Theorem ralcom4 2752

Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem ralcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 2633	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. y e. _V A. x e. A ph )
2		ralv 2747	. . 3 |- ( A. y e. _V ph <-> A. y ph )
3	2	ralbii 2476	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. x e. A A. y ph )
4		ralv 2747	. 2 |- ( A. y e. _V A. x e. A ph <-> A. y A. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 209	1 |- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1346   A.wral 2448   _Vcvv 2730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732

This theorem is referenced by:  uniiunlem  3236  uni0b  3821  iunss  3914  disjnim  3980  trint  4102  reliun  4732  funimass4  5547  ralrnmpo  5967