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Theorem bezoutlemmain 10862
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the main result which we prove by induction and which represents the application of the Extended Euclidean algorithm. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.is-bezout (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezout.sub-gcd (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
bezout.a (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
bezout.b (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemmain (𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑠,𝑡,𝑧   𝑠,𝑟,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧,𝜃   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmain
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbequ 1765 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑟]𝜑))
21anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑧 → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)))
3 sbequ 1765 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜓))
43anbi1d 453 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
54rexbidv 2377 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
65imbi2d 228 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
76ralbidv 2376 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
82, 7imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))) ↔ ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))))
9 sbequ 1765 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑥 / 𝑟]𝜑))
109anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑)))
11 sbequ12r 1699 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜓))
1211anbi1d 453 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ (𝜓𝜑)))
1312rexbidv 2377 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑)))
1413imbi2d 228 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
1514ralbidv 2376 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
1610, 15imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))) ↔ ((𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑)))))
17 nfv 1464 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑤 ∈ ℕ0
18 nfcv 2225 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(0...(𝑤 − 1))
19 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
20 nfra1 2405 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
2119, 20nfim 1507 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
2218, 21nfralxy 2410 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
2317, 22nfan 1500 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
24 nfv 1464 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
2523, 24nfan 1500 . . . . . . . . 9 𝑦((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
26 nfv 1464 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑤 = 0
2725, 26nfan 1500 . . . . . . . 8 𝑦(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0)
28 simplr 497 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑟𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))
30 breq2 3824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑦 → (𝑧𝑟𝑧𝑦))
3130imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑦 → ((𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
3231ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
3329, 32sbie 1718 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
34 nn0z 8703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ)
35 dvds0 10686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∥ 0)
3736biantrurd 299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑦 ↔ (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
3837biimpd 142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
3933, 38mprgbir 2429 . . . . . . . . . . . 12 [𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))
40 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . 13 𝑟 𝑤 = 0
41 dfsbcq2 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 0 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓[0 / 𝑥]𝜓))
42 bezout.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
4342sbcbii 2887 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([0 / 𝑥]𝜓[0 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
44 c0ex 7426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
45 breq2 3824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (𝑧𝑥𝑧 ∥ 0))
4645anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
4746imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
4847ralbidv 2376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
4944, 48sbcie 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([0 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
5043, 49bitri 182 . . . . . . . . . . . . . 14 ([0 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
5141, 50syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 0 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
5240, 51sbbid 1771 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 0 → ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
5339, 52mpbiri 166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 0 → [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓)
5453ad3antlr 477 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓)
55 simpr 108 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
56 nfs1v 1860 . . . . . . . . . . . 12 𝑟[𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓
57 nfs1v 1860 . . . . . . . . . . . 12 𝑟[𝑦 / 𝑟]𝜑
5856, 57nfan 1500 . . . . . . . . . . 11 𝑟([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
59 sbequ12 1698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑦 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓))
60 sbequ12 1698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑦 → (𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑟]𝜑))
6159, 60anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)))
6258, 61rspce 2710 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
6328, 54, 55, 62syl12anc 1170 . . . . . . . . 9 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
6463exp31 356 . . . . . . . 8 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))))
6527, 64ralrimi 2440 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
66 nfv 1464 . . . . . . . . . 10 𝑦0 < 𝑤
6725, 66nfan 1500 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
68 bezout.is-bezout . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
69 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝜃)
70 bezout.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝐴 ∈ ℕ0)
7271ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝐴 ∈ ℕ0)
73 bezout.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
7469, 73syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝐵 ∈ ℕ0)
7574ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76 simplll 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℕ0)
77 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 0 < 𝑤)
78 elnnnn0b 8650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ ↔ (𝑤 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑤))
7976, 77, 78sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℕ)
8079ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑤 ∈ ℕ)
81 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
82 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
83 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
84 sbsbc 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑤 / 𝑟]𝜑[𝑤 / 𝑟]𝜑)
8583, 84sylib 120 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
8685ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
87 breq1 3823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑟𝑎𝑟))
88 breq1 3823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑥𝑎𝑥))
89 breq1 3823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑦𝑎𝑦))
9088, 89anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑎 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑎𝑥𝑎𝑦)))
9187, 90imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑎 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑎𝑟 → (𝑎𝑥𝑎𝑦))))
9291cbvralv 2586 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎𝑟 → (𝑎𝑥𝑎𝑦)))
9342, 92bitri 182 . . . . . . . . . . 11 (𝜓 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎𝑟 → (𝑎𝑥𝑎𝑦)))
9469ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝜃)
95 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑)
9694, 95jca 300 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑))
9783ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
98 dfsbcq2 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ([𝑧 / 𝑟]𝜑[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑))
9998anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑)))
100 sbsbc 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
101 sbsbc 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ([𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑤 / 𝑦]𝜓)
102101sbcbii 2887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
103100, 102bitri 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
104103anbi1i 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))
105 dfsbcq 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓))
106105anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
107104, 106syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
108107rexbidv 2377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
109108imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
11099, 109imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))) ↔ ((𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
111 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤))
112 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
113112ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
114 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦[𝑤 / 𝑟]𝜑
115 nfcv 2225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦0
116 nfs1v 1860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦[𝑤 / 𝑦]𝜓
117116nfsbxy 1863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓
118 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦𝜑
119117, 118nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)
120115, 119nfrexxy 2411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)
121114, 120nfim 1507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))
122 sbequ 1765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
123 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑦 = 𝑤
124 sbequ12 1698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ [𝑤 / 𝑦]𝜓))
125123, 124sbbid 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑤 → ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓))
126125anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → (([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
127126rexbidv 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
128122, 127imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
129121, 128rspc 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
130129imim2d 53 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℕ0 → (((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
131130ralimdv 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
132131ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
133113, 132mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
134111, 133sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
135 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
136135nn0zd 8799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℤ)
13779ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑤 ∈ ℕ)
138 zmodfz 9681 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)))
139136, 137, 138syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)))
140110, 134, 139rspcdva 2720 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ((𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
14196, 97, 140mp2d 46 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))
142 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤 ∈ ℕ0
143 nfcv 2225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(0...(𝑤 − 1))
144 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
145 nfcv 2225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥0
146 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝜑
147146nfsbxy 1863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥[𝑦 / 𝑟]𝜑
148 nfs1v 1860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜓
149148, 146nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)
150145, 149nfrexxy 2411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)
151147, 150nfim 1507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
152145, 151nfralxy 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
153144, 152nfim 1507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
154143, 153nfralxy 2410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
155142, 154nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
156 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
157155, 156nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
158 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 < 𝑤
159157, 158nfan 1500 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
160 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑦 ∈ ℕ0
161159, 160nfan 1500 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)
162161, 147nfan 1500 . . . . . . . . . . 11 𝑥(((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
163 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟 𝑤 ∈ ℕ0
164 nfcv 2225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑟(0...(𝑤 − 1))
165 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟𝜃
166 nfs1v 1860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟[𝑧 / 𝑟]𝜑
167165, 166nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑟(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
168 nfcv 2225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟0
169 nfre1 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)
17057, 169nfim 1507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
171168, 170nfralxy 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑟𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
172167, 171nfim 1507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑟((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
173164, 172nfralxy 2410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
174163, 173nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
175 nfs1v 1860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟[𝑤 / 𝑟]𝜑
176165, 175nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
177174, 176nfan 1500 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑟((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
178 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑟0 < 𝑤
179177, 178nfan 1500 . . . . . . . . . . . . 13 𝑟(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
180 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . 13 𝑟 𝑦 ∈ ℕ0
181179, 180nfan 1500 . . . . . . . . . . . 12 𝑟((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)
182181, 57nfan 1500 . . . . . . . . . . 11 𝑟(((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
18368, 72, 75, 80, 81, 82, 86, 93, 141, 162, 182bezoutlemstep 10861 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
184183exp31 356 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))))
18567, 184ralrimi 2440 . . . . . . . 8 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
186 sbsbc 2833 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑤 / 𝑥]𝜓[𝑤 / 𝑥]𝜓)
187186anbi1i 446 . . . . . . . . . . 11 (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
188187rexbii 2381 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
189188imbi2i 224 . . . . . . . . 9 (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
190189ralbii 2380 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
191185, 190sylibr 132 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
192 nn0nlt0 8632 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑤 < 0)
193 nn0z 8703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ)
194 ztri3or0 8725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
195193, 194syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
196 3orass 925 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤) ↔ (𝑤 < 0 ∨ (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤)))
197195, 196sylib 120 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 < 0 ∨ (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤)))
198197orcomd 681 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0 → ((𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤) ∨ 𝑤 < 0))
199192, 198ecased 1283 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
200199ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) → (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
20165, 191, 200mpjaodan 745 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
202201exp31 356 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))))
2038, 16, 202nn0sinds 9778 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
204203expd 254 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝜃 → ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑)))))
205204impcom 123 . 2 ((𝜃𝑥 ∈ ℕ0) → ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
206205ralrimiva 2442 1 (𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3o 921   = wceq 1287  wcel 1436  [wsb 1689  wral 2355  wrex 2356  [wsbc 2829   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299   < clt 7466  cmin 7597  cn 8357  0cn0 8606  cz 8683  ...cfz 9356   mod cmo 9657  cdvds 10671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fz 9357  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9853  df-cj 10171  df-re 10172  df-im 10173  df-rsqrt 10326  df-abs 10327  df-dvds 10672
This theorem is referenced by:  bezoutlemex  10865
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