Theorem reldvg 15353

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑤 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		cnex 8123	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	elpw2 4241	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
6		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
7	6	cntoptop 15207	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top)
9	4	elexd 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
10		resttop 14844	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12		elpmi 6814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
15	6	cntoptopon 15206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	toponunii 14691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	restuni 14846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	8, 1, 17	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19	14, 18	sseqtrd 3262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
20		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
21	20	ntrss3 14797	. . . . . . 7 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
22	11, 19, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
23		uniexg 4530	. . . . . . 7 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top → ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V)
24		elpw2g 4240	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
27		vex 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	snex 4269	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
29		limccl 15333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ
30	2, 29	ssexi 4222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ∈ V
31	28, 30	xpex 4834	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
32	31	rgenw 2585	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
33	32	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
34		iunexg 6264	. . . . 5 ⊢ ((((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
35	26, 33, 34	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑠 = 𝑆)
37	36	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
38	37	fveq2d 5631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)) = (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
39		dmeq 4923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → dom 𝑓 = dom 𝐹)
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
41	38, 40	fveq12d 5634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
42	40	rabeqdv 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} = {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
43		fveq1 5626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
45		fveq1 5626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
47	44, 46	oveq12d 6019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
48	47	oveq1d 6016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
49	42, 48	mpteq12dv 4166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
50	49	oveq1d 6016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
51	50	xpeq2d 4743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
52	41, 51	iuneq12d 3989	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
53		oveq2 6009	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
54		df-dvap 15331	. . . . 5 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
55	52, 53, 54	ovmpox 6133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
57		relxp 4828	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
58	57	rgenw 2585	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
59		reliun 4840	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
61		df-rel 4726	. . . 4 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V))
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V)
63	56, 62	eqsstrdi 3276	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
64		df-rel 4726	. 2 ⊢ (Rel (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
65	63, 64	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  {crab 2512  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649  {csn 3666  ∪ cuni 3888  ∪ ciun 3965   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145   × cxp 4717  dom cdm 4719   ∘ ccom 4723  Rel wrel 4724  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001   ↑_pm cpm 6796  ℂcc 7997   − cmin 8317   # cap 8728   / cdiv 8819  abscabs 11508   ↾_t crest 13272  MetOpencmopn 14505  Topctop 14671  intcnt 14767   lim_ℂ climc 15328   D cdv 15329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-map 6797  df-pm 6798  df-sup 7151  df-inf 7152  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-xneg 9968  df-xadd 9969  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-rest 13274  df-topgen 13293  df-psmet 14507  df-xmet 14508  df-met 14509  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-top 14672  df-topon 14685  df-bases 14717  df-ntr 14770  df-limced 15330  df-dvap 15331

This theorem is referenced by:  dvfgg  15362  dvidlemap  15365  dvidrelem  15366  dvidsslem  15367  dvmulxxbr  15376  dviaddf  15379  dvimulf  15380  dvcoapbr  15381