Theorem rabeqdv 2815

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2813. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537

This theorem is used by:  suppvalfng  6484  suppvalfn  6485  suppsnopdc  6494  isacnm  7565  hashfibc  11305  elovmpowrd  11368  dfphi2  13027  lspfval  14834  lsppropd  14878  aspval  15124  psrval  15159  cncfval  15798  reldvg  15905  dvfvalap  15907  isuhgrm  16517  isushgrm  16518  uhgreq12g  16522  isuhgropm  16527  uhgr0vb  16530  uhgrun  16532  isupgren  16541  upgrop  16550  isumgren  16551  upgrun  16572  umgrun  16574  isuspgren  16603  isusgren  16604  isuspgropen  16610  isusgropen  16611  isausgren  16613  ausgrusgrben  16614  usgrstrrepeen  16677  vtxdgfi0e  16741  1loopgrvd2fi  16751  1hevtxdg1en  16754  clwwlknonmpo  16874  clwwlknon  16875  clwwlk0on0  16877