Theorem ralcom4 2836

Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ralcom4	|- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)

Proof of Theorem ralcom4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralcom 2706	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. y e. _V A. x e. A ph )
2		ralv 2831	. . 3 |- ( A. y e. _V ph <-> A. y ph )
3	2	ralbii 2548	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. _V ph <-> A. x e. A A. y ph )
4		ralv 2831	. 2 |- ( A. y e. _V A. x e. A ph <-> A. y A. x e. A ph )
5	1, 3, 4	3bitr3i 210	1 |- ( A. x e. A A. y ph <-> A. y A. x e. A ph )

Syntax hints:   <-> wb 105   A.wal 1396   A.wral 2520   _Vcvv 2813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-v 2815

This theorem is referenced by:  uniiunlem  3328  uni0b  3939  iunss  4032  disjnim  4099  trint  4223  reliun  4873  funimass4  5727  ralrnmpo  6168  uchoice  6331