ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  noel GIF version

Theorem noel 3335
Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
noel ¬ 𝐴 ∈ ∅

Proof of Theorem noel
StepHypRef Expression
1 eldifi 3166 . . 3 (𝐴 ∈ (V ∖ V) → 𝐴 ∈ V)
2 eldifn 3167 . . 3 (𝐴 ∈ (V ∖ V) → ¬ 𝐴 ∈ V)
31, 2pm2.65i 611 . 2 ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ V)
4 df-nul 3332 . . 3 ∅ = (V ∖ V)
54eleq2i 2182 . 2 (𝐴 ∈ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ V))
63, 5mtbir 643 1 ¬ 𝐴 ∈ ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wcel 1463  Vcvv 2658  cdif 3036  c0 3331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-v 2660  df-dif 3041  df-nul 3332
This theorem is referenced by:  n0i  3336  n0rf  3343  rex0  3348  eq0  3349  abvor0dc  3354  rab0  3359  un0  3364  in0  3365  0ss  3369  disj  3379  ral0  3432  int0  3753  iun0  3837  0iun  3838  br0  3944  exmid01  4089  nlim0  4284  nsuceq0g  4308  ordtriexmidlem  4403  ordtriexmidlem2  4404  ordtriexmid  4405  ordtri2or2exmidlem  4409  onsucelsucexmidlem  4412  reg2exmidlema  4417  reg3exmidlemwe  4461  nn0eln0  4501  0xp  4587  dm0  4721  dm0rn0  4724  reldm0  4725  cnv0  4910  co02  5020  0fv  5422  acexmidlema  5731  acexmidlemb  5732  acexmidlemab  5734  mpo0  5807  nnsucelsuc  6353  nnsucuniel  6357  nnmordi  6378  nnaordex  6389  0er  6429  fidcenumlemrk  6808  elni2  7086  nlt1pig  7113  0npr  7255  fzm1  9820  frec2uzltd  10116  0tonninf  10152  sum0  11097  fsumsplit  11116  sumsplitdc  11141  fsum2dlemstep  11143  ennnfonelem1  11815  0ntop  12069  0met  12448  bdcnul  12865  bj-nnelirr  12953  nninfalllemn  13004
  Copyright terms: Public domain W3C validator