Theorem eq0 3526

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2384	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
3	1, 2	cleqf 2409	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
4		noel 3511	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	nbn 707	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
6	5	albii 1519	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
7	3, 6	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  ∀wal 1396   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∅c0 3507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-dif 3212  df-nul 3508

This theorem is referenced by:  notm0  3528  nel0  3529  0el  3530  rabeq0  3537  abeq0  3538  ssdif0im  3572  inssdif0im  3575  ralf0  3611  snprc  3753  uni0b  3938  disjiun  4103  0ex  4236  dm0  4969  reldm0  4973  dmsn0  5229  dmsn0el  5231  fzo0  10503  fzouzdisj  10515