ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldvg GIF version

Theorem reldvg 14084
Description: The derivative function is a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
reldvg ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))

Proof of Theorem reldvg
Dummy variables 𝑓 𝑠 𝑀 π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 cnex 7934 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
32elpw2 4157 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ↔ 𝑆 βŠ† β„‚)
41, 3sylibr 134 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 β„‚)
5 simpr 110 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
6 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
76cntoptop 13969 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top
87a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top)
94elexd 2750 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ V)
10 resttop 13606 . . . . . . . 8 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ V) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
118, 9, 10syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
12 elpmi 6666 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆))
1312simprd 114 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
1413adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
156cntoptopon 13968 . . . . . . . . . . 11 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
1615toponunii 13453 . . . . . . . . . 10 β„‚ = βˆͺ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
1716restuni 13608 . . . . . . . . 9 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
188, 1, 17syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
1914, 18sseqtrd 3193 . . . . . . 7 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
20 eqid 2177 . . . . . . . 8 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)
2120ntrss3 13559 . . . . . . 7 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
2211, 19, 21syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
23 uniexg 4439 . . . . . . 7 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top β†’ βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ V)
24 elpw2g 4156 . . . . . . 7 (βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ V β†’ (((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ↔ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
2511, 23, 243syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ↔ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
2622, 25mpbird 167 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
27 vex 2740 . . . . . . . . 9 π‘₯ ∈ V
2827snex 4185 . . . . . . . 8 {π‘₯} ∈ V
29 limccl 14064 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) βŠ† β„‚
302, 29ssexi 4141 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) ∈ V
3128, 30xpex 4741 . . . . . . 7 ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V
3231rgenw 2532 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V
3332a1i 9 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
34 iunexg 6119 . . . . 5 ((((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ 𝒫 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
3526, 33, 34syl2anc 411 . . . 4 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V)
36 simpl 109 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ 𝑠 = 𝑆)
3736oveq2d 5890 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
3837fveq2d 5519 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠)) = (intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
39 dmeq 4827 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
4039adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
4138, 40fveq12d 5522 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓) = ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹))
4240rabeqdv 2731 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} = {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
43 fveq1 5514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4443adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (π‘“β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
45 fveq1 5514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4645adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
4744, 46oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)))
4847oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) = (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
4942, 48mpteq12dv 4085 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))))
5049oveq1d 5889 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯) = ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
5150xpeq2d 4650 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
5241, 51iuneq12d 3910 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
53 oveq2 5882 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„‚ ↑pm 𝑠) = (β„‚ ↑pm 𝑆))
54 df-dvap 14062 . . . . 5 D = (𝑠 ∈ 𝒫 β„‚, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑠) ↦ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑠))β€˜dom 𝑓)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝑓 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((π‘“β€˜π‘§) βˆ’ (π‘“β€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
5552, 53, 54ovmpox 6002 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) ∧ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ∈ V) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
564, 5, 35, 55syl3anc 1238 . . 3 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
57 relxp 4735 . . . . . 6 Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
5857rgenw 2532 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
59 reliun 4747 . . . . 5 (Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)Rel ({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
6058, 59mpbir 146 . . . 4 Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
61 df-rel 4633 . . . 4 (Rel βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V))
6260, 61mpbi 145 . . 3 βˆͺ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)({π‘₯} Γ— ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) βŠ† (V Γ— V)
6356, 62eqsstrdi 3207 . 2 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (V Γ— V))
64 df-rel 4633 . 2 (Rel (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝑆 D 𝐹) βŠ† (V Γ— V))
6563, 64sylibr 134 1 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  {crab 2459  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129  π’« cpw 3575  {csn 3592  βˆͺ cuni 3809  βˆͺ ciun 3886   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   Γ— cxp 4624  dom cdm 4626   ∘ ccom 4630  Rel wrel 4631  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ↑pm cpm 6648  β„‚cc 7808   βˆ’ cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  abscabs 11005   β†Ύt crest 12687  MetOpencmopn 13381  Topctop 13433  intcnt 13529   limβ„‚ climc 14059   D cdv 14060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-ntr 13532  df-limced 14061  df-dvap 14062
This theorem is referenced by:  dvfgg  14093  dvidlemap  14096  dvmulxxbr  14102  dviaddf  14105  dvimulf  14106  dvcoapbr  14107
  Copyright terms: Public domain W3C validator