Theorem rabeqdv 2815

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2813. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537

This theorem is used by:  suppvalfng  6480  suppvalfn  6481  suppsnopdc  6490  isacnm  7560  hashfibc  11299  elovmpowrd  11362  dfphi2  13021  lspfval  14809  lsppropd  14853  aspval  15099  psrval  15134  cncfval  15764  reldvg  15871  dvfvalap  15873  isuhgrm  16478  isushgrm  16479  uhgreq12g  16483  isuhgropm  16488  uhgr0vb  16491  uhgrun  16493  isupgren  16502  upgrop  16511  isumgren  16512  upgrun  16533  umgrun  16535  isuspgren  16564  isusgren  16565  isuspgropen  16571  isusgropen  16572  isausgren  16574  ausgrusgrben  16575  usgrstrrepeen  16638  vtxdgfi0e  16702  1loopgrvd2fi  16712  1hevtxdg1en  16715  clwwlknonmpo  16835  clwwlknon  16836  clwwlk0on0  16838