Theorem un0 3530

Description: The union of a class with the empty set is itself. Theorem 24 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
un0	⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Proof of Theorem un0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3500	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	biorfi 754	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅))
3	2	bicomi 132	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
4	3	uneqri 3351	1 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Syntax hints:   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3199  ∅c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-nul 3497

This theorem is referenced by:  un00  3543  disjssun  3560  difun2  3576  difdifdirss  3581  if0ab  3610  disjpr2  3737  prprc1  3784  diftpsn3  3819  iununir  4059  exmid1stab  4304  suc0  4514  sucprc  4515  fvun1  5721  fmptpr  5854  fvunsng  5856  fvsnun1  5859  fvsnun2  5860  fsnunfv  5863  fsnunres  5864  rdg0  6596  omv2  6676  unsnfidcex  7155  unfidisj  7157  undifdc  7159  ssfirab  7172  dju0en  7472  djuassen  7475  fzsuc2  10357  fseq1p1m1  10372  hashunlem  11111  ennnfonelem1  13089  setsresg  13181  setsslid  13194  lgsquadlem2  15877  gfsump1  16795