ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eq0 GIF version

Theorem eq0 3290
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 nfcv 2225 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2225 . . 3 𝑥
31, 2cleqf 2248 . 2 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
4 noel 3279 . . . 4 ¬ 𝑥 ∈ ∅
54nbn 648 . . 3 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
65albii 1402 . 2 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
73, 6bitr4i 185 1 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 103  wal 1285   = wceq 1287  wcel 1436  c0 3275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-v 2617  df-dif 2990  df-nul 3276
This theorem is referenced by:  notm0  3292  nel0  3293  0el  3294  rabeq0  3301  abeq0  3302  ssdif0im  3335  inssdif0im  3338  ralf0  3372  snprc  3492  uni0b  3663  0ex  3943  dm0  4620  reldm0  4624  dmsn0  4866  dmsn0el  4868  fzo0  9510  fzouzdisj  9522
  Copyright terms: Public domain W3C validator