ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfvalap GIF version

Theorem dvfvalap 14338
Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
Assertion
Ref Expression
dvfvalap ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝐴,π‘₯,𝑧   𝑀,𝐹,π‘₯,𝑧   𝑀,𝑆,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑧,𝑀)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑀)

Proof of Theorem dvfvalap
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvap 14314 . . . 4 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
21a1i 9 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
3 dvval.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
43oveq1i 5888 . . . . . . 7 (𝐾 β†Ύt 𝑠) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠)
5 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑠 = 𝑆)
65oveq2d 5894 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = (𝐾 β†Ύt 𝑆))
7 dvval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐾 β†Ύt 𝑆)
86, 7eqtr4di 2228 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
94, 8eqtr3id 2224 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠) = 𝑇)
109fveq2d 5521 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠)) = (intβ€˜π‘‡))
11 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝑓 = 𝐹)
1211dmeqd 4831 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
13 simpl2 1001 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
1413fdmd 5374 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eqtrd 2210 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
1610, 15fveq12d 5524 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓) = ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄))
1715rabeqdv 2733 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} = {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯})
1811fveq1d 5519 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
1911fveq1d 5519 . . . . . . . . 9 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
2018, 19oveq12d 5896 . . . . . . . 8 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
2120oveq1d 5893 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
2217, 21mpteq12dv 4087 . . . . . 6 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
2322oveq1d 5893 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
2423xpeq2d 4652 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
2516, 24iuneq12d 3912 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
26 simpr 110 . . . 4 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ 𝑠 = 𝑆)
2726oveq2d 5894 . . 3 (((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
28 simp1 997 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
29 cnex 7938 . . . . 5 β„‚ ∈ V
3029elpw2 4159 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 βŠ† β„‚)
3128, 30sylibr 134 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
3229a1i 9 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ β„‚ ∈ V)
33 simp2 998 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
34 simp3 999 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
35 elpm2r 6669 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
3632, 31, 33, 34, 35syl22anc 1239 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
373cntoptopon 14220 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
38 resttopon 13859 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
3937, 28, 38sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
407, 39eqeltrid 2264 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
41 topontop 13702 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑇 ∈ Top)
4240, 41syl 14 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑇 ∈ Top)
43 toponuni 13703 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
4440, 43syl 14 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝑆 = βˆͺ 𝑇)
4534, 44sseqtrd 3195 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇)
46 eqid 2177 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
4746ntropn 13805 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑇) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ 𝑇)
4842, 45, 47syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ 𝑇)
49 xpexg 4742 . . . . 5 ((((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) ∈ 𝑇 ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) ∈ V)
5048, 32, 49syl2anc 411 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚) ∈ V)
51 limccl 14316 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚
52 xpss2 4739 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚ β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
5453rgenw 2532 . . . . . . 7 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚)
55 ss2iun 3903 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† ({π‘₯} Γ— β„‚) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚)
57 iunxpconst 4688 . . . . . 6 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— β„‚) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
5856, 57sseqtri 3191 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)
5958a1i 9 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
6050, 59ssexd 4145 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
612, 25, 27, 31, 36, 60ovmpodx 6004 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
6261, 59eqsstrd 3193 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚))
6361, 62jca 306 1 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† 𝑆) β†’ ((𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ 𝐴 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∧ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (((intβ€˜π‘‡)β€˜π΄) Γ— β„‚)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  π’« cpw 3577  {csn 3594  βˆͺ cuni 3811  βˆͺ ciun 3888   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   Γ— cxp 4626  dom cdm 4628   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878   ∈ cmpo 5880   ↑pm cpm 6652  β„‚cc 7812   βˆ’ cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632  abscabs 11009   β†Ύt crest 12694  MetOpencmopn 13619  Topctop 13685  TopOnctopon 13698  intcnt 13781   limβ„‚ climc 14311   D cdv 14312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-map 6653  df-pm 6654  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13621  df-xmet 13622  df-met 13623  df-bl 13624  df-mopn 13625  df-top 13686  df-topon 13699  df-bases 13731  df-ntr 13784  df-limced 14313  df-dvap 14314
This theorem is referenced by:  eldvap  14339  dvbssntrcntop  14341
  Copyright terms: Public domain W3C validator