Theorem eq0 3442

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2319	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
3	1, 2	cleqf 2344	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
4		noel 3427	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	nbn 699	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
6	5	albii 1470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
7	3, 6	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∅c0 3423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-dif 3132  df-nul 3424

This theorem is referenced by:  notm0  3444  nel0  3445  0el  3446  rabeq0  3453  abeq0  3454  ssdif0im  3488  inssdif0im  3491  ralf0  3527  snprc  3658  uni0b  3835  disjiun  3999  0ex  4131  dm0  4842  reldm0  4846  dmsn0  5097  dmsn0el  5099  fzo0  10168  fzouzdisj  10180