Theorem reldvg 14999

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑤 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		cnex 8020	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	elpw2 4191	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
6		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
7	6	cntoptop 14853	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top)
9	4	elexd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
10		resttop 14490	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12		elpmi 6735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
15	6	cntoptopon 14852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	toponunii 14337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	restuni 14492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	8, 1, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19	14, 18	sseqtrd 3222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
20		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
21	20	ntrss3 14443	. . . . . . 7 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
22	11, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
23		uniexg 4475	. . . . . . 7 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top → ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V)
24		elpw2g 4190	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
27		vex 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	snex 4219	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
29		limccl 14979	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ
30	2, 29	ssexi 4172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ∈ V
31	28, 30	xpex 4779	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
32	31	rgenw 2552	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
33	32	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
34		iunexg 6185	. . . . 5 ⊢ ((((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
35	26, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑠 = 𝑆)
37	36	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
38	37	fveq2d 5565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)) = (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
39		dmeq 4867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → dom 𝑓 = dom 𝐹)
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
41	38, 40	fveq12d 5568	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
42	40	rabeqdv 2757	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} = {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
43		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
45		fveq1 5560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
47	44, 46	oveq12d 5943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
48	47	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
49	42, 48	mpteq12dv 4116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
50	49	oveq1d 5940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
51	50	xpeq2d 4688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
52	41, 51	iuneq12d 3941	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
53		oveq2 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
54		df-dvap 14977	. . . . 5 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
55	52, 53, 54	ovmpox 6055	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
57		relxp 4773	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
58	57	rgenw 2552	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
59		reliun 4785	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
61		df-rel 4671	. . . 4 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V))
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V)
63	56, 62	eqsstrdi 3236	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
64		df-rel 4671	. 2 ⊢ (Rel (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
65	63, 64	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  {crab 2479  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3606  {csn 3623  ∪ cuni 3840  ∪ ciun 3917   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095   × cxp 4662  dom cdm 4664   ∘ ccom 4668  Rel wrel 4669  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_pm cpm 6717  ℂcc 7894   − cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716  abscabs 11179   ↾_t crest 12941  MetOpencmopn 14173  Topctop 14317  intcnt 14413   lim_ℂ climc 14974   D cdv 14975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pm 6719  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-limced 14976  df-dvap 14977

This theorem is referenced by:  dvfgg  15008  dvidlemap  15011  dvidrelem  15012  dvidsslem  15013  dvmulxxbr  15022  dviaddf  15025  dvimulf  15026  dvcoapbr  15027