ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  noel GIF version

Theorem noel 3337
Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
noel ¬ 𝐴 ∈ ∅

Proof of Theorem noel
StepHypRef Expression
1 eldifi 3168 . . 3 (𝐴 ∈ (V ∖ V) → 𝐴 ∈ V)
2 eldifn 3169 . . 3 (𝐴 ∈ (V ∖ V) → ¬ 𝐴 ∈ V)
31, 2pm2.65i 613 . 2 ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ V)
4 df-nul 3334 . . 3 ∅ = (V ∖ V)
54eleq2i 2184 . 2 (𝐴 ∈ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ V))
63, 5mtbir 645 1 ¬ 𝐴 ∈ ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 1465  Vcvv 2660  cdif 3038  c0 3333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-v 2662  df-dif 3043  df-nul 3334
This theorem is referenced by:  n0i  3338  n0rf  3345  rex0  3350  eq0  3351  abvor0dc  3356  rab0  3361  un0  3366  in0  3367  0ss  3371  disj  3381  ral0  3434  int0  3755  iun0  3839  0iun  3840  br0  3946  exmid01  4091  nlim0  4286  nsuceq0g  4310  ordtriexmidlem  4405  ordtriexmidlem2  4406  ordtriexmid  4407  ordtri2or2exmidlem  4411  onsucelsucexmidlem  4414  reg2exmidlema  4419  reg3exmidlemwe  4463  nn0eln0  4503  0xp  4589  dm0  4723  dm0rn0  4726  reldm0  4727  cnv0  4912  co02  5022  0fv  5424  acexmidlema  5733  acexmidlemb  5734  acexmidlemab  5736  mpo0  5809  nnsucelsuc  6355  nnsucuniel  6359  nnmordi  6380  nnaordex  6391  0er  6431  fidcenumlemrk  6810  elni2  7090  nlt1pig  7117  0npr  7259  fzm1  9848  frec2uzltd  10144  0tonninf  10180  sum0  11125  fsumsplit  11144  sumsplitdc  11169  fsum2dlemstep  11171  ennnfonelem1  11847  0ntop  12101  0met  12480  bdcnul  12990  bj-nnelirr  13078  nninfalllemn  13129
  Copyright terms: Public domain W3C validator