Theorem ralcom4 2785

Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem ralcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 2660	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. y e. _V A. x e. A ph )
2		ralv 2780	. . 3 |- ( A. y e. _V ph <-> A. y ph )
3	2	ralbii 2503	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. x e. A A. y ph )
4		ralv 2780	. 2 |- ( A. y e. _V A. x e. A ph <-> A. y A. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1362   A.wral 2475   _Vcvv 2763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765

This theorem is referenced by:  uniiunlem  3272  uni0b  3864  iunss  3957  disjnim  4024  trint  4146  reliun  4784  funimass4  5611  ralrnmpo  6037  uchoice  6195