Theorem un0 3546

Description: The union of a class with the empty set is itself. Theorem 24 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
un0	⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Proof of Theorem un0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3516	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	biorfi 754	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅))
3	2	bicomi 132	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
4	3	uneqri 3365	1 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Syntax hints:   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  ∅c0 3512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-nul 3513

This theorem is referenced by:  un00  3559  disjssun  3576  difun2  3593  difdifdirss  3598  if0ab  3627  disjpr2  3758  prprc1  3805  diftpsn3  3840  iununir  4080  exmid1stab  4326  suc0  4537  sucprc  4538  fresaunres2disj  5550  fvun1  5748  fmptpr  5881  fvunsng  5883  fvsnun1  5886  fvsnun2  5887  fsnunfv  5890  fsnunres  5891  rdg0  6631  omv2  6711  unsnfidcex  7193  unfidisj  7195  undifdc  7197  ssfirab  7210  dju0en  7534  djuassen  7537  fzsuc2  10435  fseq1p1m1  10450  hashunlem  11193  ballotfilemfp1  13175  ennnfonelem1  13242  setsresg  13334  setsslid  13347  lgsquadlem2  16063  gfsump1  16980