Theorem nn1suc 8732

Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn1suc.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nn1suc.3	⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
nn1suc.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
nn1suc.5	⊢ 𝜓
nn1suc.6	⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)

Assertion

Ref	Expression
nn1suc	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn1suc.5	. . . . 5 ⊢ 𝜓
2		1ex 7754	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
3		nn1suc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4	2, 3	sbcie 2938	. . . . 5 ⊢ ([1 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓)
5	1, 4	mpbir 145	. . . 4 ⊢ [1 / 𝑥]𝜑
6		1nn 8724	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
7		eleq1 2200	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
8	6, 7	mpbiri 167	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9		nn1suc.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜃))
10	9	sbcieg 2936	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
11	8, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
12		dfsbcq 2906	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
13	11, 12	bitr3d 189	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝜃 ↔ [1 / 𝑥]𝜑))
14	5, 13	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → 𝜃)
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16		elisset 2695	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → ∃𝑦 𝑦 = (𝐴 − 1))
17		eleq1 2200	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
18	17	pm5.32ri 450	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) ↔ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)))
19		nn1suc.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
20	19	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → 𝜒)
21		nnre 8720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
22		peano2re 7891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
23		nn1suc.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜒))
24	23	sbcieg 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 + 1) ∈ ℝ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
25	21, 22, 24	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
26	25	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜒))
27		oveq1 5774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
28	27	sbceq1d 2909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
29	28	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
30	26, 29	bitr3d 189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → (𝜒 ↔ [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
31	20, 30	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
32	18, 31	sylbir 134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑦 = (𝐴 − 1)) → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
33	16, 32	exlimddv 1870	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
34		nncn 8721	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
35		ax-1cn 7706	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
36		npcan 7964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
37	34, 35, 36	sylancl 409	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
38	37	sbceq1d 2909	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
39	38, 10	bitrd 187	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜃))
40	33, 39	syl5ib 153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
41		nn1m1nn 8731	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
42	15, 40, 41	mpjaod 707	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  [wsbc 2904  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  1c1 7614   + caddc 7616   − cmin 7926  ℕcn 8713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-inn 8714

This theorem is referenced by: (None)