Theorem un0 3556

Description: The union of a class with the empty set is itself. Dual of inv1 3559. Theorem 24 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
un0	⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Proof of Theorem un0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	biorfi 758	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅))
3	2	bicomi 132	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
4	3	uneqri 3371	1 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Syntax hints:   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ∅c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  un00  3567  disjssun  3588  difun2  3607  difdifdirss  3612  if0ab  3641  disjpr2  3772  prprc1  3819  diftpsn3  3854  iununir  4094  exmid1stab  4343  suc0  4554  sucprc  4555  fresaunres2disj  5568  fvun1  5766  fmptpr  5901  fvunsng  5903  fvsnun1  5906  fvsnun2  5907  fsnunfv  5910  fsnunres  5911  rdg0  6652  omv2  6732  unsnfidcex  7221  unfidisj  7223  undifdc  7225  ssfirab  7238  dju0en  7564  djuassen  7567  fzsuc2  10469  fseq1p1m1  10484  hashunlem  11227  ballotfilemfp1  13214  ennnfonelem1  13281  setsresg  13373  setsslid  13386  gsump1  14140  birthdaylem2  16071  lgsquadlem2  16180