Theorem pwv 3782

Description: The power class of the universe is the universe. Exercise 4.12(d) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 14-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
pwv	⊢ 𝒫 V = V

Proof of Theorem pwv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3159	. . . 4 ⊢ 𝑥 ⊆ V
2		vex 2724	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3	2	elpw 3559	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 V ↔ 𝑥 ⊆ V)
4	1, 3	mpbir 145	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ 𝒫 V
5	4, 2	2th 173	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 V ↔ 𝑥 ∈ V)
6	5	eqriv 2161	1 ⊢ 𝒫 V = V

Syntax hints:   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   ⊆ wss 3111  𝒫 cpw 3553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555

This theorem is referenced by:  univ  4448