Theorem rex0 3385

Description: Vacuous existential quantification is false. (Contributed by NM, 15-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
rex0	⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Proof of Theorem rex0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3372	. . 3 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
2	1	pm2.21i 636	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ → ¬ 𝜑)
3	2	nrex 2527	1 ⊢ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  ∅c0 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369

This theorem is referenced by:  0iun  3878  finexdc  6804  0ct  7000  exfzdc  10048