Theorem sbcieg 3061

Description: Conversion of implicit substitution to explicit class substitution. (Contributed by NM, 10-Nov-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
sbcieg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
sbcieg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sbcieg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		sbcieg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	sbciegf 3060	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  [wsbc 3028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-sbc 3029

This theorem is referenced by:  sbcie  3063  ralsng  3706  rexsng  3707  ralrnmpt  5779  rexrnmpt  5780  nn1suc  9137  cjth  11365  bezoutlemnewy  12525  bezoutlemstep  12526  bezoutlema  12528  bezoutlemb  12529  prmind2  12650