Theorem nn1suc 9221

Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn1suc.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn1suc.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn1suc.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn1suc.5	⊢ 𝜓
nn1suc.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nn1suc	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1suc.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
2		1ex 8234	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
3		nn1suc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbcie 3067	. . . . 5 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	mpbir 146	. . . 4 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
6		1nn 9213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2294	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		nn1suc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
10	9	sbcieg 3065	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
12		dfsbcq 3034	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝜃 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
14	5, 13	mpbiri 168	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝜃)
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16		elisset 2818	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → ∃𝑦 𝑦 = (𝐴 − 1))
17		eleq1 2294	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
18	17	pm5.32ri 455	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) ↔ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)))
19		nn1suc.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
20	19	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → 𝜒)
21		nnre 9209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
22		peano2re 8374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
23		nn1suc.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
24	23	sbcieg 3065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
25	21, 22, 24	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
27		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
28	27	sbceq1d 3037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
30	26, 29	bitr3d 190	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → (𝜒 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
31	20, 30	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
32	18, 31	sylbir 135	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
33	16, 32	exlimddv 1947	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
34		nncn 9210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 8185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 8447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	34, 35, 36	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	sbceq1d 3037	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
39	38, 10	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
40	33, 39	imbitrid 154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
41		nn1m1nn 9220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
42	15, 40, 41	mpjaod 726	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  [wsbc 3032  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  ℝcr 8091  1c1 8093   + caddc 8095   − cmin 8409  ℕcn 9202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411  df-inn 9203

This theorem is referenced by: (None)