Theorem sbcie 3037

Description: Conversion of implicit substitution to explicit class substitution. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbcie.1	⊢ 𝐴 ∈ V
sbcie.2	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
sbcie	⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem sbcie

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbcie.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		sbcie.2	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	sbcieg 3035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  [wsbc 3002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-sbc 3003

This theorem is referenced by:  findcard2  7001  findcard2s  7002  ac6sfi  7010  nn1suc  9075  indstr  9734  wrdind  11198  bezoutlemmain  12394  prmind2  12517  isghm  13654