ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  moexexdc GIF version

Theorem moexexdc 2029
Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
moexexdc.1 𝑦𝜑
Assertion
Ref Expression
moexexdc (DECID𝑥𝜑 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))

Proof of Theorem moexexdc
StepHypRef Expression
1 df-dc 779 . 2 (DECID𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑))
2 hbmo1 1983 . . . . . 6 (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑥∃*𝑥𝜑)
3 hba1 1476 . . . . . . 7 (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∀𝑥𝑥∃*𝑦𝜓)
4 hbe1 1427 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝜑𝜓) → ∀𝑥𝑥(𝜑𝜓))
54hbmo 1984 . . . . . . 7 (∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓) → ∀𝑥∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))
63, 5hbim 1480 . . . . . 6 ((∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
72, 6hbim 1480 . . . . 5 ((∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))) → ∀𝑥(∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
8 moexexdc.1 . . . . . . . 8 𝑦𝜑
98nfri 1455 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝜑)
109hbmo 1984 . . . . . . 7 (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥𝜑)
11 mopick 2023 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑𝜓)) → (𝜑𝜓))
1211ex 113 . . . . . . . 8 (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → (𝜑𝜓)))
1312com3r 78 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓)))
149, 10, 13alrimdh 1411 . . . . . 6 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓)))
15 moim 2009 . . . . . . 7 (∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓) → (∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
1615spsd 1474 . . . . . 6 (∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
1714, 16syl6 33 . . . . 5 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
187, 17exlimih 1527 . . . 4 (∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
199hbex 1570 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝜑 → ∀𝑦𝑥𝜑)
20 exsimpl 1551 . . . . . . . . 9 (∃𝑥(𝜑𝜓) → ∃𝑥𝜑)
2119, 20exlimih 1527 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝑥(𝜑𝜓) → ∃𝑥𝜑)
2221con3i 595 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑥𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑥(𝜑𝜓))
23 mon 1974 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑦𝑥(𝜑𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))
2422, 23syl 14 . . . . . 6 (¬ ∃𝑥𝜑 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))
2524a1d 22 . . . . 5 (¬ ∃𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
2625a1d 22 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
2718, 26jaoi 669 . . 3 ((∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑) → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
2827impd 251 . 2 ((∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑) → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
291, 28sylbi 119 1 (DECID𝑥𝜑 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662  DECID wdc 778  wal 1285  wnf 1392  wex 1424  ∃*wmo 1946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949
This theorem is referenced by:  2moswapdc  2035
  Copyright terms: Public domain W3C validator