Theorem reldvg 15905

Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reldvg	⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

Proof of Theorem reldvg

Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑤 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		cnex 8309	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	elpw2 4295	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
4	1, 3	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ 𝒫 ℂ)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
6		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
7	6	cntoptop 15759	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
8	7	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top)
9	4	elexd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ∈ V)
10		resttop 15396	. . . . . . . 8 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
11	8, 9, 10	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
12		elpmi 6945	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
13	12	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
15	6	cntoptopon 15758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
16	15	toponunii 15243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
17	16	restuni 15398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
18	8, 1, 17	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
19	14, 18	sseqtrd 3286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
20		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
21	20	ntrss3 15349	. . . . . . 7 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
22	11, 19, 21	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
23		uniexg 4587	. . . . . . 7 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top → ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V)
24		elpw2g 4294	. . . . . . 7 ⊢ (∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ V → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
25	11, 23, 24	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ↔ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
26	22, 25	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
27		vex 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
28	27	snex 4324	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥} ∈ V
29		limccl 15885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ⊆ ℂ
30	2, 29	ssexi 4273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) ∈ V
31	28, 30	xpex 4893	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
32	31	rgenw 2605	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V
33	32	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
34		iunexg 6352	. . . . 5 ⊢ ((((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ 𝒫 ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
35	26, 33, 34	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V)
36		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → 𝑠 = 𝑆)
37	36	oveq2d 6104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
38	37	fveq2d 5702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠)) = (int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
39		dmeq 4983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → dom 𝑓 = dom 𝐹)
40	39	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → dom 𝑓 = dom 𝐹)
41	38, 40	fveq12d 5705	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓) = ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
42	40	rabeqdv 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} = {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
43		fveq1 5697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
45		fveq1 5697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑓‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
47	44, 46	oveq12d 6106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)))
48	47	oveq1d 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) = (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
49	42, 48	mpteq12dv 4214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))))
50	49	oveq1d 6103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥) = ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
51	50	xpeq2d 4800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
52	41, 51	iuneq12d 4036	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) → ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
53		oveq2 6096	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (ℂ ↑pm 𝑠) = (ℂ ↑pm 𝑆))
54		df-dvap 15883	. . . . 5 ⊢ D = (𝑠 ∈ 𝒫 ℂ, 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑠) ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑠))‘dom 𝑓)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝑓‘𝑧) − (𝑓‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
55	52, 53, 54	ovmpox 6220	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ∈ V) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
56	4, 5, 35, 55	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
57		relxp 4886	. . . . . 6 ⊢ Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
58	57	rgenw 2605	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
59		reliun 4900	. . . . 5 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∀𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)Rel ({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
60	58, 59	mpbir 146	. . . 4 ⊢ Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
61		df-rel 4783	. . . 4 ⊢ (Rel ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V))
62	60, 61	mpbi 145	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)({𝑥} × ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ⊆ (V × V)
63	56, 62	eqsstrdi 3300	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
64		df-rel 4783	. 2 ⊢ (Rel (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝑆 D 𝐹) ⊆ (V × V))
65	63, 64	sylibr 134	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  {csn 3709  ∪ cuni 3935  ∪ ciun 4012   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193   × cxp 4774  dom cdm 4776   ∘ ccom 4780  Rel wrel 4781  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_pm cpm 6927  ℂcc 8183   − cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010  abscabs 11785   ↾_t crest 13652  MetOpencmopn 14987  Topctop 15223  intcnt 15319   lim_ℂ climc 15880   D cdv 15881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pm 6929  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-ntr 15322  df-limced 15882  df-dvap 15883

This theorem is used by:  dvfgg  15914  dvidlemap  15917  dvidrelem  15918  dvidsslem  15919  dvmulxxbr  15928  dviaddf  15931  dvimulf  15932  dvcoapbr  15933