Theorem noel 3525

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3351	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → 𝐴 ∈ V)
2		eldifn 3352	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → ¬ 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	pm2.65i 648	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ V)
4		df-nul 3521	. . 3 ⊢ ∅ = (V ∖ V)
5	4	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ V))
6	3, 5	mtbir 682	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  ∅c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is used by:  nel02  3526  n0i  3527  n0rf  3534  rex0  3539  eq0  3540  abvor0dc  3545  rab0  3551  un0  3556  in0  3557  0ss  3561  disj  3573  ral0  3629  rabsnifsb  3777  rabsnif  3778  int0  3984  iun0  4069  0iun  4070  br0  4179  exmid01  4335  nlim0  4539  nsuceq0g  4563  ordtriexmidlem  4666  ordtriexmidlem2  4667  ordtriexmid  4668  ontriexmidim  4669  ordtri2or2exmidlem  4673  onsucelsucexmidlem  4676  reg2exmidlema  4681  reg3exmidlemwe  4726  nn0eln0  4767  0xp  4855  dm0  4995  dm0rn0  4998  reldm0  4999  cnv0  5191  co02  5301  relndmfv  5728  0fv  5734  acexmidlema  6076  acexmidlemb  6077  acexmidlemab  6079  mpo0  6158  nnsucelsuc  6764  nnsucuniel  6768  nnmordi  6789  nnaordex  6801  0er  6841  elssdc  7209  fissfi  7263  fidcenumlemrk  7271  nnnninfeq  7468  iftrueb01  7582  pw1if  7584  elni2  7681  nlt1pig  7708  0npr  7850  indval0  9297  indconst0  9302  fzm1  10507  frec2uzltd  10840  0tonninf  10877  hashf1lem2  11286  sum0  12155  fsumsplit  12174  sumsplitdc  12199  fsum2dlemstep  12201  prod0  12352  fprod2dlemstep  12389  ballotfilemcdc  13223  ennnfonelem1  13298  0g0  13696  0ntop  15108  0met  15485  lgsdir2lem3  16149  vtxdg0v  16535  clwwlkn0  16649  clwwlknnn  16653  clwwlk0on0  16672  eupth2lem1  16699  eupth2lem3lem4fi  16714  bdcnul  16891  bj-nnelirr  16979  nnnninfex  17065