Theorem rabeqdv 2797

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2795. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2795	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  {crab 2515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rab 2520

This theorem is referenced by:  suppvalfng  6418  suppvalfn  6419  suppsnopdc  6428  isacnm  7478  elovmpowrd  11221  dfphi2  12872  lspfval  14484  lsppropd  14528  psrval  14762  cncfval  15383  reldvg  15490  dvfvalap  15492  isuhgrm  16012  isushgrm  16013  uhgreq12g  16017  isuhgropm  16022  uhgr0vb  16025  uhgrun  16027  isupgren  16036  upgrop  16045  isumgren  16046  upgrun  16067  umgrun  16069  isuspgren  16098  isusgren  16099  isuspgropen  16105  isusgropen  16106  isausgren  16108  ausgrusgrben  16109  usgrstrrepeen  16172  vtxdgfi0e  16236  1loopgrvd2fi  16246  1hevtxdg1en  16249  clwwlknonmpo  16369  clwwlknon  16370  clwwlk0on0  16372