ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eq0 GIF version

Theorem eq0 3441
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 nfcv 2319 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2319 . . 3 𝑥
31, 2cleqf 2344 . 2 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
4 noel 3426 . . . 4 ¬ 𝑥 ∈ ∅
54nbn 699 . . 3 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
65albii 1470 . 2 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
73, 6bitr4i 187 1 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 105  wal 1351   = wceq 1353  wcel 2148  c0 3422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-nul 3423
This theorem is referenced by:  notm0  3443  nel0  3444  0el  3445  rabeq0  3452  abeq0  3453  ssdif0im  3487  inssdif0im  3490  ralf0  3526  snprc  3657  uni0b  3834  disjiun  3998  0ex  4130  dm0  4841  reldm0  4845  dmsn0  5096  dmsn0el  5098  fzo0  10167  fzouzdisj  10179
  Copyright terms: Public domain W3C validator