Theorem noel 3455

Description: The empty set has no elements. Theorem 6.14 of [Quine] p. 44. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
noel	⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

Proof of Theorem noel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3286	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → 𝐴 ∈ V)
2		eldifn 3287	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ V) → ¬ 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	pm2.65i 640	. 2 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (V ∖ V)
4		df-nul 3452	. . 3 ⊢ ∅ = (V ∖ V)
5	4	eleq2i 2263	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∅ ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ V))
6	3, 5	mtbir 672	1 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∖ cdif 3154  ∅c0 3451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-nul 3452

This theorem is referenced by:  nel02  3456  n0i  3457  n0rf  3464  rex0  3469  eq0  3470  abvor0dc  3475  rab0  3480  un0  3485  in0  3486  0ss  3490  disj  3500  ral0  3553  int0  3889  iun0  3974  0iun  3975  br0  4082  exmid01  4232  nlim0  4430  nsuceq0g  4454  ordtriexmidlem  4556  ordtriexmidlem2  4557  ordtriexmid  4558  ontriexmidim  4559  ordtri2or2exmidlem  4563  onsucelsucexmidlem  4566  reg2exmidlema  4571  reg3exmidlemwe  4616  nn0eln0  4657  0xp  4744  dm0  4881  dm0rn0  4884  reldm0  4885  cnv0  5074  co02  5184  0fv  5597  acexmidlema  5916  acexmidlemb  5917  acexmidlemab  5919  mpo0  5996  nnsucelsuc  6558  nnsucuniel  6562  nnmordi  6583  nnaordex  6595  0er  6635  fidcenumlemrk  7029  nnnninfeq  7203  elni2  7400  nlt1pig  7427  0npr  7569  fzm1  10194  frec2uzltd  10514  0tonninf  10551  sum0  11572  fsumsplit  11591  sumsplitdc  11616  fsum2dlemstep  11618  prod0  11769  fprod2dlemstep  11806  ennnfonelem1  12651  0g0  13080  0ntop  14351  0met  14728  lgsdir2lem3  15379  if0ab  15559  bdcnul  15619  bj-nnelirr  15707  nnnninfex  15777