Theorem distopon 14801

Description: The discrete topology on a set A, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	|- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 14799	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2		unipw 4307	. . . 4 |- U. ~P A = A
3	2	eqcomi 2233	. . 3 |- A = U. ~P A
4	3	a1i 9	. 2 |- ( A e. V -> A = U. ~P A )
5		istopon 14727	. 2 |- ( ~P A e. (TopOn ` A ) <-> ( ~P A e. Top /\ A = U. ~P A ) )
6	1, 4, 5	sylanbrc 417	1 |- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ~Pcpw 3650   U.cuni 3891   ` cfv 5324   Topctop 14711  TopOnctopon 14724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-top 14712  df-topon 14725

This theorem is referenced by:  sn0topon  14802  cndis  14955  txdis1cn  14992