Theorem ralcom4 2711

Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem ralcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 2597	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. y e. _V A. x e. A ph )
2		ralv 2706	. . 3 |- ( A. y e. _V ph <-> A. y ph )
3	2	ralbii 2444	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. x e. A A. y ph )
4		ralv 2706	. 2 |- ( A. y e. _V A. x e. A ph <-> A. y A. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 209	1 |- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 104   A.wal 1330   A.wral 2417   _Vcvv 2689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691

This theorem is referenced by:  uniiunlem  3190  uni0b  3769  iunss  3862  disjnim  3928  trint  4049  reliun  4668  funimass4  5480  ralrnmpo  5893