Theorem rabeqdv 2815

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2813. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537

This theorem is used by:  suppvalfng  6480  suppvalfn  6481  suppsnopdc  6490  isacnm  7559  hashfibc  11297  elovmpowrd  11360  dfphi2  13018  lspfval  14774  lsppropd  14818  aspval  15064  psrval  15099  cncfval  15722  reldvg  15829  dvfvalap  15831  isuhgrm  16410  isushgrm  16411  uhgreq12g  16415  isuhgropm  16420  uhgr0vb  16423  uhgrun  16425  isupgren  16434  upgrop  16443  isumgren  16444  upgrun  16465  umgrun  16467  isuspgren  16496  isusgren  16497  isuspgropen  16503  isusgropen  16504  isausgren  16506  ausgrusgrben  16507  usgrstrrepeen  16570  vtxdgfi0e  16634  1loopgrvd2fi  16644  1hevtxdg1en  16647  clwwlknonmpo  16767  clwwlknon  16768  clwwlk0on0  16770