Theorem rabeqdv 2807

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2805. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2805	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  {crab 2524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rab 2529

This theorem is referenced by:  suppvalfng  6440  suppvalfn  6441  suppsnopdc  6450  isacnm  7510  hashfibc  11207  elovmpowrd  11266  dfphi2  12917  lspfval  14536  lsppropd  14580  psrval  14814  cncfval  15437  reldvg  15544  dvfvalap  15546  isuhgrm  16066  isushgrm  16067  uhgreq12g  16071  isuhgropm  16076  uhgr0vb  16079  uhgrun  16081  isupgren  16090  upgrop  16099  isumgren  16100  upgrun  16121  umgrun  16123  isuspgren  16152  isusgren  16153  isuspgropen  16159  isusgropen  16160  isausgren  16162  ausgrusgrben  16163  usgrstrrepeen  16226  vtxdgfi0e  16290  1loopgrvd2fi  16300  1hevtxdg1en  16303  clwwlknonmpo  16423  clwwlknon  16424  clwwlk0on0  16426