Theorem distopon 14407

Description: The discrete topology on a set A, with base set. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
distopon	|- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Proof of Theorem distopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 14405	. 2 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2		unipw 4251	. . . 4 |- U. ~P A = A
3	2	eqcomi 2200	. . 3 |- A = U. ~P A
4	3	a1i 9	. 2 |- ( A e. V -> A = U. ~P A )
5		istopon 14333	. 2 |- ( ~P A e. (TopOn ` A ) <-> ( ~P A e. Top /\ A = U. ~P A ) )
6	1, 4, 5	sylanbrc 417	1 |- ( A e. V -> ~P A e. (TopOn ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ~Pcpw 3606   U.cuni 3840   ` cfv 5259   Topctop 14317  TopOnctopon 14330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-top 14318  df-topon 14331

This theorem is referenced by:  sn0topon  14408  cndis  14561  txdis1cn  14598