Theorem eq0 3441

Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
eq0	⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2319	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
3	1, 2	cleqf 2344	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
4		noel 3426	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ ∅
5	4	nbn 699	. . 3 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
6	5	albii 1470	. 2 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ ∅))
7	3, 6	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 105  ∀wal 1351   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∅c0 3422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-nul 3423

This theorem is referenced by:  notm0  3443  nel0  3444  0el  3445  rabeq0  3452  abeq0  3453  ssdif0im  3487  inssdif0im  3490  ralf0  3526  snprc  3657  uni0b  3834  disjiun  3998  0ex  4130  dm0  4841  reldm0  4845  dmsn0  5096  dmsn0el  5098  fzo0  10165  fzouzdisj  10177