Theorem eq0 3481

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2349	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2349	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
3	1, 2	cleqf 2374	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
4		noel 3466	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	nbn 701	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
6	5	albii 1494	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
7	3, 6	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  ∀wal 1371   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∅c0 3462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-dif 3170  df-nul 3463

This theorem is referenced by:  notm0  3483  nel0  3484  0el  3485  rabeq0  3492  abeq0  3493  ssdif0im  3527  inssdif0im  3530  ralf0  3565  snprc  3700  uni0b  3878  disjiun  4043  0ex  4176  dm0  4898  reldm0  4902  dmsn0  5156  dmsn0el  5158  fzo0  10305  fzouzdisj  10317