Theorem rabeqdv 2809

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2807. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2807	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  {crab 2526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rab 2531

This theorem is referenced by:  suppvalfng  6455  suppvalfn  6456  suppsnopdc  6465  isacnm  7525  hashfibc  11237  elovmpowrd  11296  dfphi2  12948  lspfval  14668  lsppropd  14712  psrval  14946  cncfval  15569  reldvg  15676  dvfvalap  15678  isuhgrm  16198  isushgrm  16199  uhgreq12g  16203  isuhgropm  16208  uhgr0vb  16211  uhgrun  16213  isupgren  16222  upgrop  16231  isumgren  16232  upgrun  16253  umgrun  16255  isuspgren  16284  isusgren  16285  isuspgropen  16291  isusgropen  16292  isausgren  16294  ausgrusgrben  16295  usgrstrrepeen  16358  vtxdgfi0e  16422  1loopgrvd2fi  16432  1hevtxdg1en  16435  clwwlknonmpo  16555  clwwlknon  16556  clwwlk0on0  16558