ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfvalap GIF version

Theorem dvfvalap 14533
Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
Assertion
Ref Expression
dvfvalap ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴,π‘₯,𝑧   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑧   𝑀,𝑆,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑧,𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑀)

Proof of Theorem dvfvalap
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvap 14509 . . . 4 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
21a1i 9 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
3 dvval.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
43oveq1i 5900 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύt 𝑠) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠)
5 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑠 = 𝑆)
65oveq2d 5906 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = (𝐾 β†Ύt 𝑆))
7 dvval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
86, 7eqtr4di 2239 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
94, 8eqtr3id 2235 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
109fveq2d 5533 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠)) = (intβ€˜π‘‡))
11 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑓 = 𝐹)
1211dmeqd 4843 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
13 simpl2 1002 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1413fdmd 5386 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eqtrd 2221 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
1610, 15fveq12d 5536 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓) = ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄))
1715rabeqdv 2745 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} = {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯})
1811fveq1d 5531 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
1911fveq1d 5531 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
2018, 19oveq12d 5908 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
2120oveq1d 5905 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
2217, 21mpteq12dv 4099 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
2322oveq1d 5905 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
2423xpeq2d 4664 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
2516, 24iuneq12d 3924 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
26 simpr 110 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
2726oveq2d 5906 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
28 simp1 998 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
29 cnex 7952 . . . . 5 β„‚ ∈ V
3029elpw2 4171 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 βŠ† β„‚)
3128, 30sylibr 134 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
3229a1i 9 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ β„‚ ∈ V)
33 simp2 999 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
34 simp3 1000 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
35 elpm2r 6683 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
3632, 31, 33, 34, 35syl22anc 1249 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
373cntoptopon 14415 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
38 resttopon 14054 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
3937, 28, 38sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
407, 39eqeltrid 2275 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
41 topontop 13897 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑇 ∈ Top)
4240, 41syl 14 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ Top)
43 toponuni 13898 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
4440, 43syl 14 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
4534, 44sseqtrd 3207 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
46 eqid 2188 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
4746ntropn 14000 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ 𝑇)
4842, 45, 47syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ 𝑇)
49 xpexg 4754 . . . . 5 ((((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ 𝑇 ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) ∈ V)
5048, 32, 49syl2anc 411 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) ∈ V)
51 limccl 14511 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚
52 xpss2 4751 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚ β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
5453rgenw 2544 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
55 ss2iun 3915 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚)
57 iunxpconst 4700 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
5856, 57sseqtri 3203 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
5958a1i 9 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
6050, 59ssexd 4157 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
612, 25, 27, 31, 36, 60ovmpodx 6017 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
6261, 59eqsstrd 3205 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
6361, 62jca 306 1 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  βˆ€wral 2467  {crab 2471  Vcvv 2751   βŠ† wss 3143  π’« cpw 3589  {csn 3606  βˆͺ cuni 3823  βˆͺ ciun 3900   class class class wbr 4017   ↦ cmpt 4078   Γ— cxp 4638  dom cdm 4640   ∘ ccom 4644  βŸΆwf 5226  β€˜cfv 5230  (class class class)co 5890   ∈ cmpo 5892   ↑pm cpm 6666  β„‚cc 7826   βˆ’ cmin 8145   # cap 8555   / cdiv 8646  abscabs 11023   β†Ύt crest 12709  MetOpencmopn 13814  Topctop 13880  TopOnctopon 13893  intcnt 13976   limβ„‚ climc 14506   D cdv 14507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-isom 5239  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-map 6667  df-pm 6668  df-sup 7000  df-inf 7001  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-xneg 9789  df-xadd 9790  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-rest 12711  df-topgen 12730  df-psmet 13816  df-xmet 13817  df-met 13818  df-bl 13819  df-mopn 13820  df-top 13881  df-topon 13894  df-bases 13926  df-ntr 13979  df-limced 14508  df-dvap 14509
This theorem is referenced by:  eldvap  14534  dvbssntrcntop  14536
  Copyright terms: Public domain W3C validator