Theorem rabeqdv 2815

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2813. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402  {crab 2532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537

This theorem is used by:  suppvalfng  6484  suppvalfn  6485  suppsnopdc  6494  isacnm  7565  hashfibc  11304  elovmpowrd  11367  dfphi2  13026  lspfval  14833  lsppropd  14877  aspval  15123  psrval  15160  psrbagmaxlemfi  15180  mvrfval  15214  cncfval  15815  reldvg  15922  dvfvalap  15924  isuhgrm  16534  isushgrm  16535  uhgreq12g  16539  isuhgropm  16544  uhgr0vb  16547  uhgrun  16549  isupgren  16558  upgrop  16567  isumgren  16568  upgrun  16589  umgrun  16591  isuspgren  16620  isusgren  16621  isuspgropen  16627  isusgropen  16628  isausgren  16630  ausgrusgrben  16631  usgrstrrepeen  16694  vtxdgfi0e  16758  1loopgrvd2fi  16768  1hevtxdg1en  16771  clwwlknonmpo  16891  clwwlknon  16892  clwwlk0on0  16894