ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmind2 GIF version

Theorem prmind2 12122
Description: A variation on prmind 12123 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
prmind.2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ’))
prmind.3 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œƒ))
prmind.4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ))
prmind.5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ‚))
prmind.6 ๐œ“
prmind2.7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ฅ โˆ’ 1))๐œ’) โ†’ ๐œ‘)
prmind2.8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ ๐œ))
Assertion
Ref Expression
prmind2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐œ‚)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐œ’   ๐œ‚,๐‘ฅ   ๐œ,๐‘ฅ   ๐œƒ,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘ง,๐œ‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐œ“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐œ’(๐‘ฆ)   ๐œƒ(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐œ(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐œ‚(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem prmind2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmind.5 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ‚))
2 oveq2 5885 . . . 4 (๐‘› = 1 โ†’ (1...๐‘›) = (1...1))
32raleqdv 2679 . . 3 (๐‘› = 1 โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘›)๐œ‘ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...1)๐œ‘))
4 oveq2 5885 . . . 4 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘˜))
54raleqdv 2679 . . 3 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘›)๐œ‘ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘))
6 oveq2 5885 . . . 4 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (1...๐‘›) = (1...(๐‘˜ + 1)))
76raleqdv 2679 . . 3 (๐‘› = (๐‘˜ + 1) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘›)๐œ‘ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1))๐œ‘))
8 oveq2 5885 . . . 4 (๐‘› = ๐ด โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐ด))
98raleqdv 2679 . . 3 (๐‘› = ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘›)๐œ‘ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ด)๐œ‘))
10 prmind.6 . . . . 5 ๐œ“
11 elfz1eq 10037 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (1...1) โ†’ ๐‘ฅ = 1)
12 prmind.1 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
1311, 12syl 14 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (1...1) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
1410, 13mpbiri 168 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (1...1) โ†’ ๐œ‘)
1514rgen 2530 . . 3 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...1)๐œ‘
16 peano2nn 8933 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
1716ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
1817nncnd 8935 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
19 elfzuz 10023 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2019ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
21 eluz2nn 9568 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
2322nncnd 8935 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
2422nnap0d 8967 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ # 0)
2518, 23, 24divcanap2d 8751 . . . . . . . . . 10 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘ฆ ยท ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)) = (๐‘˜ + 1))
26 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))
2722nnzd 9376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2822nnne0d 8966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰  0)
2917nnzd 9376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
30 dvdsval2 11799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โ‰  0 โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†” ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†” ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค))
3226, 31mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
3323mulid2d 7978 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฆ)
34 elfzle2 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))
3534ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))
36 nncn 8929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
3736ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
38 ax-1cn 7906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 โˆˆ โ„‚
39 pncan 8165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘˜ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘˜)
4037, 38, 39sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘˜)
4135, 40breqtrd 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘˜)
42 nnz 9274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
4342ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
44 zleltp1 9310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ฆ < (๐‘˜ + 1)))
4527, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘ฆ โ‰ค ๐‘˜ โ†” ๐‘ฆ < (๐‘˜ + 1)))
4641, 45mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ < (๐‘˜ + 1))
4733, 46eqbrtrd 4027 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (1 ยท ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1))
48 1red 7974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4917nnred 8934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
5022nnred 8934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
5122nngt0d 8965 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ 0 < ๐‘ฆ)
52 ltmuldiv 8833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฆ)) โ†’ ((1 ยท ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1) โ†” 1 < ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)))
5348, 49, 50, 51, 52syl112anc 1242 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((1 ยท ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1) โ†” 1 < ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)))
5447, 53mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ 1 < ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ))
55 eluz2b1 9603 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†” (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง 1 < ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)))
5632, 54, 55sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
57 prmind.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ’))
58 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘)
59 fznn 10091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘˜)))
6043, 59syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘˜) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘˜)))
6122, 41, 60mpbir2and 944 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘˜))
6257, 58, 61rspcdva 2848 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐œ’)
63 vex 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ๐‘ง โˆˆ V
64 prmind.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œƒ))
6563, 64sbcie 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 ([๐‘ง / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” ๐œƒ)
66 dfsbcq 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ†’ ([๐‘ง / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
6765, 66bitr3id 194 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ†’ (๐œƒ โ†” [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
6864cbvralv 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...๐‘˜)๐œƒ)
6958, 68sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1...๐‘˜)๐œƒ)
7017nnrpd 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
7122nnrpd 9696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
7270, 71rpdivcld 9716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
7372rpgt0d 9701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ 0 < ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ))
74 elnnz 9265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โ†” (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)))
7532, 73, 74sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
7617nnap0d 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐‘˜ + 1) # 0)
7718, 76dividapd 8745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / (๐‘˜ + 1)) = 1)
78 eluz2gt1 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘ฆ)
7920, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ 1 < ๐‘ฆ)
8077, 79eqbrtrd 4027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / (๐‘˜ + 1)) < ๐‘ฆ)
8117nngt0d 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ 0 < (๐‘˜ + 1))
82 ltdiv23 8851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘˜ + 1)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฆ)) โ†’ (((๐‘˜ + 1) / (๐‘˜ + 1)) < ๐‘ฆ โ†” ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1)))
8349, 49, 81, 50, 51, 82syl122anc 1247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((๐‘˜ + 1) / (๐‘˜ + 1)) < ๐‘ฆ โ†” ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1)))
8480, 83mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1))
85 zleltp1 9310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1)))
8632, 43, 85syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘˜ โ†” ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) < (๐‘˜ + 1)))
8784, 86mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘˜)
88 fznn 10091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ (1...๐‘˜) โ†” (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘˜)))
8943, 88syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ (1...๐‘˜) โ†” (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ‰ค ๐‘˜)))
9075, 87, 89mpbir2and 944 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ (1...๐‘˜))
9167, 69, 90rspcdva 2848 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘)
9262, 91jca 306 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ (๐œ’ โˆง [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
9367anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†” (๐œ’ โˆง [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
94 oveq2 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ง = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) = (๐‘ฆ ยท ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)))
9594sbceq1d 2969 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ†’ ([(๐‘ฆ ยท ๐‘ง) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” [(๐‘ฆ ยท ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
9693, 95imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ†’ (((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ๐‘ง) / ๐‘ฅ]๐œ‘) โ†” ((๐œ’ โˆง [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
9796imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ๐‘ง) / ๐‘ฅ]๐œ‘)) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐œ’ โˆง [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)) / ๐‘ฅ]๐œ‘))))
98 prmind2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ ๐œ))
9998ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ ๐œ))
100 eluzelz 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
101100adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
102 eluzelz 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
103102adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
104101, 103zmulcld 9383 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
105 prmind.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ))
106105sbcieg 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โ†’ ([(๐‘ฆ ยท ๐‘ง) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” ๐œ))
107104, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ([(๐‘ฆ ยท ๐‘ง) / ๐‘ฅ]๐œ‘ โ†” ๐œ))
10899, 107sylibrd 169 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ๐‘ง) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
109108ex 115 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ๐‘ง) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
11097, 109vtoclga 2805 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ((๐œ’ โˆง [((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ) / ๐‘ฅ]๐œ‘) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
11156, 20, 92, 110syl3c 63 . . . . . . . . . 10 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ [(๐‘ฆ ยท ((๐‘˜ + 1) / ๐‘ฆ)) / ๐‘ฅ]๐œ‘)
11225, 111sbceq1dd 2970 . . . . . . . . 9 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))) โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘)
113112rexlimdvaa 2595 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
114 ralnex 2465 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))
115 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
116 elnnuz 9566 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
117115, 116sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
118 eluzp1p1 9555 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
119117, 118syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1)))
120 df-2 8980 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
121120fveq2i 5520 . . . . . . . . . . . 12 (โ„คโ‰ฅโ€˜2) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(1 + 1))
122119, 121eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
123 isprm3 12120 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„™ โ†” ((๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1)))
124123baibr 920 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„™))
125122, 124syl 14 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†” (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„™))
126 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘)
12757cbvralv 2705 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ’)
128126, 127sylib 122 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ’)
129115nncnd 8935 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
130129, 38, 39sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ ((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘˜)
131130oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) = (1...๐‘˜))
132131raleqdv 2679 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐œ’ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ’))
133128, 132mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐œ’)
134 nfcv 2319 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ(๐‘˜ + 1)
135 nfv 1528 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅโˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐œ’
136 nfsbc1v 2983 . . . . . . . . . . . . 13 โ„ฒ๐‘ฅ[(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘
137135, 136nfim 1572 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ(โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐œ’ โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘)
138 oveq1 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = ((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))
139138oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (1...(๐‘ฅ โˆ’ 1)) = (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)))
140139raleqdv 2679 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ฅ โˆ’ 1))๐œ’ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐œ’))
141 sbceq1a 2974 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐œ‘ โ†” [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
142140, 141imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘˜ + 1) โ†’ ((โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ฅ โˆ’ 1))๐œ’ โ†’ ๐œ‘) โ†” (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐œ’ โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘)))
143 prmind2.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ฅ โˆ’ 1))๐œ’) โ†’ ๐œ‘)
144143ex 115 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ฅ โˆ’ 1))๐œ’ โ†’ ๐œ‘))
145134, 137, 142, 144vtoclgaf 2804 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐œ’ โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
146133, 145syl5com 29 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„™ โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
147125, 146sylbid 150 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) ยฌ ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
148114, 147biimtrrid 153 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
149 2z 9283 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
150149a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
151115nnzd 9376 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
152151peano2zd 9380 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค)
153 1zzd 9282 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
154152, 153zsubcld 9382 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ ((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
15519, 21syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
156 dvdsdc 11807 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))
157155, 152, 156syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 (((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))) โ†’ DECID ๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))
158150, 154, 157exfzdc 10242 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ DECID โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1))
159 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โˆจ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1)))
160158, 159syl 14 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1) โˆจ ยฌ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (2...((๐‘˜ + 1) โˆ’ 1))๐‘ฆ โˆฅ (๐‘˜ + 1)))
161113, 148, 160mpjaod 718 . . . . . . 7 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘) โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘)
162161ex 115 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โ†’ [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
163 ralsnsg 3631 . . . . . . 7 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {(๐‘˜ + 1)}๐œ‘ โ†” [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
16416, 163syl 14 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {(๐‘˜ + 1)}๐œ‘ โ†” [(๐‘˜ + 1) / ๐‘ฅ]๐œ‘))
165162, 164sylibrd 169 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {(๐‘˜ + 1)}๐œ‘))
166165ancld 325 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {(๐‘˜ + 1)}๐œ‘)))
167 fzsuc 10071 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (1...(๐‘˜ + 1)) = ((1...๐‘˜) โˆช {(๐‘˜ + 1)}))
168116, 167sylbi 121 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (1...(๐‘˜ + 1)) = ((1...๐‘˜) โˆช {(๐‘˜ + 1)}))
169168raleqdv 2679 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1))๐œ‘ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ((1...๐‘˜) โˆช {(๐‘˜ + 1)})๐œ‘))
170 ralunb 3318 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ((1...๐‘˜) โˆช {(๐‘˜ + 1)})๐œ‘ โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {(๐‘˜ + 1)}๐œ‘))
171169, 170bitrdi 196 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1))๐œ‘ โ†” (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {(๐‘˜ + 1)}๐œ‘)))
172166, 171sylibrd 169 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘˜)๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...(๐‘˜ + 1))๐œ‘))
1733, 5, 7, 9, 15, 172nnind 8937 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1...๐ด)๐œ‘)
174 elfz1end 10057 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„• โ†” ๐ด โˆˆ (1...๐ด))
175174biimpi 120 . 2 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ (1...๐ด))
1761, 173, 175rspcdva 2848 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐œ‚)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  [wsbc 2964   โˆช cun 3129  {csn 3594   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  โ„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„คcz 9255  โ„คโ‰ฅcuz 9530  ...cfz 10010   โˆฅ cdvds 11796  โ„™cprime 12109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-prm 12110
This theorem is referenced by:  prmind  12123
  Copyright terms: Public domain W3C validator