ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfvalap GIF version

Theorem dvfvalap 13730
Description: Value and set bounds on the derivative operator. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvval.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
dvval.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
Assertion
Ref Expression
dvfvalap ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴,𝑥,𝑧   𝑤,𝐹,𝑥,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑧   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem dvfvalap
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvap 13706 . . . 4 D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
21a1i 9 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))))
3 dvval.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
43oveq1i 5875 . . . . . . 7 (𝐾t 𝑠) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)
5 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑠 = 𝑆)
65oveq2d 5881 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝐾t 𝑠) = (𝐾t 𝑆))
7 dvval.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
86, 7eqtr4di 2226 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝐾t 𝑠) = 𝑇)
94, 8eqtr3id 2222 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠) = 𝑇)
109fveq2d 5511 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)) = (int‘𝑇))
11 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑓 = 𝐹)
1211dmeqd 4822 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
13 simpl2 1001 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1413fdmd 5364 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → dom 𝐹 = 𝐴)
1512, 14eqtrd 2208 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → dom 𝑓 = 𝐴)
1610, 15fveq12d 5514 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘𝑇)‘𝐴))
1715rabeqdv 2729 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → {𝑤 ∈ dom 𝑓𝑤 # 𝑥} = {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥})
1811fveq1d 5509 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑓𝑧) = (𝐹𝑧))
1911fveq1d 5509 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
2018, 19oveq12d 5883 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)))
2120oveq1d 5880 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥)) = (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
2217, 21mpteq12dv 4080 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))))
2322oveq1d 5880 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) = ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥))
2423xpeq2d 4644 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
2516, 24iuneq12d 3906 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ (𝑠 = 𝑆𝑓 = 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓𝑧) − (𝑓𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
26 simpr 110 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
2726oveq2d 5881 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑠 = 𝑆) → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
28 simp1 997 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
29 cnex 7910 . . . . 5 ℂ ∈ V
3029elpw2 4152 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
3128, 30sylibr 134 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
3229a1i 9 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ℂ ∈ V)
33 simp2 998 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
34 simp3 999 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
35 elpm2r 6656 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
3632, 31, 33, 34, 35syl22anc 1239 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
373cntoptopon 13612 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
38 resttopon 13251 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
3937, 28, 38sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
407, 39eqeltrid 2262 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆))
41 topontop 13092 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑇 ∈ Top)
4240, 41syl 14 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑇 ∈ Top)
43 toponuni 13093 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
4440, 43syl 14 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 = 𝑇)
4534, 44sseqtrd 3191 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 𝑇)
46 eqid 2175 . . . . . . 7 𝑇 = 𝑇
4746ntropn 13197 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝐴 𝑇) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ 𝑇)
4842, 45, 47syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ 𝑇)
49 xpexg 4734 . . . . 5 ((((int‘𝑇)‘𝐴) ∈ 𝑇 ∧ ℂ ∈ V) → (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) ∈ V)
5048, 32, 49syl2anc 411 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ) ∈ V)
51 limccl 13708 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) ⊆ ℂ
52 xpss2 4731 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥) ⊆ ℂ → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
5453rgenw 2530 . . . . . . 7 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ)
55 ss2iun 3897 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ ({𝑥} × ℂ) → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ))
5654, 55ax-mp 5 . . . . . 6 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ)
57 iunxpconst 4680 . . . . . 6 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ℂ) = (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
5856, 57sseqtri 3187 . . . . 5 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)
5958a1i 9 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
6050, 59ssexd 4138 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∈ V)
612, 25, 27, 31, 36, 60ovmpodx 5991 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)))
6261, 59eqsstrd 3189 . 2 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ))
6361, 62jca 306 1 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑆 D 𝐹) = 𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐴)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤𝐴𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) lim 𝑥)) ∧ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (((int‘𝑇)‘𝐴) × ℂ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453  {crab 2457  Vcvv 2735  wss 3127  𝒫 cpw 3572  {csn 3589   cuni 3805   ciun 3882   class class class wbr 3998  cmpt 4059   × cxp 4618  dom cdm 4620  ccom 4624  wf 5204  cfv 5208  (class class class)co 5865  cmpo 5867  pm cpm 6639  cc 7784  cmin 8102   # cap 8512   / cdiv 8602  abscabs 10974  t crest 12619  MetOpencmopn 13065  Topctop 13075  TopOnctopon 13088  intcnt 13173   lim climc 13703   D cdv 13704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-map 6640  df-pm 6641  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-xneg 9743  df-xadd 9744  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-rest 12621  df-topgen 12640  df-psmet 13067  df-xmet 13068  df-met 13069  df-bl 13070  df-mopn 13071  df-top 13076  df-topon 13089  df-bases 13121  df-ntr 13176  df-limced 13705  df-dvap 13706
This theorem is referenced by:  eldvap  13731  dvbssntrcntop  13733
  Copyright terms: Public domain W3C validator