Theorem noel 3500

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3331	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → 𝐴 ∈ V)
2		eldifn 3332	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → ¬ 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	pm2.65i 644	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ V)
4		df-nul 3497	. . 3 ⊢ ∅ = (V ∖ V)
5	4	eleq2i 2298	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ V))
6	3, 5	mtbir 678	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∖ cdif 3198  ∅c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-nul 3497

This theorem is referenced by:  nel02  3501  n0i  3502  n0rf  3509  rex0  3514  eq0  3515  abvor0dc  3520  rab0  3525  un0  3530  in0  3531  0ss  3535  disj  3545  ral0  3598  rabsnifsb  3741  rabsnif  3742  int0  3947  iun0  4032  0iun  4033  br0  4142  exmid01  4294  nlim0  4497  nsuceq0g  4521  ordtriexmidlem  4623  ordtriexmidlem2  4624  ordtriexmid  4625  ontriexmidim  4626  ordtri2or2exmidlem  4630  onsucelsucexmidlem  4633  reg2exmidlema  4638  reg3exmidlemwe  4683  nn0eln0  4724  0xp  4812  dm0  4951  dm0rn0  4954  reldm0  4955  cnv0  5147  co02  5257  0fv  5686  acexmidlema  6019  acexmidlemb  6020  acexmidlemab  6022  mpo0  6101  nnsucelsuc  6702  nnsucuniel  6706  nnmordi  6727  nnaordex  6739  0er  6779  elssdc  7137  fidcenumlemrk  7196  nnnninfeq  7370  iftrueb01  7484  pw1if  7486  elni2  7577  nlt1pig  7604  0npr  7746  fzm1  10380  frec2uzltd  10711  0tonninf  10748  sum0  12012  fsumsplit  12031  sumsplitdc  12056  fsum2dlemstep  12058  prod0  12209  fprod2dlemstep  12246  ennnfonelem1  13091  0g0  13522  0ntop  14801  0met  15178  lgsdir2lem3  15832  vtxdg0v  16218  clwwlkn0  16332  clwwlknnn  16336  clwwlk0on0  16355  eupth2lem1  16382  eupth2lem3lem4fi  16397  bdcnul  16564  bj-nnelirr  16652  nnnninfex  16731