Theorem moexexdc 2110

Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
moexexdc.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑

Assertion

Ref	Expression
moexexdc	⊢ (DECID ∃𝑥𝜑 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Proof of Theorem moexexdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dc 835	. 2 ⊢ (DECID ∃𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑))
2		hbmo1 2064	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑥∃*𝑥𝜑)
3		hba1 1540	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∀𝑥∀𝑥∃*𝑦𝜓)
4		hbe1 1495	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑥∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
5	4	hbmo 2065	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑥∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
6	3, 5	hbim 1545	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
7	2, 6	hbim 1545	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ∀𝑥(∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
8		moexexdc.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
9	8	nfri 1519	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦𝜑)
10	9	hbmo 2065	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥𝜑)
11		mopick 2104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
12	11	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓)))
13	12	com3r 79	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
14	9, 10, 13	alrimdh 1479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
15		moim 2090	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
16	15	spsd 1538	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
17	14, 16	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
18	7, 17	exlimih 1593	. . . 4 ⊢ (∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
19	9	hbex 1636	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∀𝑦∃𝑥𝜑)
20		exsimpl 1617	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥𝜑)
21	19, 20	exlimih 1593	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥𝜑)
22	21	con3i 632	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → ¬ ∃𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
23		mon 2055	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
25	24	a1d 22	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
26	25	a1d 22	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
27	18, 26	jaoi 716	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑) → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
28	27	impd 254	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑) → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
29	1, 28	sylbi 121	1 ⊢ (DECID ∃𝑥𝜑 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708  DECID wdc 834  ∀wal 1351  Ⅎwnf 1460  ∃wex 1492  ∃*wmo 2027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030

This theorem is referenced by:  2moswapdc  2116