ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eq0 GIF version

Theorem eq0 3465
Description: The empty set has no elements. Theorem 2 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 29-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
eq0 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem eq0
StepHypRef Expression
1 nfcv 2336 . . 3 𝑥𝐴
2 nfcv 2336 . . 3 𝑥
31, 2cleqf 2361 . 2 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
4 noel 3450 . . . 4 ¬ 𝑥 ∈ ∅
54nbn 700 . . 3 𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
65albii 1481 . 2 (∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ∅))
73, 6bitr4i 187 1 (𝐴 = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 105  wal 1362   = wceq 1364  wcel 2164  c0 3446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3155  df-nul 3447
This theorem is referenced by:  notm0  3467  nel0  3468  0el  3469  rabeq0  3476  abeq0  3477  ssdif0im  3511  inssdif0im  3514  ralf0  3549  snprc  3683  uni0b  3860  disjiun  4024  0ex  4156  dm0  4870  reldm0  4874  dmsn0  5125  dmsn0el  5127  fzo0  10225  fzouzdisj  10237
  Copyright terms: Public domain W3C validator