Theorem un0 3556

Description: The union of a class with the empty set is itself. Dual of inv1 3559. Theorem 24 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
un0	⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

Proof of Theorem un0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3525	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	biorfi 758	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅))
3	2	bicomi 132	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ ∅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)
4	3	uneqri 3371	1 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  ∅c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-nul 3521

This theorem is used by:  un00  3567  disjssun  3588  difun2  3607  difdifdirss  3612  if0ab  3641  disjpr2  3773  prprc1  3821  diftpsn3  3856  iununir  4096  exmid1stab  4347  suc0  4558  sucprc  4559  fresaunres2disj  5573  fvun1  5772  fmptpr  5910  fvunsng  5912  fvsnun1  5915  fvsnun2  5916  fsnunfv  5919  fsnunres  5920  rdg0  6662  omv2  6742  unsnfidcex  7232  unfidisj  7234  undifdc  7236  ssfirab  7249  dju0en  7577  djuassen  7580  fzsuc2  10504  fseq1p1m1  10519  hashunlem  11267  ballotfilemfp1  13290  ennnfonelem1  13357  setsresg  13449  setsslid  13462  gsump1  14248  gsummptfidmsplit  14255  gsumsnfdcmn  14258  gsumresfi  14264  birthdaylem2  16238  lgsquadlem2  16414