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Theorem finexdc 6880
Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → DECID𝑥𝐴 𝜑)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem finexdc
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2666 . . 3 (𝑤 = ∅ → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
21dcbid 833 . 2 (𝑤 = ∅ → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
3 rexeq 2666 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥𝑦 𝜑))
43dcbid 833 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥𝑦 𝜑))
5 rexeq 2666 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
65dcbid 833 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
7 rexeq 2666 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 𝜑))
87dcbid 833 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥𝐴 𝜑))
9 rex0 3432 . . . . 5 ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑
109olci 727 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
11 df-dc 830 . . . 4 (DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
1210, 11mpbir 145 . . 3 DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑
1312a1i 9 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
14 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
15 sbsbc 2959 . . . . . . . . . 10 ([𝑧 / 𝑥]𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑)
16 rexsns 3622 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑)
1715, 16bitr4i 186 . . . . . . . . 9 ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
1814, 17sylib 121 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
1918olcd 729 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
20 rexun 3307 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
2119, 20sylibr 133 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
2221orcd 728 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
23 df-dc 830 . . . . 5 (DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
2422, 23sylibr 133 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
25 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ∃𝑥𝑦 𝜑)
2625orcd 728 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
2726, 20sylibr 133 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
2827orcd 728 . . . . . 6 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
2928, 23sylibr 133 . . . . 5 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
30 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑)
31 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
3217notbii 663 . . . . . . . . . . 11 (¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
3331, 32sylib 121 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
3433adantr 274 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
35 ioran 747 . . . . . . . . 9 (¬ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝑦 𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
3630, 34, 35sylanbrc 415 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
3720notbii 663 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ ¬ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
3836, 37sylibr 133 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
3938olcd 729 . . . . . 6 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
4039, 23sylibr 133 . . . . 5 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
41 exmiddc 831 . . . . . 6 (DECID𝑥𝑦 𝜑 → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑))
4241ad2antlr 486 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑))
4329, 40, 42mpjaodan 793 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
44 simplrr 531 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4544eldifad 3132 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → 𝑧𝐴)
46 simp-4r 537 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑)
47 nfs1v 1932 . . . . . . . 8 𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
4847nfdc 1652 . . . . . . 7 𝑥DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑
49 sbequ12 1764 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5049dcbid 833 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝜑DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5148, 50rspc 2828 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴 DECID 𝜑DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
53 exmiddc 831 . . . . 5 (DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑 → ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∨ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5452, 53syl 14 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∨ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5524, 43, 54mpjaodan 793 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
5655ex 114 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (DECID𝑥𝑦 𝜑DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
57 simpl 108 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → 𝐴 ∈ Fin)
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 6870 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → DECID𝑥𝐴 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348  [wsb 1755  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  [wsbc 2955  cdif 3118  cun 3119  wss 3121  c0 3414  {csn 3583  Fincfn 6718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721
This theorem is referenced by:  dfrex2fin  6881  nninfwlpoimlemg  7151  nninfwlpoimlemginf  7152
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