Theorem ralcom4 2794

Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem ralcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 2669	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. y e. _V A. x e. A ph )
2		ralv 2789	. . 3 |- ( A. y e. _V ph <-> A. y ph )
3	2	ralbii 2512	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. x e. A A. y ph )
4		ralv 2789	. 2 |- ( A. y e. _V A. x e. A ph <-> A. y A. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1371   A.wral 2484   _Vcvv 2772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774

This theorem is referenced by:  uniiunlem  3282  uni0b  3875  iunss  3968  disjnim  4035  trint  4157  reliun  4796  funimass4  5629  ralrnmpo  6060  uchoice  6223