ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldvg GIF version

Theorem reldvg 14151
Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
reldvg ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))

Proof of Theorem reldvg
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑀 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 cnex 7935 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
32elpw2 4158 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 βŠ† β„‚)
41, 3sylibr 134 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
5 simpr 110 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
6 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
76cntoptop 14036 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top
87a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top)
94elexd 2751 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ V)
10 resttop 13673 . . . . . . . 8 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
118, 9, 10syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
12 elpmi 6667 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆))
1312simprd 114 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
1413adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
156cntoptopon 14035 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1615toponunii 13520 . . . . . . . . . 10 β„‚ = βˆͺ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
1716restuni 13675 . . . . . . . . 9 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
188, 1, 17syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
1914, 18sseqtrd 3194 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
20 eqid 2177 . . . . . . . 8 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)
2120ntrss3 13626 . . . . . . 7 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
2211, 19, 21syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
23 uniexg 4440 . . . . . . 7 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top β†’ βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ V)
24 elpw2g 4157 . . . . . . 7 (βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ V β†’ (((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ↔ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
2511, 23, 243syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ↔ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
2622, 25mpbird 167 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
27 vex 2741 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
2827snex 4186 . . . . . . . 8 {π‘₯} ∈ V
29 limccl 14131 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚
302, 29ssexi 4142 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) ∈ V
3128, 30xpex 4742 . . . . . . 7 ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V
3231rgenw 2532 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V
3332a1i 9 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
34 iunexg 6120 . . . . 5 ((((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
3526, 33, 34syl2anc 411 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
36 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ 𝑠 = 𝑆)
3736oveq2d 5891 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
3837fveq2d 5520 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠)) = (intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
39 dmeq 4828 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
4039adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
4138, 40fveq12d 5523 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓) = ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹))
4240rabeqdv 2732 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} = {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
43 fveq1 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4443adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
45 fveq1 5515 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4645adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4744, 46oveq12d 5893 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
4847oveq1d 5890 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4942, 48mpteq12dv 4086 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
5049oveq1d 5890 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
5150xpeq2d 4651 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
5241, 51iuneq12d 3911 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
53 oveq2 5883 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
54 df-dvap 14129 . . . . 5 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
5552, 53, 54ovmpox 6003 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
564, 5, 35, 55syl3anc 1238 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
57 relxp 4736 . . . . . 6 Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
5857rgenw 2532 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
59 reliun 4748 . . . . 5 (Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
6058, 59mpbir 146 . . . 4 Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
61 df-rel 4634 . . . 4 (Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V))
6260, 61mpbi 145 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V)
6356, 62eqsstrdi 3208 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (V Γ— V))
64 df-rel 4634 . 2 (Rel (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (V Γ— V))
6563, 64sylibr 134 1 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2738   βŠ† wss 3130  π’« cpw 3576  {csn 3593  βˆͺ cuni 3810  βˆͺ ciun 3887   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065   Γ— cxp 4625  dom cdm 4627   ∘ ccom 4631  Rel wrel 4632  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ↑pm cpm 6649  β„‚cc 7809   βˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  abscabs 11006   β†Ύt crest 12688  MetOpencmopn 13448  Topctop 13500  intcnt 13596   limβ„‚ climc 14126   D cdv 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  dvfgg  14160  dvidlemap  14163  dvmulxxbr  14169  dviaddf  14172  dvimulf  14173  dvcoapbr  14174
  Copyright terms: Public domain W3C validator