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Theorem finexdc 6799
 Description: Decidability of existence, over a finite set and defined by a decidable proposition. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
finexdc ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → DECID𝑥𝐴 𝜑)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem finexdc
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexeq 2627 . . 3 (𝑤 = ∅ → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
21dcbid 823 . 2 (𝑤 = ∅ → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
3 rexeq 2627 . . 3 (𝑤 = 𝑦 → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥𝑦 𝜑))
43dcbid 823 . 2 (𝑤 = 𝑦 → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥𝑦 𝜑))
5 rexeq 2627 . . 3 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
65dcbid 823 . 2 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
7 rexeq 2627 . . 3 (𝑤 = 𝐴 → (∃𝑥𝑤 𝜑 ↔ ∃𝑥𝐴 𝜑))
87dcbid 823 . 2 (𝑤 = 𝐴 → (DECID𝑥𝑤 𝜑DECID𝑥𝐴 𝜑))
9 rex0 3380 . . . . 5 ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑
109olci 721 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
11 df-dc 820 . . . 4 (DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ ∅ 𝜑))
1210, 11mpbir 145 . . 3 DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑
1312a1i 9 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → DECID𝑥 ∈ ∅ 𝜑)
14 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → [𝑧 / 𝑥]𝜑)
15 sbsbc 2913 . . . . . . . . . 10 ([𝑧 / 𝑥]𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑)
16 rexsns 3565 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑[𝑧 / 𝑥]𝜑)
1715, 16bitr4i 186 . . . . . . . . 9 ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
1814, 17sylib 121 . . . . . . . 8 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
1918olcd 723 . . . . . . 7 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
20 rexun 3256 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
2119, 20sylibr 133 . . . . . 6 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
2221orcd 722 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
23 df-dc 820 . . . . 5 (DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
2422, 23sylibr 133 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
25 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ∃𝑥𝑦 𝜑)
2625orcd 722 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
2726, 20sylibr 133 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
2827orcd 722 . . . . . 6 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
2928, 23sylibr 133 . . . . 5 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ∃𝑥𝑦 𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
30 simpr 109 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑)
31 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑)
3217notbii 657 . . . . . . . . . . 11 (¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
3331, 32sylib 121 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
3433adantr 274 . . . . . . . . 9 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑)
35 ioran 741 . . . . . . . . 9 (¬ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑) ↔ (¬ ∃𝑥𝑦 𝜑 ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
3630, 34, 35sylanbrc 413 . . . . . . . 8 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
3720notbii 657 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ↔ ¬ (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝑧}𝜑))
3836, 37sylibr 133 . . . . . . 7 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
3938olcd 723 . . . . . 6 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → (∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
4039, 23sylibr 133 . . . . 5 (((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) ∧ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
41 exmiddc 821 . . . . . 6 (DECID𝑥𝑦 𝜑 → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑))
4241ad2antlr 480 . . . . 5 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → (∃𝑥𝑦 𝜑 ∨ ¬ ∃𝑥𝑦 𝜑))
4329, 40, 42mpjaodan 787 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) ∧ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
44 simplrr 525 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4544eldifad 3082 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → 𝑧𝐴)
46 simp-4r 531 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑)
47 nfs1v 1912 . . . . . . . 8 𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜑
4847nfdc 1637 . . . . . . 7 𝑥DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑
49 sbequ12 1744 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5049dcbid 823 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝜑DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5148, 50rspc 2783 . . . . . 6 (𝑧𝐴 → (∀𝑥𝐴 DECID 𝜑DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5245, 46, 51sylc 62 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑)
53 exmiddc 821 . . . . 5 (DECID [𝑧 / 𝑥]𝜑 → ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∨ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5452, 53syl 14 . . . 4 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∨ ¬ [𝑧 / 𝑥]𝜑))
5524, 43, 54mpjaodan 787 . . 3 (((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ DECID𝑥𝑦 𝜑) → DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑)
5655ex 114 . 2 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (DECID𝑥𝑦 𝜑DECID𝑥 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝜑))
57 simpl 108 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → 𝐴 ∈ Fin)
582, 4, 6, 8, 13, 56, 57findcard2sd 6789 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 DECID 𝜑) → DECID𝑥𝐴 𝜑)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  [wsb 1735  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  [wsbc 2909   ∖ cdif 3068   ∪ cun 3069   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  {csn 3527  Fincfn 6637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-er 6432  df-en 6638  df-fin 6640 This theorem is referenced by:  dfrex2fin  6800
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