Theorem moexexdc 2129

Description: "At most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Jul-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
moexexdc.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑

Assertion

Ref	Expression
moexexdc	⊢ (DECID ∃𝑥𝜑 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Proof of Theorem moexexdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dc 836	. 2 ⊢ (DECID ∃𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑))
2		hbmo1 2083	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑥∃*𝑥𝜑)
3		hba1 1554	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∀𝑥∀𝑥∃*𝑦𝜓)
4		hbe1 1509	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑥∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
5	4	hbmo 2084	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑥∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
6	3, 5	hbim 1559	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → ∀𝑥(∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
7	2, 6	hbim 1559	. . . . 5 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))) → ∀𝑥(∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
8		moexexdc.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
9	8	nfri 1533	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦𝜑)
10	9	hbmo 2084	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥𝜑)
11		mopick 2123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
12	11	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓)))
13	12	com3r 79	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
14	9, 10, 13	alrimdh 1493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
15		moim 2109	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
16	15	spsd 1552	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
17	14, 16	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
18	7, 17	exlimih 1607	. . . 4 ⊢ (∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
19	9	hbex 1650	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥𝜑 → ∀𝑦∃𝑥𝜑)
20		exsimpl 1631	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥𝜑)
21	19, 20	exlimih 1607	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥𝜑)
22	21	con3i 633	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → ¬ ∃𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
23		mon 2074	. . . . . . 7 ⊢ (¬ ∃𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
24	22, 23	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
25	24	a1d 22	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
26	25	a1d 22	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
27	18, 26	jaoi 717	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑) → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
28	27	impd 254	. 2 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝜑) → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
29	1, 28	sylbi 121	1 ⊢ (DECID ∃𝑥𝜑 → ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709  DECID wdc 835  ∀wal 1362  Ⅎwnf 1474  ∃wex 1506  ∃*wmo 2046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049

This theorem is referenced by:  2moswapdc  2135