Theorem noel 3525

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3351	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → 𝐴 ∈ V)
2		eldifn 3352	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → ¬ 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	pm2.65i 648	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ V)
4		df-nul 3521	. . 3 ⊢ ∅ = (V ∖ V)
5	4	eleq2i 2305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ V))
6	3, 5	mtbir 682	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217  ∅c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  nel02  3526  n0i  3527  n0rf  3534  rex0  3539  eq0  3540  abvor0dc  3545  rab0  3551  un0  3556  in0  3557  0ss  3561  disj  3572  ral0  3626  rabsnifsb  3773  rabsnif  3774  int0  3979  iun0  4064  0iun  4065  br0  4174  exmid01  4330  nlim0  4534  nsuceq0g  4558  ordtriexmidlem  4661  ordtriexmidlem2  4662  ordtriexmid  4663  ontriexmidim  4664  ordtri2or2exmidlem  4668  onsucelsucexmidlem  4671  reg2exmidlema  4676  reg3exmidlemwe  4721  nn0eln0  4762  0xp  4850  dm0  4990  dm0rn0  4993  reldm0  4994  cnv0  5186  co02  5296  0fv  5728  acexmidlema  6066  acexmidlemb  6067  acexmidlemab  6069  mpo0  6148  nnsucelsuc  6754  nnsucuniel  6758  nnmordi  6779  nnaordex  6791  0er  6831  elssdc  7199  fissfi  7253  fidcenumlemrk  7261  nnnninfeq  7458  iftrueb01  7572  pw1if  7574  elni2  7671  nlt1pig  7698  0npr  7840  fzm1  10485  frec2uzltd  10818  0tonninf  10855  hashf1lem2  11264  sum0  12133  fsumsplit  12152  sumsplitdc  12177  fsum2dlemstep  12179  prod0  12330  fprod2dlemstep  12367  ballotfilemcdc  13201  ennnfonelem1  13276  0g0  13673  0ntop  15031  0met  15408  lgsdir2lem3  16063  vtxdg0v  16449  clwwlkn0  16563  clwwlknnn  16567  clwwlk0on0  16586  eupth2lem1  16613  eupth2lem3lem4fi  16628  bdcnul  16805  bj-nnelirr  16893  nnnninfex  16970