Theorem rabeqdv 2796

Description: Equality of restricted class abstractions. Deduction form of rabeq 2794. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rabeqdv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rabeqdv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rabeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqdv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2794	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397  {crab 2514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rab 2519

This theorem is referenced by:  isacnm  7417  elovmpowrd  11154  dfphi2  12791  lspfval  14401  lsppropd  14445  psrval  14679  cncfval  15295  reldvg  15402  dvfvalap  15404  isuhgrm  15921  isushgrm  15922  uhgreq12g  15926  isuhgropm  15931  uhgr0vb  15934  uhgrun  15936  isupgren  15945  upgrop  15954  isumgren  15955  upgrun  15976  umgrun  15978  isuspgren  16007  isusgren  16008  isuspgropen  16014  isusgropen  16015  isausgren  16017  ausgrusgrben  16018  usgrstrrepeen  16081  vtxdgfi0e  16145  1loopgrvd2fi  16155  1hevtxdg1en  16158  clwwlknonmpo  16278  clwwlknon  16279  clwwlk0on0  16281