Theorem rabeqbidv 2794

Description: Equality of restricted class abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabeqbidv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
rabeqbidv.2	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rabeqbidv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜒})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem rabeqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabeqbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rabeq 2791	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓})
4		rabeqbidv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
5	4	rabbidv 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜒})
6	3, 5	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜒})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  {crab 2512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rab 2517

This theorem is referenced by:  elfvmptrab1  5729  elovmporab1w  6206  mpoxopoveq  6386  supeq123d  7158  phival  12735  dfphi2  12742  gsumress  13428  ismhm  13494  mhmex  13495  issubm  13505  issubg  13710  subgex  13713  isnsg  13739  dfrhm2  14118  isrim0  14125  issubrng  14163  issubrg  14185  rrgval  14226  lsssetm  14320  mplvalcoe  14654  cldval  14773  neifval  14814  cnfval  14868  cnpfval  14869  cnprcl2k  14880  hmeofvalg  14977  ispsmet  14997  ismet  15018  isxmet  15019  blfvalps  15059  cncfval  15246