . . . 7  |-  ( ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) )  -> 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )  C_  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) ) )
96, 7, 8mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) )
10 imassrn 4848 . . . . . . . 8  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )  C_  ran  g
11 sstr2 3068 . . . . . . . 8  |-  ( ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ran  g  ->  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  A ) )
1210, 11ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  A )
13 difss 3166 . . . . . . 7  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
14 ssconb 3173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  A  /\  ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A )  -> 
( ( g "
( B  \  (
f " ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )  C_  ( A  \  ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) )  <->  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  C_  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
1512, 13, 14sylancl 407 . . . . . 6  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) )  <->  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  C_  ( A  \  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
169, 15mpbiri 167 . . . . 5  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) )
1716, 13jctil 308 . . . 4  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) )
181, 13ssexi 4024 . . . . 5  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) )  e.  _V
19 sseq1 3084 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( x  C_  A  <->  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  C_  A )
)
20 imaeq2 4833 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( f " x )  =  ( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) )
2120difeq2d 3158 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( B  \  ( f " x
) )  =  ( B  \  ( f
" ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) )
2221imaeq2d 4837 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( g " ( B  \ 
( f " x
) ) )  =  ( g " ( B  \  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) )
23 difeq2 3152 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) )
2422, 23sseq12d 3092 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( (
g " ( B 
\  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x )  <->  ( g " ( B  \ 
( f " ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )  C_  ( A  \  ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) ) ) )
2519, 24anbi12d 462 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A  \ 
( g " ( B  \  ( f " U. D ) ) ) )  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) )  <->  ( ( A  \  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A  /\  (
g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) )
2618, 25elab 2796 . . . 4  |-  ( ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g "
( B  \  (
f " x ) ) )  C_  ( A  \  x ) ) }  <->  ( ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A  /\  (
g " ( B 
\  ( f "
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) ) 
C_  ( A  \ 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) ) ) ) )
2717, 26sylibr 133 . . 3  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g "
( B  \  (
f " x ) ) )  C_  ( A  \  x ) ) } )
2827, 2syl6eleqr 2206 . 2  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  D )
29 elssuni 3728 . 2  |-  ( ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  e.  D  -> 
( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )  C_  U. D )
3028, 29syl 14 1  |-  ( ran  g  C_  A  ->  ( A  \  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) )  C_  U. D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1312    e. wcel 1461   {cab 2099   _Vcvv 2655    \ cdif 3032    C_ wss 3035   U.cuni 3700   ran crn 4498   "cima 4500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510
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