Theorem reldvg 15544

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑤 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		cnex 8251	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	elpw2 4269	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
6		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
7	6	cntoptop 15398	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top)
9	4	elexd 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
10		resttop 15035	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12		elpmi 6901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
15	6	cntoptopon 15397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	toponunii 14882	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	restuni 15037	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	8, 1, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19	14, 18	sseqtrd 3276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
20		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
21	20	ntrss3 14988	. . . . . . 7 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
22	11, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
23		uniexg 4560	. . . . . . 7 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top → ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V)
24		elpw2g 4268	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
27		vex 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	snex 4298	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
29		limccl 15524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ
30	2, 29	ssexi 4248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ∈ V
31	28, 30	xpex 4866	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
32	31	rgenw 2597	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
33	32	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
34		iunexg 6312	. . . . 5 ⊢ ((((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
35	26, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑠 = 𝑆)
37	36	oveq2d 6066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
38	37	fveq2d 5674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)) = (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
39		dmeq 4956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → dom 𝑓 = dom 𝐹)
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
41	38, 40	fveq12d 5677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
42	40	rabeqdv 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} = {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
43		fveq1 5669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
45		fveq1 5669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
47	44, 46	oveq12d 6068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
48	47	oveq1d 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
49	42, 48	mpteq12dv 4192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
50	49	oveq1d 6065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
51	50	xpeq2d 4773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
52	41, 51	iuneq12d 4015	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
53		oveq2 6058	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
54		df-dvap 15522	. . . . 5 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
55	52, 53, 54	ovmpox 6182	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
57		relxp 4859	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
58	57	rgenw 2597	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
59		reliun 4873	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
61		df-rel 4756	. . . 4 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V))
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V)
63	56, 62	eqsstrdi 3290	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
64		df-rel 4756	. 2 ⊢ (Rel (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
65	63, 64	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  {crab 2524  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669  {csn 3689  ∪ cuni 3914  ∪ ciun 3991   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171   × cxp 4747  dom cdm 4749   ∘ ccom 4753  Rel wrel 4754  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ↑_pm cpm 6883  ℂcc 8125   − cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946  abscabs 11682   ↾_t crest 13452  MetOpencmopn 14689  Topctop 14862  intcnt 14958   lim_ℂ climc 15519   D cdv 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-map 6884  df-pm 6885  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-limced 15521  df-dvap 15522

This theorem is referenced by:  dvfgg  15553  dvidlemap  15556  dvidrelem  15557  dvidsslem  15558  dvmulxxbr  15567  dviaddf  15570  dvimulf  15571  dvcoapbr  15572