Theorem dvfvalap 13444

Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvval.t	⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
dvval.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
dvfvalap	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑤,𝐹,𝑥,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑧   𝑥,𝑇

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvfvalap

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-dvap 13420	. . . 4 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
3		dvval.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
4	3	oveq1i 5863	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↾t 𝑠) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)
5		simprl 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝑠 = 𝑆)
6	5	oveq2d 5869	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝐾 ↾t 𝑠) = (𝐾 ↾t 𝑆))
7		dvval.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐾 ↾t 𝑆)
8	6, 7	eqtr4di 2221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝐾 ↾t 𝑠) = 𝑇)
9	4, 8	eqtr3id 2217	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠) = 𝑇)
10	9	fveq2d 5500	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)) = (int‘𝑇))
11		simprr 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝑓 = 𝐹)
12	11	dmeqd 4813	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
13		simpl2 996	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
14	13	fdmd 5354	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝐹 = 𝐴)
15	12, 14	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = 𝐴)
16	10, 15	fveq12d 5503	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘𝑇)‘𝐴))
17	15	rabeqdv 2724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} = {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥})
18	11	fveq1d 5498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
19	11	fveq1d 5498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
20	18, 19	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
21	20	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
22	17, 21	mpteq12dv 4071	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
23	22	oveq1d 5868	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
24	23	xpeq2d 4635	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
25	16, 24	iuneq12d 3897	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
26		simpr 109	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
27	26	oveq2d 5869	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
28		simp1 992	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29		cnex 7898	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
30	29	elpw2 4143	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
31	28, 30	sylibr 133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
32	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ℂ ∈ V)
33		simp2 993	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34		simp3 994	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
35		elpm2r 6644	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36	32, 31, 33, 34, 35	syl22anc 1234	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37	3	cntoptopon 13326	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
38		resttopon 12965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
39	37, 28, 38	sylancr 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝐾 ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
40	7, 39	eqeltrid 2257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
41		topontop 12806	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑇 ∈ Top)
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑇 ∈ Top)
43		toponuni 12807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
44	40, 43	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝑆 = ∪ 𝑇)
45	34, 44	sseqtrd 3185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇)
46		eqid 2170	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
47	46	ntropn 12911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝑇) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ 𝑇)
48	42, 45, 47	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ 𝑇)
49		xpexg 4725	. . . . 5 ⊢ ((((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ 𝑇 ∧ ℂ ∈ V) → (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) ∈ V)
50	48, 32, 49	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) ∈ V)
51		limccl 13422	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ
52		xpss2 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ))
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
54	53	rgenw 2525	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
55		ss2iun 3888	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ))
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ)
57		iunxpconst 4671	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ) = (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
58	56, 57	sseqtri 3181	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
59	58	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
60	50, 59	ssexd 4129	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
61	2, 25, 27, 31, 36, 60	ovmpodx 5979	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
62	61, 59	eqsstrd 3183	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
63	61, 62	jca 304	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ 𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ 𝐴 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  {crab 2452  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121  𝒫 cpw 3566  {csn 3583  ∪ cuni 3796  ∪ ciun 3873   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050   × cxp 4609  dom cdm 4611   ∘ ccom 4615  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ∈ cmpo 5855   ↑_pm cpm 6627  ℂcc 7772   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  abscabs 10961   ↾_t crest 12579  MetOpencmopn 12779  Topctop 12789  TopOnctopon 12802  intcnt 12887   lim_ℂ climc 13417   D cdv 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pm 6629  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  eldvap  13445  dvbssntrcntop  13447