Theorem rabeqdv 2815

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2813. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402  {crab 2532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rab 2537

This theorem is referenced by:  suppvalfng  6470  suppvalfn  6471  suppsnopdc  6480  isacnm  7549  hashfibc  11261  elovmpowrd  11324  dfphi2  12976  lspfval  14697  lsppropd  14741  psrval  14973  cncfval  15596  reldvg  15703  dvfvalap  15705  isuhgrm  16226  isushgrm  16227  uhgreq12g  16231  isuhgropm  16236  uhgr0vb  16239  uhgrun  16241  isupgren  16250  upgrop  16259  isumgren  16260  upgrun  16281  umgrun  16283  isuspgren  16312  isusgren  16313  isuspgropen  16319  isusgropen  16320  isausgren  16322  ausgrusgrben  16323  usgrstrrepeen  16386  vtxdgfi0e  16450  1loopgrvd2fi  16460  1hevtxdg1en  16463  clwwlknonmpo  16583  clwwlknon  16584  clwwlk0on0  16586