ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfphi2 GIF version

Theorem dfphi2 10975
Description: Alternate definition of the Euler ϕ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dfphi2 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem dfphi2
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 8988 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 phi1 10974 . . . . 5 (ϕ‘1) = 1
3 0z 8656 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
4 hashsng 10040 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → (♯‘{0}) = 1)
53, 4ax-mp 7 . . . . 5 (♯‘{0}) = 1
6 rabid2 2536 . . . . . . 7 ({0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1} ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 gcd 1) = 1)
7 elsni 3440 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
87oveq1d 5605 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = (0 gcd 1))
9 gcd1 10757 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → (0 gcd 1) = 1)
103, 9ax-mp 7 . . . . . . . 8 (0 gcd 1) = 1
118, 10syl6eq 2131 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 1) = 1)
126, 11mprgbir 2427 . . . . . 6 {0} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}
1312fveq2i 5255 . . . . 5 (♯‘{0}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
142, 5, 133eqtr2i 2109 . . . 4 (ϕ‘1) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
15 fveq2 5252 . . . 4 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (ϕ‘1))
16 oveq2 5598 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = (0..^1))
17 fzo01 9515 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
1816, 17syl6eq 2131 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (0..^𝑁) = {0})
19 oveq2 5598 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑥 gcd 1))
2019eqeq1d 2091 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑥 gcd 1) = 1))
2118, 20rabeqbidv 2607 . . . . 5 (𝑁 = 1 → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1})
2221fveq2d 5256 . . . 4 (𝑁 = 1 → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ {0} ∣ (𝑥 gcd 1) = 1}))
2314, 15, 223eqtr4a 2141 . . 3 (𝑁 = 1 → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
24 eluz2nn 8951 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
25 phival 10968 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
2624, 25syl 14 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
27 fzossfz 9464 . . . . . . . . . . 11 (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁)
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁))
29 sseqin2 3203 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (1...𝑁) ↔ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3028, 29sylib 120 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
31 fzo0ss1 9473 . . . . . . . . . 10 (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
32 sseqin2 3203 . . . . . . . . . 10 ((1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁) ↔ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁))
3331, 32mpbi 143 . . . . . . . . 9 ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = (1..^𝑁)
3430, 33syl6eqr 2133 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) = ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)))
3534rabeqdv 2606 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
36 inrab2 3255 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((1...𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
37 inrab2 3255 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∩ (1..^𝑁)) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}
3835, 36, 373eqtr4g 2140 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)))
39 phibndlem 10971 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
40 eluzelz 8922 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 fzoval 9448 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4240, 41syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1..^𝑁) = (1...(𝑁 − 1)))
4339, 42sseqtr4d 3047 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
44 df-ss 2997 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
4543, 44sylib 120 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
46 gcd0id 10749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
4740, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
48 eluzelre 8923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
49 eluzge2nn0 8952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5049nn0ge0d 8620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝑁)
5148, 50absidd 10426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
5247, 51eqtrd 2115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) = 𝑁)
53 eluz2b3 8985 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
5453simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
5552, 54eqnetrd 2273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
5655adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (0 gcd 𝑁) ≠ 1)
577oveq1d 5605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {0} → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5857, 17eleq2s 2177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) = (0 gcd 𝑁))
5958neeq1d 2267 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^1) → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (0 gcd 𝑁) ≠ 1))
6056, 59syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
6160necon2bd 2307 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → ¬ 𝑥 ∈ (0..^1)))
62 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
63 1z 8671 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
64 fzospliti 9475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6562, 63, 64sylancl 404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ (0..^1) ∨ 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6665ord 676 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (¬ 𝑥 ∈ (0..^1) → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6761, 66syld 44 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
6867ralrimiva 2440 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
69 rabss 3082 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1..^𝑁)))
7068, 69sylibr 132 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁))
71 df-ss 2997 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1..^𝑁) ↔ ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7270, 71sylib 120 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ∩ (1..^𝑁)) = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7338, 45, 723eqtr3d 2123 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} = {𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1})
7473fveq2d 5256 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (♯‘{𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7526, 74eqtrd 2115 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
7623, 75jaoi 669 . 2 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
771, 76sylbi 119 1 (𝑁 ∈ ℕ → (ϕ‘𝑁) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wral 2353  {crab 2357  cin 2983  wss 2984  {csn 3422  cfv 4968  (class class class)co 5590  0cc0 7252  1c1 7253  cmin 7555  cn 8315  2c2 8365  cz 8645  cuz 8913  ...cfz 9318  ..^cfzo 9442  chash 10017  abscabs 10256   gcd cgcd 10717  ϕcphi 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365  ax-cnex 7338  ax-resscn 7339  ax-1cn 7340  ax-1re 7341  ax-icn 7342  ax-addcl 7343  ax-addrcl 7344  ax-mulcl 7345  ax-mulrcl 7346  ax-addcom 7347  ax-mulcom 7348  ax-addass 7349  ax-mulass 7350  ax-distr 7351  ax-i2m1 7352  ax-0lt1 7353  ax-1rid 7354  ax-0id 7355  ax-rnegex 7356  ax-precex 7357  ax-cnre 7358  ax-pre-ltirr 7359  ax-pre-ltwlin 7360  ax-pre-lttrn 7361  ax-pre-apti 7362  ax-pre-ltadd 7363  ax-pre-mulgt0 7364  ax-pre-mulext 7365  ax-arch 7366  ax-caucvg 7367
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-iord 4156  df-on 4158  df-ilim 4159  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4406  df-rel 4407  df-cnv 4408  df-co 4409  df-dm 4410  df-rn 4411  df-res 4412  df-ima 4413  df-iota 4933  df-fun 4970  df-fn 4971  df-f 4972  df-f1 4973  df-fo 4974  df-f1o 4975  df-fv 4976  df-riota 5546  df-ov 5593  df-oprab 5594  df-mpt2 5595  df-1st 5845  df-2nd 5846  df-recs 6001  df-frec 6087  df-1o 6112  df-er 6221  df-en 6387  df-dom 6388  df-fin 6389  df-sup 6585  df-pnf 7426  df-mnf 7427  df-xr 7428  df-ltxr 7429  df-le 7430  df-sub 7557  df-neg 7558  df-reap 7951  df-ap 7958  df-div 8037  df-inn 8316  df-2 8374  df-3 8375  df-4 8376  df-n0 8565  df-z 8646  df-uz 8914  df-q 8999  df-rp 9029  df-fz 9319  df-fzo 9443  df-fl 9565  df-mod 9618  df-iseq 9740  df-iexp 9791  df-ihash 10018  df-cj 10102  df-re 10103  df-im 10104  df-rsqrt 10257  df-abs 10258  df-dvds 10576  df-gcd 10718  df-phi 10966
This theorem is referenced by:  phimullem  10980  hashgcdeq  10983
  Copyright terms: Public domain W3C validator